黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（每小题3分，共计30分）1．如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．方程x2＝3x的解是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝33．已知函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，则m的值为（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．±4．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定5．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2 C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+26．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数是（）A．11.5° B．112.5° C．122.5° D．135°7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y28．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2 B．2 C． D．29．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝．12．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．13．如图：P是⊙O的直径BA延长线上一点，PD交⊙O于点C，且PC＝OD，如果∠P＝24°，则∠DOB＝．14．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝．15．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是cm．16．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程．17．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB．则△PAB面积的最大值与最小值的差为．三、解答题（19～24题每题6分，25～27题每题10分，共66分）19．（6分）解方程：（1）x2﹣8x﹣9＝0；（2）x2﹣x﹣1＝0．20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．21．（6分）如图，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+h的形式；（2）求点A、B、C的坐标；（3）观察图象直接写出不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集．22．（6分）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．（1）求B处离岛C的距离；（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．23．（6分）先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图1，点A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：问题：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（2，0）．（1）在图2中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x轴的另一个交点的坐标；（2）点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．24．（6分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM＝AN；（2）当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．25．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．26．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交BC于点D，交AB于点E，弧ED与弧DC相等，点F在线段BE上，∠BAC＝2∠BDF．（1）求证：AB＝AC；（2）判断DF与⊙O的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O的半径为5，EB+DF＝AO，求BD的长．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y＝﹣x+m，与x轴、y轴分别交于点B、点A，抛物线y＝ax2+bx+1经过点A，与直线AB交于点C，点C的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在直线AC上方的抛物线上，点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交AC于点M，过点P作y轴的平行线交AC于点N，当AM＝BN时，求t值；（3）点Q是坐标平面内一点，将△AOB绕点Q沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点A1的横坐标．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：B．2．方程x2＝3x的解是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3解：x2＝3x，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：B．3．已知函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，则m的值为（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．±解：∵函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，∴，解得：m＝﹣3．故选：A．4．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定解：∵OP＝7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．5．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2 C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2解：先将x轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，即可看作把抛物线沿x轴方向向左平移2个单位长度，沿y轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣2）．可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+2）2﹣2．故选：B．6．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数是（）A．11.5° B．112.5° C．122.5° D．135°解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝135°，在优弧AB上任取点E，连接AE、BE，则∠AEB＝∠AOB＝67.5°，又∵∠AEB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝112.5°，故选：B．7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，∴y1＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，y2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，y3＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，∵1＞﹣2＞﹣7，∴y1＞y2＞y3，故选：A．8．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2 B．2 C． D．2解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB＝AB在Rt△APO中，AP＝＝∴AB＝2故选：A．9．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF﹣OE＝1cm；②当弦A和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF+OE＝7cm．故选：D．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴ab＞0，所以③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，而a＞0，∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝±．解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+k2＝0可得1﹣3+k2＝0，解得k2＝2，∴k＝±．故本题答案为k＝±．12．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）．解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．13．如图：P是⊙O的直径BA延长线上一点，PD交⊙O于点C，且PC＝OD，如果∠P＝24°，则∠DOB＝72°．解：连接OC，如图，∵PC＝OD，而OC＝OD，∴PC＝CO，∴∠1＝∠P＝24°，∴∠2＝2∠P＝48°，而OD＝OC，∴∠D＝∠2＝48°，∴∠DOB＝∠P+∠D＝72°．故答案为72°．14．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝17．解：∵二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，∴＝＝0，即4m﹣68＝0，∴m＝17．故答案为：17．15．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是40cm．解：∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm，设扇形的半径为r，则＝60π，解得：r＝40cm，故答案为40．16．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程25（1﹣x）2＝16．解：设两次降价的百分率都为x，根据题意，得25（1﹣x）2＝16．故答案为：25（1﹣x）2＝16．17．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（，2），（﹣，2）．解：当⊙P与x轴相切时，P点纵坐标为±2；当y＝2时，x2﹣1＝2，解得x＝±；当y＝﹣2时，x2﹣1＝﹣2，x无解；故P点坐标为（，2）或（﹣，2）．18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB．则△PAB面积的最大值与最小值的差为5．解：∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理可得，AB＝＝＝5，过点C作CM⊥AB于点M，连接AC，则由等面积法可得，AB•CM＝BC•OA，∴5×CM＝4×（3+1），∴CM＝，∴圆C上的点到直线y＝x﹣3的最大距离为+1＝，最小距离为﹣1＝，∴△PAB面积的最大值为×5×＝，△PAB面积的最小值为＝，∴△PAB面积的最大值与最小值之差为：﹣＝5，故答案为：5．三、解答题（19～24题每题6分，25～27题每题10分，共66分）19．（6分）解方程：（1）x2﹣8x﹣9＝0；（2）x2﹣x﹣1＝0．解：（1）x2﹣8x﹣9＝0，（x﹣9）（x+1）＝0，∴x﹣9＝0或x+1＝0，∴x1＝9，x2＝﹣1；（2）x2﹣x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+5＝5＞0，∴x＝＝，∴x1＝，．20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标（﹣2，2）．21．（6分）如图，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+h的形式；（2）求点A、B、C的坐标；（3）观察图象直接写出不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4，即y＝（x﹣1）2﹣4；（2）令x＝0，则y＝﹣3，即该抛物线与y轴的交点C坐标是（0，﹣3），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以该抛物线与x轴的交点坐标是A（﹣1，0）、B（3，0）．（3）由抛物线y＝x2﹣2x﹣3开口向上，与x轴的交点坐标是A（﹣1，0）、B（3，0）可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，∴不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3．22．（6分）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．（1）求B处离岛C的距离；（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．解：（1）过C作CO⊥AB于O，则CO为渔船向东航行到C道最短距离，∵在A处测得岛C在北偏东的60°，∴∠CAB＝30°，又∵B处测得岛C在北偏东30°，∴∠CBO＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝12×1＝12（海里）（等边对等角）；（2）以点C为圆心，20海里为半径作圆，与直线AB交点E、F，连接CE，根据垂径定理得：EF＝2EO，在Rt△BCO中，∠CBO＝60°，∠COB＝90°，BC＝12海里，BO＝6海里，根据勾股定理得：CO＝＝6（海里），在Rt△ECO中，CE＝20海里，CO＝6海里，根据勾股定理得：EO＝＝2（海里），∴EF＝2EO＝4（海里），∴该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为4÷12＝（时）．23．（6分）先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图1，点A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：问题：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（2，0）．（1）在图2中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x轴的另一个交点的坐标；（2）点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．解：（1）如图，作AB的垂直平分线，再作BC的垂直平分线，两线相交于点G，以点G为圆心，OB的长为半径作圆，则G为所作的△ABC的外接圆；过圆心G作GH⊥OC垂足为H，连接GB、GC，∵GN⊥AB，GH⊥AC，AO⊥OC，∴四边形GHON为矩形，∴OH＝GN，GN＝OH．∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（0，4），∴OA＝10，OB＝4，∴AB＝6．∵GN⊥AB，∴BN＝AN＝3，∴ON＝BN+OB＝7，∴GH＝ON＝7，∵GB2＝BN2+GN2，GC2＝CH2+GH2，GB＝GC，∴BN2+GN2＝CH2+GH2，∵点C的坐标为（2，0），∴OC＝2．设CH长为x，则GN＝OH＝x+2，∴32+（x+2）2＝x2+72，∴x＝9，∴CH＝9，∵GH⊥CK，∴CH＝HK＝CK∴CK＝18，∴OK＝OC+CK＝20，∴K（20，0），∴此圆与x轴的另一个交点的坐标为（20，0）；（2）作⊙D经过AB两点，与x轴相切于点Q，如图，∵点P为x轴正半轴上的一个动点，∴由阅读材料可得：∠APB≤∠AQB，点P在切点时取等号，∴当点P与点Q重合时，∠APB达到最大．∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（0，4），∴OA＝10，OB＝4，∴AB＝6．连接DQ，DA，过点D作DE⊥AB于点E，则AE＝BE＝3，∴OE＝7．∵⊙D与x轴相切，∴DQ⊥OP．∵DE⊥AB，AB⊥OP，∴四边形DQOE为矩形，∴DQ＝OE＝7，OQ＝DE．∴DA＝7，∴DE＝＝＝2，∴OQ＝2．∴．∴当∠APB达到最大时，点P的坐标为（2，0）．24．（6分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM＝AN；（2）当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．【解答】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM＝AN；（2）解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°，∴∠B+∠FAB＝180°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形．25．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t1＝5，t2＝45，当t＝5时，100﹣2t＝90＞20，不合题意舍去；当t＝45时，100﹣2t＝10，答：AD的长为10m；（2）设AD＝xm，矩形菜园ABCD面积为S，S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m2．26．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交BC于点D，交AB于点E，弧ED与弧DC相等，点F在线段BE上，∠BAC＝2∠BDF．（1）求证：AB＝AC；（2）判断DF与⊙O的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O的半径为5，EB+DF＝AO，求BD的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°＝∠ABD+∠DAB，∵＝，∴∠DAC＝∠DAB，∴∠ACD＝∠ABD，∴AB＝AC；（2）解：DF是⊙O的切线；证明如下：连接AD，OD，如图：由（1）知：∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠BAC＝2∠BDF，∴∠DAC＝∠BDF，∵OA＝OD，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BDF，∵∠ADB＝90°，即∠BDF+∠ADF＝90°，∴∠ODA+∠ADF＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（3）解：连接AD，DE，如图：由（1）（2）知，DF是⊙O的切线，AB＝AC，∴∠DAF＝∠EDF（弦切角定理），∵∠ADC＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵＝，∴CD＝ED，∴BD＝ED，∵∠BDF＝∠BAC＝∠DAF，∴∠BDF＝∠EDF，∴BF＝EF，∠DFB＝∠DFE＝90°，设BF＝DF＝x，DF＝y，则AF＝AB﹣BF＝10﹣x，∵BE+DF＝OA＝5，∴2x+y＝5，∴y＝5﹣2x，∵∠EDF＝∠DAF，∠EF