2023版 大一轮 数学 人教A版 新教材（京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙）第4节　随机事件的概率

第4节随机事件的概率

知识分类落实.回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.概率与频率

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生

的频率/,(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率

的稳定性.因此，我们可以用频率以⑷估计概率P(A).

2.事件的运算

定义表示法图不

事件A与事件8至少有一

个发生，称这个事件为事

并弁件旦2（或A+B）

件A与事件B的并事件

(或和事件)

事件A与事件B同时发

生，称这样一个事件为事

交事件406（或AB）

件A与事件B的交事件

(或积事件)

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件A发生，事件B

包含一定发生,称事件B包

824或AU8）

关系含事件4或事件A包含©

于事件B)

如果事件A与事件3丕

互斥能同时发生,称事件A若A08=。，则A与8

事件与事件B互斥(或互不互斥

相容)

对立如果事件A和事件3在若AHB=0,且AUB

事件任何一次试验中有且=。，则A与8对立

仅有一个发生,称事件

A与事件B互为对立，

事件A的对立事件记为

A

4.概率的基本性质

一般地，概率有如下性质：

性质1：对任意的事件A,都有P(A)20；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1，P(0)=Q.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么PSUB)=P(A)+P(3).

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件,那么P⑻=1—P(A),尸(A)=1-P(B).

性质5：如果那么P(A)WP(B).

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)

-P(ACB).

•——常用结论与微点提醒

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组

成的集合的补集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，

即

P(AUA2U…U4)=P(AI)+P(A2)+…+P(A").

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()

⑶若随机事件A发生的概率为P(A),则OWP(A)W1.()

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中

奖的概率.（）

答案（l）x（2）V（3）V（4）X

〉教材衍化

2.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表:

分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数234542

则样本数据落在区间口0,40）的频率为（）

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65

答案B

解析由表知［10,40）的频数为2+3+4=9,

9

所以样本数据落在区间［10,40）的频率为诟=0.45.

3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至

少有一名女生”与事件“全是男生”（）

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

答案C

解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种

情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与

“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.

►■考题体验

4.（2018•全国HI卷）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支

付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

答案B

解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用

现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1—（0.15+0.45）

=0.4.

5.（2020.全国n卷）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天

能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，

许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预

计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单

的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少

需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

答案B

解析由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,即第

二天确保完成新订单1600份，减去超市每天能完成的1200份，加上积压的500

份，共有1600—1200+500=900（份），至少需要志愿者900+50=18（名）.

6.（2020.天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为上心.假定两球是否落入

盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少

有一个落入盒子的概率为.

答案11

解析甲、乙两球都落入盒子的概率尸=gx；=1；

事件4”甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是1：“甲、乙两球都

不落入盒子”，P（A）=℃）x（l—；）=；,所以P（A）=]—；=|.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一随机事件的关系自主演练

1.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2

张全是移动卡”的概率是去3，那么概率是云7的事件是（）

A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡

答案A

解析由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1

一布3=古7，故”至多有一张移动卡”的概率是去7.

2.口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个

球，事件A=”取出的两个球同色”，B="取出的两个球中至少有一个黄球”，

C=“取出的两个球至少有一个白球”，。=”取出的两个球不同色"，E=”取

出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.

①A与。为对立事件；②8与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(CUE)

=1.

答案①④

解析当取出的两个球为一黄一白时，8与C都发生，②不正确；当取出的两个

球中恰有一个白球时，事件。与E都发生，③不正确；显然A与。是对立事件，

①正确；CUE为必然事件，P(CUE)=1,④正确.

3.(多选题)(2021・烟台模拟)下列命题正确的是()

A.对立事件一定是互斥事件

B.若AC8为不可能事件，则尸(AUB)=P(A)+P(B)

C.若事件A,B,。两两互斥，则P(A)+P(B)+P(O=1

D.事件A,3满足P(A)+P(3)=1,则A,8是对立事件

答案AB

解析由对立事件的定义可知A正确；由于AA8为不可能事件，所以A,B互

斥，则尸(AU8)=P(A)+P⑻，即B正确；事件两两互斥，并不代表AUBUC

是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件4“至少出现一次

71

正面”,事件以“3次出现正面“，则P(A)=w，P⑸=6,满足P(A)+P(3)=

OO

1,但A,8不是对立事件，故D不正确.

感悟升华1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发

生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立

的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互

斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件

一定是互斥事件.

考点二随机事件的频率与概率师生共研

【例1】(2020.全国I卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)

按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C

级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件

要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工

成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接

加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级,

整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据,

厂家应选哪个分厂承接加工业务？

解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，

40

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为而=0.4；

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为湍=0.28.

(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

65X40+25X20—5X20-75X20

100=6

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

70X28+30X17+0X34—70X21

ioo=1°-

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.

感悟升华1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率

是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频

率来作为随机事件概率的估计值.

2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频

率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

【训练1】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，

售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根

据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不

低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶;

如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了

前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最IWJ

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

气温

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的

进货量为450瓶时，写出丫的所有可能值，并估计V大于零的概率.

解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表

中数据可知，最高气温低于25的频率为"黠至=06

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为06

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温低于20,则y=200X6+(450-200)X2-450X4=-100；

若最高气温位于区间［20,25),则丫=300X6+(450-300)X2—450X4=300；

若最高气温不低于25,则K=450X(6-4)=900,

所以,利润y的所有可能值为一100,300,900.

y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频

36+25+7+4

率为

90=0.8.

因此丫大于零的概率的估计值为08

考点三互斥事件与对立事件的概率师生共研

【例2】经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率；

⑵至少3人排队等候的概率.

解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等

候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5

人及5人以上排队等候”为事件尸，则事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H,

则H=DUEUF,

所以P(H)=P(OUEUF)=P(£>)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)

=1一P(G)=0.44.

感悟升华1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用

已知概率的事件表示出来.

2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的

概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立

事件的概率，再由P(A)=1—P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，

多考虑间接法.

【训练2】(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生

产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲

级）的概率为（）

A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08

（2）（多选题）（2021.武汉调研）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是斗甲获胜

的概率是盘下面结论正确的是（）

74

A.甲不输的概率六B.乙不输的概率g

41

c.乙获胜的概率弓D.乙输的概率5

答案（1）C（2）ABD

解析（1）记“抽检的产品是甲级品”为事件A,是“乙级品”为事件B,是“丙

级品”为事件C,这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）=1—P（3）—P（C）

=1-5%-3%=92%=0.92.

（2）因为甲、乙两人下成和棋的概率是看甲获胜的概率是与所以甲不输的概率/

1714

+5=而，故A正确；所以乙不输的概率1一弓=亍故B正确；所以乙获胜的概

1131

率1一»言,故C错误；所以乙输的概率即为甲获胜的概率是看故D正确，

故选ABD.

考点四概率一般加法公式（性质6）的应用师生共研

【例3】某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工

1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800

人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为

第三分厂职工的概率.

解记事件A为“抽取的为女职工”，记事件8为“抽取的为第三分厂的职工”，

则AHB表示“抽取的为第三分厂的女职工”，AUB表示“抽取的为女职工或

笛二心照，，m宥__________1600+1400+500____________35_

第二分厂的以工，刻有P（A）=4ooo+i600+3000+1400+800+500=记

=_____________800+500______________1300_13

°⑹=4000+1600+3000+1400+800+500=11300=Tl3,

5005

尸(AC8)=

4000+1600+3000+1400+800+500-113)

，P(AU3)=P(A)+P(B)—P(An8)=诂+市一市=市.

感悟升华(1)概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上的

区别：在公式尸(AUB)=P(A)+P(3)中，事件A,8是互斥事件；在公式尸(AUB)

=P(A)+P(3)-P(AnB)中，事件A,3可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.

(2)应用概率的一般加法公式解决问题的关键在于理解两个事件A,B的交事件

的含义，准确求出其概率.

【训练3】甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5,两人都命中的概

率为0.4,求甲、乙两人至少有一人命中的概率.

解至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设

事件A为“甲命中”，事件5为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”

为事件AU3,所以P(AU3)=P(A)+P(B)—P(AnB)=0.8+0.5—0.4=0.9.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一'选择题

1.下列说法正确的是()

A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为去则比赛5场，甲胜3场

B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病

人一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.天气预报中，预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%

答案D

解析由概率的意义知D正确.

11Q

2.设事件A,B,已知P(A)=5，P(B)=yP(AU3)=正，则A,8之间的关系

一定为()

A.两个任意事件B.互斥事件

C.非互斥事件D.对立事件

答案B

11Q

解析因为P(A)+P(B)=5+§=B=P(AUB),所以A,8之间的关系一定为互

斥事件.

3.从正五边形的五个顶点中，随机选取三个顶点连成三角形，对于事件4"这

个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是()

A.事件A发生的概率是］

B.事件A发生的概率是

C.事件A是不可能事件

D.事件A是必然事件

答案D

解析从正五边形的五个顶点中，随机选取三个顶点连成三角形都是等腰三角形,

故事件A是必然事件.

4.(2020•太原模拟)已知随机事件A和8互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,则

P(A)=()

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

答案A

解析•.•随机事件A和8互斥，且尸(AUB)=0.7,P(B)=0.2,P(A)=P(AUB)

-P(B)=0.7-0.2=0.5,/.P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5.

5.(多选题)(2021.重庆调研)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A=｛向上的一面

出现奇数点｝,事件3=｛向上的一面出现的点数不超过2｝,事件C=｛向上的一

面出现的点数不小于4｝,则下列说法中正确的有()

A.AB=0

B.8C=(向上的一面出现的点数大于3｝

C.｛向上的一面出现的点数不小于3｝

D.ABC=｛向上的一面出现的点数为2｝

答案BC

解析由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,3,5；

事件3包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,2；

事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4,5,6.

所以AB={向上的一面出现的点数为2},故A错误；

BC={向上的一面出现的点数为4或5或6},故B正确；

AB+BC={向上的一面出现的点数为3或4或5或6},故C正确；

ABC=Q,故D错误，故选BC.

6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个

事件是（）

A.“至少有一个黑球"与“都是黑球"

B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D.”恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

答案D

解析A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件;

C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两

个事件是互斥而不对立的关系.

7.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：。型50%,A型15%,

B型30%,AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，

那么能为病人输血的概率为（）

A.15%B.20%C.45%D.65%

答案D

解析因为某地区居民血型的分布为O型50%,A型15%,B型30%,AB型

5%,现在能为A型病人输血的有。型和A型，故为病人输血的概率为50%+15%

=65%,故选D.

8.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事

件8表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+B发生的概率为（）

A3B2C-3D6

答案C

解析掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)=］2，1P(B)4=U2所

21

以P(B)=1—P(B)=1_W=］，

因为B表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与8互斥，从而P(A+8)=

11?

P(A)+P(3)=Q+十Q.

二、填空题

9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯

在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可

程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度,

若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人.

答案6912

解析在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为一舄=盘则可估计该地

1Q

区对“键盘侠”持反对态度的有9600X石=6912(人).

10.从1,2,3,…，30,这30个数中任意选一个数，则事件“是偶数或被5整

除的数”的概率是.

3

答案5

解析记4=“是偶数"，3="是5的倍数”，则AnB={10,20,30},，P(AUB)

1113

=P(A)+P(B)-P(AAB)

11.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)

概率0.210.160.130.12

则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是.

答案0.25

解析设年降水量在(200,300),(200,250),(250,300)的事件分别为4,B,

C,则A=BUC,且CC为互斥事件,所以P(A)=P(8)+P(C)=0.13+0.12=0.25.

12.甲、乙、丙、丁四人参加4X100米接力赛，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率

为.

答案n

解析设事件A为“甲跑第一棒”，事件8为“乙跑第四棒”，

则P(A)=1,P(B)=1.

设甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(X,y),共有12种等可能结果：(1,

2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1)(4,

2),(4,3).

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能.即(1,4).

故P(AA8)==.

所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AA8)=(+]—*=卷.

B级能力提升

13.若随机事件A,8互斥，A,8发生的概率均不等于0,且