2023-2024学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市阳谷县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每题4分，满分48分，有且只有一个正确答案）1．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：812．已知关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），则x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（）A． B． C． D．4．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（）A．95° B．105° C．115° D．125°7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（）A． B． C． D．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米9．如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°10．下列关于圆的说法中，正确的是（）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴11．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．65° C．70° D．50°12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（）A．cscB•sinA＝1 B． C．cscA•cosB＝1 D．csc2A+csc2B＝1二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝．15．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为米．（，结果精确到0.1）16．半径为1的⊙O中，弦AB＝，弦AB所对的圆周角的度数为．17．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB＝6cm，AC＝4cm，则⊙O的半径等于cm．18．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为．三、解答题（共8小题，满分78分，应写出必要的文字说明和解题步骤）19．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．20．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？21．计算：（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°；（2）．22．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．23．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．25．如图．已知△ABC中，．（1）求AC的长；（2）设AC边上的高线BD，交边AC于点D，求BD的长．26．无人机爱好者小新尝试利用无人机测量他家所住的楼房AB的高度．小新站在距离楼房60米的O处，他操作的无人机在离地面高度米的P处，无人机测得此时小新所处位置O的俯角为60°，楼顶A处的俯角为30°．（O，P，A，B在同一平面内）（1）求楼房AB的高度；（2）在（1）的条件下，若无人机保持现有高度且以4米/秒的速度沿平行于OB的方向继续匀速向前飞行，请问：经过多少秒，无人机刚好离开小新的视线？

参考答案一、选择题（共12小题，每题4分，满分48分，有且只有一个正确答案）1．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81【分析】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，两个相似三角形的面积之比为1：9，∴它们对应边上的中线之比为1：3．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，开平方是解题关键．2．已知关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），则x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【分析】根据位似变换的性质列出比例式，计算即可．解：∵两个图形关于原点位似，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），∴＝，解得：x＝4，故选：C．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（）A． B． C． D．【分析】由多边形相似的判定方法：各边对应成比例，各角对应相等，即可判断．解：A、两个矩形的长与宽不一定对应成比例，因此内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意；B、两个正方形四边对应成比例，四个角相等，因此内、外边框的图形一定相似，故B不符合题意；C、两个等边三角形一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故C不符合题意；D、两个圆一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查图形的相似，关键是掌握多边形相似的判定方法．4．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答．解：若锐角α满足tanα＝，则角α＝60°，故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．5．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．解：如图，过点A作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，sinB＝，则AC＝AB•sinB＝100sin65°（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（）A．95° B．105° C．115° D．125°【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝85°，∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（）A． B． C． D．【分析】根据题目中所给的条件可以证明△ACD∽△CBD，可以得出对应线段的比例，根据所给的线段的比例可以设两条线段的长度，从而可以求出CD的长度，即可得出tan∠B的值．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•DB，∵，设AD＝3a，DB＝2a，则CD2＝3a•2a＝6a2，∴CD＝，∴tan∠B＝．故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的有关内容，运用转化的数学思想，将∠B放到一个直角三角形中进行求解．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可．解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，∴OD＝＝＝（米），∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．9．如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】由∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，求得∠BAE＝15°，则所对的圆心角等于30°，所以的度数为30°．解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，∴的度数为30°，故选：D．【点评】此题重点考查正多边形与圆、正方形及等边三角形的性质、圆周角定理、弧的度数等知识，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解题的关键．10．下列关于圆的说法中，正确的是（）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点评】考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．11．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．65° C．70° D．50°【分析】根据圆周角定理，即可求解．解：∵∠C＝35°，∠AOB＝2∠C，∴∠AOB＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，即同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记该定理是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（）A．cscB•sinA＝1 B． C．cscA•cosB＝1 D．csc2A+csc2B＝1【分析】根据余割的定义：斜边与∠A的对边的比进行计算，再选择即可．解：根据定义得，cscB＝，故B不符合题意；cscB•sinA＝•＝，故A不符合题意；cscA•cosB＝•＝1，故C符合题意；csc2A+csc2B＝+＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示，是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是（12，0）．【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可．解：如图所示：位似中心点P的坐标是（12，0）．故答案为：（12，0）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝10．【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，故答案为：10．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提．15．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为4.4米．（，结果精确到0.1）【分析】分别在直角三角形DCF和直角三角形ADE中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长．解：在直角三角形DCF中，∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，∴sin∠DCF＝＝＝，∴DF＝2.7，∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∵AD＝BC＝2，∴cos∠ADE＝＝＝，∴DE＝，∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．答：车位所占的宽度EF约为4.4米．故答案为：4.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键．16．半径为1的⊙O中，弦AB＝，弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．【分析】设直径CD⊥AB于点E，连接AC，AO，AD，BC，BD，利用垂径定理可得出AE，BE的长，在Rt△AOE中，通过解直角三角形可求出∠AOE的度数，利用圆周角定理可求出∠ACD的度数，由∠ACD和∠ADC互余可求出∠ADC的度数，同理可求出∠BCD，∠BDC的度数，进而可得出弦AB所对的圆周角的度数．解：设直径CD⊥AB于点E，连接AC，AO，AD，BC，BD，如图所示．∵CD⊥AB，CD为直径，∴AE＝BE＝AB＝．在Rt△AOE中，OA＝1，AE＝，∴sin∠AOE＝＝，∴∠AOE＝45°，∴∠ACD＝∠AOE＝，∴∠ADC＝90°﹣∠ACD＝．同理，可得出∠BCD＝，∠BDC＝，∴∠ACB＝45°，∠ADB＝135°．故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，通过解直角三角形及圆周角定理，求出∠ACD的度数是解题的关键．17．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB＝6cm，AC＝4cm，则⊙O的半径等于cm．【分析】首先连接BC，由⊙O的弦AB垂直于AC，即可得BC是直径，又由AB＝6cm，AC＝4cm，根据勾股定理即可求得BC的长，则可求得⊙O的半径．解：连接BC，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵AB＝6cm，AC＝4cm，∴BC＝＝2（cm），∴⊙O的半径为：cm．故答案为：．【点评】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用．18．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为4．【分析】由垂径定理得到CE＝DE，再由圆周角定理得∠BOC＝45°，得△OCE为等腰直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质求出CE的长，从而得到CD的长．解：∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∠OEC＝90°，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明△OCE为等腰直角三角形是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分78分，应写出必要的文字说明和解题步骤）19．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．【分析】由平行四边形的性质得出∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．证出∠AFD＝∠C，则可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．20．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．21．计算：（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°；（2）．【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可；（2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°＝＝＝2；（2）＝＝＝．【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质．22．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．【分析】先在Rt△DEF中，由勾股定理求得DE，再利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长，加上小明同学的身高即可求得树高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴＝，在Rt△DEF中，∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，由勾股定理得DE＝＝0.4（m），∵CD＝10m，∴＝，∴BC＝7.5（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．【点评】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．23．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可．解：如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD＝90°．∵∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°．∵⊙O的半径为6，∴AD＝12．在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝6．∴AC＝6．【点评】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．24．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．25．如图．已知△ABC中，．（1）求AC的长；（2）设AC边上的高线BD，交边AC于点D，求BD的长．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据，设AE＝3k，则BE＝4k，勾股定理得出AB＝5k，根