2023年福建省中考数学试卷

2023年福建省中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1.（4分）下列实数中，最大的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

3.（4分）若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

4.（4分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医

疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医

疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为（）

A.104X107B.10.4X108C.1.04X109D.0.104X1O10

5.（4分）下列计算正确的是（）

A.（a2）3=〃6B.a64-a2=a3C.a3*a4=«12D.a2-a—a

6.（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022

年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,

根据题意可列方程（）

A.43903.89（1+x）=53109.85

B.43903.89（1+x）2=53109.85

C.43903.897=53109.85

D.43903.89（1+x2）=53109.85

7.（4分）阅读以下作图步骤：

①在OA和OB上分别截取OC,O。，使OC=O£＞；

②分别以C,。为圆心，以大于Lc。的长为半径作弧，两弧在/AOB内交于点M；

2

③作射线0M,连接CM,DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A.Nl=/2且CM=£>何B.N1=N3且

C.Nl=/2且D./2=/3且O£>=OM

8.（4分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”

的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间

（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外

C.中位数为67分钟D.方差为0

9.（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3和），=△的图象的四个分支

XX

A.-3B.-AC.AD.3

33

10.（4分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用

圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割,

以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种

思想得到了圆周率n的近似值为3.1416.如图，。0的半径为1,运用“割圆术”，以圆

内接正六边形面积近似估计的面积，可得7T的估计值为老区，若用圆内接正十二边

2

D.2M

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）某仓库记账员为方便记账,将进货10件记作+10,那么出货5件应记作.

12.（4分）如图，在DABCD中，。为8力的中点，EF过点。且分别交AB,CO于点E,F.若

AE=\0,则CF的长为

AEB

13.（4分）如图，在菱形ABC。中，AB=10,ZB=60°,则AC的长为

14.（4分）某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、

语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：

项自综合知识工作经验语言表达

应聘者

甲758080

乙858070

丙707870

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总

成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是.

15.（4分）已知工+2=1,且aW-6,则也三的值为.

aba+b

16.（4分）已知抛物线>=苏-2ar+Z?（〃>0）经过A（2〃+3,yi）,B（/?-1,y2）两点,

若A,8分别位于抛物线对称轴的两侧，且yiV）%则〃的取值范围是

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）计算：A/9-2°+|-1|.

%+1<3①

（8分）解不等式组：

宏坤<1②

19.（8分）如图，04=0C,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求证：AB=CO.

BD

2_

20.（8分）先化简，再求值：（1-空工）士三二L,其中

xx-x

21.（8分）如图，已知△ABC内接于。0,C。的延长线交AB于点。，交。。于点E,交

。。的切线AF于点F,且AF〃BC.

（1）求证：AO//BE-,

（2）求证：AO平分NB4c.

22.（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办

了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽

奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，

随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，

还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的

大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再

从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已

知某顾客获得抽奖机会.

(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；

(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种

颜色的球？说明你的理由.

23.(10分)阅读下列材料，回答问题.

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度A8远大于南

北走向的最大宽度，如图1.

工具：一把皮尺(测量长度略小于A8)和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量

任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是

测量角的大小，即在任一点。处，对其视线可及的P,。两点，可测得NPO。的大小，

如图3.

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下：

测量过程：

(i)在小水池外选点C,如图4,测得BC=bm；

(ii)分别在AC,8c上测得CM=包m，CN=3n；测得MV=cm.

33

求解过程：

由测量知，AC=a,BC=b,CM=旦，CN=电，

33

.•0=受=工，又...①，

CACB3

.•.则

AB3

又,：MN=c,：.AB=^@(相).

故小水池的最大宽度为***«?.

p

图3

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；

(2)小明求得AB用到的几何知识是；

(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得A股请你同时利用皮尺和测角仪，通过测

量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度A8,写出你的

测量及求解过程.

要求：测量得到的长度用字母”，h,c…表示，角度用a,0,丫…表示；测量次数不超过

4次(测量的儿何量能求出A8且测量的次数最少，才能得满分).

24.(12分)已知抛物线)，=0?+/»+3交x轴于A(1,0),8(3,0)两点，M为抛物线的

顶点，C,。为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E,直线AD,8c的

交点为P.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若C(4,3),DGn,-3),且阻＜2,求证：C,D,E三点共线；

4

(3)小明研究发现：无论C,。在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，

△MEP,AABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及

其面积，不必说明理由.

25.(14分)如图1,在△A8C中，/54C=90°,AB=AC,。是AB边上不与A,3重合

的一个定点.4。，8c于点O,交CO于点E.力产是由线段。C绕点。顺时针旋转90°

得到的，FD,C4的延长线相交于点M.

(1)求证：△AOES/XFMC；

(2)求NA8尸的度数；

(3)若N是A尸的中点，如图2,求证：ND=NO.

2023年福建省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1.（4分）下列实数中，最大的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可.

【解答】解：2＞1＞0＞-1,

故选：D.

【点评】本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

2.（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形.

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键.

3.（4分）若某三角形的三边长分别为3,4,m,则加的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【分析】根据三角形的三边关系定理得出4-3＜根＜4+3,求出即可.

【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4-3＜4+3,

解得：1＜加＜7,

即符合的只有5,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解

此题的关键.

4.（4分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医

疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医

疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为（）

A.104X107B.10.4X108C.1.04X109D.O.1O4X1O10

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

［解答］解：1040000000=1.04X109.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法一表示较大的数，科学记数法的表示形式为“X10"的形式，

其中14同＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及，7的值.

5.（4分）下列计算正确的是（）

A.（a2）3—a6B.a6-rc^—a3C.ai'a^—a'2D.a2-a—a

【分析】根据基的乘方，同底数幕乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行

判断即可.

【解答】解：儿（/）3

=产

—a6,

则A符合题意；

B.A/

=/2

=＜?,

则8不符合题意；

C.a3,a4

=/+4

=/

则C不符合题意；

D.J与〃不是同类项，无法合并，

则。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握.

6.(4分)根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022

年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,

根据题意可列方程()

A.43903.89(1+x)=53109.85

B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89./=53109.85

D.43903.89(1+x2)=53109.85

【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据福建省2020年的地区

生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程.

【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为X,

根据题意得,43903.89(1+x)2=53109.85,

故选:B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设

出未知数，找出合适的等量关系，列出方程.

7.(4分)阅读以下作图步骤：

①在。4和08上分别截取。C,OD,使OC=OD；

②分别以C,。为圆心，以大于上C£>的长为半径作弧，两弧在/AO8内交于点M；

2

③作射线。M,连接CM,DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是()

A.N1=N2且B./1=N3且

C./1=/2且。。D./2=/3且OO=OM

【分析】由△OCMgZXOOMCSSS)推出Nl=/2；OC和CM不一定相等，因此/I不

一定等于N3；和。M不一定相等；C/和。8不一定平行，因此N2不一定等于N3.

【解答】解：A、以C,。为圆心画弧的半径相等，因此CM=QM,又OC=O£>,OM=

OM,因此△OCAf丝△OOM(SSS)得到/l=/2,故A符合题意；

B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此N1不一定等于N3,

故B不符合题意；

C、因为。ZMf的长在变化，所以。。和0M不一定相等，故C不符合题意；

。、CM的位置在变化，所以C例和0B不一定平行，因此N2不一定等于N3,故。不

符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查作图一基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM

名△OOM(SSS).

8.(4分)为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”

的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间

(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外

【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可.

【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88,

A.平均数是65+67+70+67+75+79+88=73,故选项错误，不符合题意；

7

B.这组数的众数是67,故选项正确，符合题意；

C.将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88,中位数是70,故选项错

误，不符合题意：

D.这组方差为：52=AX[(65-73)2+(67-73)2+(70-73)2+(67-73)2+(75

7

-73)2+(79-73)2+(88-73)2]=30,故选项错误，不符合题意;

故选：B.

【点评】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点,

平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键.

9.（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3和），=2的图象的四个分支

XX

上，则实数〃的值为（）

D.3

【分析】如图，点B在函数），=3上，证明△40CZ408。，根据上的几何意义即可求解.

X

【解答】解：连接正方形的对角线，过点A,8分别作x轴的垂线.垂足分别为。、D,

点B在函数y=3上，如图:

•边形A8CD是正方形,

：.AO=BO,NA08=/ACO=90°,

...NCAO=90°-ZAOC=ZBOD,

.♦.△AOC丝△08。（AAS）,

S&AOC—S^OBD———।11।，

22

•.•点A在第二象限，

'.n--3,

故选：A.

【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的女的几何意义，熟练掌握以上性质的解

题关键.

10.（4分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用

圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，

以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”割圆术”孕育了微积分思想，他用这种

思想得到了圆周率n的近似值为3.1416.如图，。。的半径为1,运用“割圆术”，以圆

内接正六边形面积近似估计的面积，可得7T的估计值为2近，若用圆内接正十二边

2

形作近似估计，可得K的估计值为（）

【分析】过A作AM,08于M,求得/AO8=360°+12=30°,根据直角三角形的性

质得到4M=2。4=』，根据三角形的面积公式得到SAAOB=工，于是得到正十二边形的

224

面积为12x1-3,根据圆的面积公式即可得到结论.

4

【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点。是正十二边形的中心，

过4作于M,

在正十二边形中，N4O8=360°4-12=30°,

C.AM=—OA——,

22

S^AOB—^OB'AM——x1X———-

2224

正十二边形的面积为12x1-3,

4

.'.3=12XTT,

An的近似值为3,

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的

关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10,那么出货5件应记作-5.

【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案.

【解答】解：•.•进货10件记作+10,

，出货5件应记作-5,

故答案为：-5.

【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

12.（4分）如图，在0ABeD中，。为8。的中点，EF过点。且分别交A8,CD于点E,F.若

AE=10,则CF的长为10.

AEB

【分析】由平行线四边形的性质得到CL>=A8,CD//AB,因此/尸£»0=/E8O,Z.DFO

=2BE0,又OD=OB,即可证明/g/XBOE（A4S）,得至ljFD=BE,于是得出CF

=AE=10.

【解答】解：•••四边形A8C。是平行四边形，

：.CD=AB,CD//AB,

：.NFDO=NEBO,NDFO=ZBEO,

•.•。为B0的中点，

OD=OB,

：./\DOF^/\BOECAAS）,

：.DF=BE,

：.CD-DF=AB-BE,

：.CF^AE^\Q.

故答案为：10.

【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由△OOF安△BOE

推出DF=BE,由平行线的性质得到CD=AB,推出CF=AE.

13.（4分）如图，在菱形ABC。中，A8=10,ZB=60°,则AC的长为10.

A■D

Bz-----------

【分析】由菱形的性质得到AB=BC,又/B=60°,因此AABC是等边三角形，得到

AC=AB=10.

【解答】解：•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

VZB=60°,

.♦.△A8C是等边三角形，

；.AC=AB=10.

故答案为：10.

【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△

ABC是等边三角形.

14.（4分）某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、

语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示:

项自综合知识工作经验语言表达

应聘者

甲758080

乙858070

丙707870

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总

成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是乙.

【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩,

然后比较大小即可.

【解答】解：由题意可得，

甲的成绩为：75X5+80X2+80X3=775

5+2+3

乙的成绩为：85X5+8°X2+7°义3=79.5,

5+2+3

丙的成绩为：70X5+78.2+70X3=71.6,

5+2+3

V79.5>77.5>71.6,

乙将被录取，

故答案为：乙.

【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数.

15.(4分)已知工+2=1,且则他N■的值为1.

aba+b

【分析】根据2+2=1,可得必=2〃+4再代入独卫即可求出答案.

aba+b

【解答】解：•••工+2=i,

ab

・b4.2a=2a+b=],

ababab

ab=2a+h,

...ab-a=2a+b-a=a+b=]

a+ba+ba+b

故答案为：1.

【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键.

16.(4分)已知抛物线-2ox+Z?(〃>0)经过A(2〃+3,y\),B(n-1,”)两点，

若A,8分别位于抛物线对称轴的两侧，且yiV)明则〃的取值范围是-1V〃VO.

【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为犬=1,开口向上，再分点A在对称轴x=l的左

侧，点8在对称轴x=l的右侧和点8在对称轴冗=1的左侧，点A在对称轴冗=1的右侧

两种情况求解即可.

【解答】解：抛物线的对称轴为：x=-旦=1,

2a

Va>0,

抛物线开口向上，

Vyi<j2,

二若点A在对称轴x=l的左侧，点B在对称轴x=l的右侧，

'2n+3<1

由题意可得：，n-l>l,

1-(2n+3)<nTT

不等式组无解；

若点B在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=\的右侧，

f2n+3>1

由题意可得：，n-l<1，

1~（n-l）>2n+3-l

解得：

〃的取值范围为：

故答案为：

【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根

据题意正确列出不等式组是解决本题的关键.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）计算：V9-2°+|-1|.

【分析】根据算术平方根的定义，零指数累，绝对值的性质进行计算即可.

【解答】解：原式=3-1+1

=2+1

【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握.

‘2x+l<3①

18.（8分）解不等式组:

1•号

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”原则求出不等式组的解

集即可.

【解答】解：解不等式①，得xVL

解不等式②，得x2-3.

所以原不等式组的解集为-3Wx<l.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关

键.

19.（8分）如图，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求证：AB=CD.

【分析】根据角的和差求得N40B=NC。。，根据全等三角形的判定和性质定理即可得

到结论.

【解答】证明：VZAOD=ZCOB,

：.ZAOD-/BOD=ZCOB-4BOD,

即/AOB=/COO.

在△A08和△CO。中，

'OA=OC

•ZA0B=ZC0D>

OB=OD

.•.△AOB丝△COO(SAS),

：.AB=CD.

【点评】本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形

的判定和性质定理是解题的关键.

20.(8分)先化简，再求值：(1-止1)+2:L,其中

xx2-x

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将X的值代入计算可得.

［解答］解：原式=x-(x+l)x(,l)

X(x+1)(x-1)

=-1.X

Xx+1

--

x+1

当x=V2-1B't.

原式=一^一

V2-1+1

2

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则.

21.(8分)如图，已知△ABC内接于。0,CO的延长线交AB于点。，交。。于点£,交

。0的切线AF于点凡且AF〃BC.

(1)求证：AO//BE-,

(2)求证：AO平分/BAC.

【分析】（1）根据切线的性质得到AFLOA,求得NOA尸=90°,根据圆周角定理得到N

CBE=90°,求得NOAF=NCBE,根据平行线的性质得到/BAF=/ABC,于是得到/

043=NABE,根据平行线的判定定理即可得到AO//BE-,

（2）根据圆周角定理得到NABE=NACE,根据等腰三角形的性质得到NACE=NO4C,

等量代换得到NA8E=N0AC,由（1）知，NOAB=NABE,根据角平分线的定义即可

得到结论.

【解答】证明：（1）尸是。。的切线，

：.AF1OA,

即NOA尸=90°,

是。。的直径，

AZCfi£=90°,

：.ZOAF^ZCBE,

"JAF//BC,

；.NBAF=NABC,

：.ZOAF-NBAF=NCBE-ZABC,

即NOAB=NABE,

:.NO”BE：

（2）AABE与/ACE都是而所对的圆周角，

NABE=AACE,

'：OA=OC,

：.N4CE=NOAC,

ZABE=ZOAC,

由（1）知，ZOAB=ZABE,

；./OAB=NOAC,

.•.40平分/BAC.

【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形

的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键.

22.（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办

了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽

奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，

随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时.，

还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的

大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再

从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已

知某顾客获得抽奖机会.

（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；

（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种

颜色的球？说明你的理由.

【分析】（1）用概率公式直接可得答案；

（2）记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，

黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案.

【解答】解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可

能的结果，

记“首次摸得红球”为事件4,则事件A发生的结果只有1种，

•*,P（A）号，

顾客首次摸球中奖的概率为1；

4

（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：

记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下:

红黄①黄②黄③新

红红，黄①红，黄②红，黄③红，新

黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新

黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新

黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新

新新，红新，黄①新，黄②新，黄③

共有20种等可能结果,

（i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品

82

的概率p-—,«

205

（/）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼

品的概率Pc」•卫;

r2205

••2/3

55

,P1<P2,

.•.他应往袋中加入黄球.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不

重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

23.（10分）阅读下列材料，回答问题.

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度43远大于南

北走向的最大宽度，如图1.

工具：一把皮尺（测量长度略小于A8）和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量

任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是

测量角的大小，即在任一点。处，对其视线可及的P,Q两点，可测得NPO。的大小，

如图3.

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:

测量过程:

（i）在小水池外选点C,如图4,测得AC=mw,BC=bm；

（ii）分别在AC,8c上测得CM=，，。7=也打；测得

33

求解过程：

由测量知，AC=a,BC=b,CM=3,CN=0,

33

•CM=CN=1又•①NC=NC

"CACB~3

:.△CMNs^CAB,.•.胆

AB3

又,：MN=c,：.AB^®3c（，〃）.

故小水池的最大宽度为***，〃.

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容;

(2)小明求得AB用到的几何知识是相似三角形的判定和性质；

(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得A8.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测

量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的

测量及求解过程.

要求：测量得到的长度用字母a,〃，c…表示，角度用a,。，丫…表示；测量次数不超过

4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少，才能得满分).

【分析】(1)利用相似三角形的判定和性质解决问题即可；

(2)利用相似三角形的判定和性质；

(3)(力在小水池外选点C,如图，用测角仪在点8处测得/ABC=a,在点A处测得

NBAC=B；(ii)用皮尺测得BC=am.由此求解即可，

【解答】解：(1)①由测量知，AC=a,BC=h,CM=A,CN=2

33

.CM=CN=1

"CACB京，

又：NC=NC,

:.ACMNS/XCAB,

.MN

''AB

又；MN=c,

.'.AB=3c(，").

故答案为：/C=NC；②3c；

(2)求得A8用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质.

故答案为：相似三角形的判定与性质；

(3)测量过程：(。在小水池外选点C,如图，用测角仪在点B处测得/4BC=a,在

点A处测得

(z7)用皮尺测得BC=am.

图1

求解过程：由测量知，在△ABC中，ZABC^a,N84C=0,BC=a.

过点C作CDA.AB,垂足为Z).

在Rt^CBO中，ZCBD-

cosDC

即cosCl=—»所以3£>="cosa.

a

同理，CD=as\na.

在RdACZ)中，tan/CAD提，

AD

即ttaannBp=^亘仙色，所以AUAD=taasniBn「,

所以AB=BD+AD=acosQ+aSin5'(m)-

tanp

故小水池的最大宽度为Qcosa存粤

tanpIT

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知

识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

24.(12分)己知抛物线y=a?+bx+3交不轴于A(1,o),B(3,0)两点，M为抛物线的

顶点，C,。为抛物线上不与A,8重合的相异两点，记A8中点为E,直线A。，BC的

交点为P.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若C(4,3),D(机，-3),且机<2,求证：C,D,E三点共线；

4

(3)小明研究发现：无论C,。在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△4MP,

XMEP,XABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及

其面积，不必说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法吗，构建方程组求解；

(2)求出直线CE都是解析式，再判断出点。的坐标，可得结论；

(3)取特殊位置，判断出△AMP,△A/EP的面积不为定值，可得结论.

【解答】(1)解：因为抛物线y=o?+bx+3经过点4(1,0),B(3,0),

所以(a+b+3=0,

I9a+3b+3=0

解得卜=1,

lb=-4

所以抛物线的函数表达式为-4x+3；

(2)证明：设直线CE对应的函数表达式为)，=依+〃(&W0),

因为E为AB中点，所以E(2,0).

又因为C(4,3),

(3

所以f俨4n=0,解得Ik而，

14k廿3|b=_3

所以直线CE对应的函数表达式为

2

因为点D(m,卷)在抛物线上，所以m-4m+3=­•

44

解得，3.或=苴.

m22

又因为〃?<2,所以1rp|，

所以DCI*，

因为3X3_3=-3,即口邑，工)满足直线CE对应的函数表达式，

22,44，

所以点。在直线CE上，即C,D,E三点共线；

(3)4ABP的面积为定值，其面积为2.

理由如下：(考生不必写出下列理由)

如图1,当C,。分别运动到点的位置时，C,。'与C分别关于直线励/对称,

此时仍有CD1,E三点共线.

设与BC的交点为P',则P,P'关于直线对称，即PP〃x轴.

此时，PP与AM不平行，且AM不平分线段PP,

故P,P到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP与△AMP'的面积不相等，

所以△AMP的面积不为定值.

如图2,当C,。分别运动到点C\D\的位置，且保持C\D\,