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文档简介
高考
数学三角函数与解三角形三角恒等变换基础篇考点三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(Sα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;
(Sα-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(Cα+β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(Cα-β)tan(α+β)=
;
(Tα+β)tan(α-β)=
.
(Tα-β)2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;
(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(C2α)tan2α=
.
(T2α)3.公式的变形与应用1)两角和与差的正切公式的变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).2)升幂公式1+cosα=2cos2
;1-cosα=2sin2
.3)降幂公式sin2α=
;cos2α=
.4)其他常用变形sin2α=
=
;cos2α=
=
;1±sinα=
;tan
=
=
.4.辅助角公式asinα+bcosα=
sin(α+φ),其中cosφ=
,sinφ=
,tanφ=
.5.角的拆分与组合1)用已知角表示未知角例,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,α=
-
=
+
.2)互余与互补关系例,
+
=π,
+
=
.3)非特殊角转化为特殊角例,15°=45°-30°,75°=45°+30°.综合篇考法三角函数式的求值和化简1.三角函数式的化简原则
2.三角函数式求值的基本类型及解法1)给角求值:①化为特殊角的三角函数值;②化为正负相消的项,消去求值;③化分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值.2)给值求值:解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把
待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来,求解时要注意角的范
围的讨论.3)给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角
函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角.例1
(2022石家庄一模,14)已知角α∈
,tan
=
,则α=
.解析∵tan
=
,∴
=
,∴sin
=cos
,∴sin
cosα+sin
cos
=cos
sinα-cos
sin
,∴2sin
cos
=cos
sinα-sin
cosα,∴sin
=sin
.∵α∈
,∴α-
∈
,∴
=α-
,∴α=
+
=
.答案
例2
(2022重庆涪陵实验中学期中,15)若sin2α=
,sin(β-α)=
,且α∈
,β∈
,则α+β的值是
.解析因为α∈
,所以2α∈
,因为sin2α=
,所以2α∈
,即α∈
,所以cos2α=-
=-
=-
.因为α∈
,β∈
,所以β-α∈
,因为sin(β-α)=
,所以cos(β-α)=-
=-
=-
.所以cos(β+α)=cos(β-α+2α)=cos(β-α)·cos2α-sin(β-α
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