2023年吉林省长春市中考模拟练习数学试题（含答案解析）

2023年吉林省长春市中考模拟练习数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.如图是由六个棱长为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

2.据初步统计，截至2023年1月21日，《2023年春节联欢晚会》推出的竖屏看春晚

累计观看规模约达179000000人，将数字179000000用科学记数法表示为（）

A.179xl06B.17.9xlO7C.1.79xl08D.0.179x]09

3.如图，数轴上点A表示的有理数为a,下列各数中在0,1之间的是（）

A

_L^J-------1---------1--------L>

-24-1012

A.aB.-aC.\a\-1D.〃+l

4.下列各式中，错误的是（）

A.-（+5）=+（-5）B.|—5—5|=|—5|+|+5|

C.-5+1-5|<0D.-5<——

5

5.如图，在离铁塔100米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为a，测倾仪高A。为1.4

米，则铁塔的高为（）

B

C|<—1稣一HD

A.（1.4+100tana）米B.1.4+----米

1tan(7)

工100

C-lk4+sinj*D.(1.4+100sina)米

6.如图，AB是OO的直径，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,则。。的半径为（）

A.26B.3亚C.2石D.y[5

7.在△ACB中，ZABC=90°,用直尺和圆规在AC上确定点D,使△BADs^CBD,

根据作图痕迹判断，正确的是（）

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCQ的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，

点。（-2,3）,AD=5,若反比例函数y="（QO,x>0）的图象经过点8,则火的值

X

二、填空题

9.分解因式：2a2-8〃匕+8必=.

10.若V+8x+13=（x-a）~+b则出?=.

11.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其

中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一

斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，

价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普

通酒各多少？设买美酒x斗，买普通酒y斗，则可列方程组为.

12.如图，己知AB是。。的直径，AB=2,C、D是圆周上的点，且NCDB=30。，则

BC的长为.

试卷第2页，共6页

Iff

13.如图，正方形ABC。的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE,。尸和跖上，且点A

是线段OB的中点，若用的长为石乃，则0。长为

14.如图，把抛物线产平移得到抛物线相，抛物线机经过点4（-6,0）和原点O

（0,0）,它的顶点为P,它的对称轴与抛物线交于点。，则图中阴影部分的面

积为.

三、解答题

15.先化简，再求值：（a+2Z?y+2（4+与（4-力）-4（4+4人），其中a=-1,h=2.

16.小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排志愿者被随机分到A

组（体温检测）、8组（便民代购）、C组（环境消杀）.

（1）小红的爸爸被分到8组的概率是:

（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率

是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

17.在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺画图.（保留

必要的画图痕迹）

I---T--F-T--L-T-1I---T--L-T--L-T--II---T--LT--L-T-1

图1图2图3

(1)在图1中，画一个与/8AC相等的/BOC,且点。在格点上.

(2)在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形8CDE,/)、E均

在格点上.

(3)在图3中，在AC上找一点。，连接80,使AAB。的面积是△BCD面积的4倍.

18.甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成800米新建

公路.乙工程队比甲工程队少15名工人，每名工人每天工作12小时，则乙工程队每天

可完成600米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求

乙工程队的工人有多少名？

19.如图，在四边形ABCZ)中，AD//BC,ZBAD^ZBCD.

⑴求证：四边形438是平行四边形；

(2)连接AC、8。相交于点O,5c=7,30=10,AC=6,则△AO3的周长等于

20.某学校为了解《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》落实情况，就假期”平均每天

帮助父母干家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分:

根据上述信息，回答下列问题:

4070分钟

1020304050时间/分钟

(1)在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是多少人;

试卷第4页，共6页

(2)求刀，〃的值；

(3)补全频数分布直方图；

(4)如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分

钟，，学生大约有多少人？

21.已知A、5两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千

米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分

别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程，(千米)与甲车的行驶时间x(时)之

间的函数关系如图所示.

(1)乙车的速度为千米/时，a=,b=.

(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.

(3)当甲车到达距8地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程.

22.【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102-103页的部分内容.

性质：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半给出上述性质证明中的部分演绎推理的过

程如下：已知：如图1,在AA8C中，NACB=90。，CD为斜边AB上的中线.求证：

C£>=AB证明：如图2,延长C。至点E,使。E=CC,连接AE,BE.

图3图4图5

【问题解决】请结合图3将证明过程补充完整.

【应用探究】

(1)如图4,在△ABC中，4。是高，CE是中线，点尸是CE的中点，DFLCE,点、F

为垂足，NAEC=78。，则/BCE为度.

(2)如图5,在线段AC上有一点8,AB=4,AC=\\,分别以AB和8c为边作正方

形ABE。和正方形BCFG,点E落在边BG上,连接OF,点H为。尸的中点，连接G”，

则G”的长为.

23.如图，在RSABC中，/B=90。，AB=4,BC=2,点P在AC上以每秒6个单位

长度的速度向终点C运动.点。沿区4方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不

与点A重合时，连接PQ,以尸。，8Q为邻边作。PQ8M.当点尸停止运动时，点。也

随之停止运动，设点P的运动时间为“$),。P。8加与4ABC重叠部分的图形面积为5.

(1)点2到边相的距离=，点P到边BC的距离=；(用含，的代数式表示)

(2)当点M落在线段BC上时，求，的值；

(3)求S与f之间的函数关系式；

(4)连接当M。与△ABC的一边平行或垂直时，直接写出f的值.

24.平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c经过(1,0)、(0,5)两点，点A、C在这条

抛物线上，它们的横坐标分别为机和m+2.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.

⑵当时，y的取值范围是-2r+34”21,求f的值.

(3)抛物线上A、C两点和它们之间的部分记作图象G,设G的最高点纵坐标与最低点纵

坐标之差为/?.当点C在对称轴右侧时，求/z与，”之间的函数关系式.

(4)以线段AC为对角线作矩形ABC。，ABLy轴.当矩形A8CD与抛物线有且只有三

个公共点时，设第三个公共点为F,若△AC/与矩形A8CO的面积之比为1:4,请直接

写出m的值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分

别得到几个面，据此解答即可.

【详解】从上面看，可以看到4个正方形，面积为4.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法.

2.C

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中14M<10,〃为整数.确定〃的值时，

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：179000000用科学记数法表示为L79xl()8.

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为axio”，其中141al<10是关键.

3.C

【分析】由数轴可知-再逐个选项分析即可解题.

【详解】解：A、—2<a<—1,

••.1<H<2,故A不符合题意；

B、—2v。<—1,

/.2>-6T>1,故B不符合题意；

C、.—2<6/<—1,

1<|«|<2

故C符合题意；

D、：—2<a<—{,

故D不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，绝对值，相反数和有理数比较大小，熟知相关

知识是解题的关键.

4.C

【分析】根据绝对值的意义、有理数的加减运算及有理数的大小比较可直接进行排除选项.

答案第1页，共25页

【详解】解：A、-(+5)=+(-5),正确，不符合题意;

B、V|-5-5|=|-10|=10,|-5|+|+5|=5+5=10,/.|-5-5|=|-5|+|+5|,故不符合题意;

C、-5+|-5|=-5+5=0,原选项错误，故符合题意；

D,V|-5|>-1,故不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查绝对值的意义、有理数的加减运算及有理数的大小比较，熟练掌握绝

对值的意义、有理数的加减运算及有理数的大小比较.

5.A

【分析】过点A作E为垂足,由锐角三角函数的定义求出8E的长，再由

3C=CE+8E即可得出结论.

【详解】解：过点A作A£_LBC,E为垂足，如图所示：

则四边形ADCE为矩形，隹=8=100米，

:.CE=AD=\A^z,

在“中M，tancr=—BE=—BE,

AE100

lOOUmcr,

?.BC=CE+BE=(1.4+100tana)(米)，

故选：A.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键

是构造出直角三角形.

6.D

【分析】连接C。并延长CO交。于点E,连接AE,根据。4=OC,可得NACQ=NACE,从

而得到AE=AZ)=2,然后根据勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，连接CO并延长CO交。于点E,连接AE,

答案第2页，共25页

9

：OA=OCf

：.NACE=NCAB,

IZACD=ZCAB,

ZACD=ZACE,

•*-AD=AE，

•\AE=AD=2,

：CE是直径，

，ZCAE=90°,

.，•CE=>JAE2+AC2=V22+42=2百，

.••。0的半径为

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的

关键.

7.C

【分析】如果△BADS/\CBD,可得NADB=NBDC=90。，即BD是AC的垂线，根据作图

痕迹判断即可.

【详解】当BD是AC的垂线时，ABADs^CBD.

VBD1AC,

/ADB=NBDC=90。，

:ZABC=90°,

ZA+ZABD=ZABD+ZCBD=90°,

/.ZA=ZCBD,

.,.△BAD^ACBD.

根据作图痕迹可知，

答案第3页，共25页

A选项中，BD是NABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；

B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；

C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；

D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是

解题的关键.

8.D

【分析】先由。(-2,3),AD=5,求得A(2,0),即得AO=2；设A£)与y轴交于E,求得

£(0,1.5),即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F,求证△AOEs/^CDE,可得BA=CD=—,

3

QQQ

求证△AOES/XBM,可得4/7=2,BF=q,进而可求得8(4,-)；将8(4,§)代入反比

例函数＞=a，即可求得女的值.

X

【详解】解：如图，过。作OH垂直x轴于H,设与y轴交于E,过B作8尸垂直于x

轴于巴

:点D(-2,3),AD=5,

：.DH=3,

AH=ylADr-DH2=yl52-32=4^

.♦.A(2,0),即AO=2,

■:D(-2,3),A(2,0),

33

.•.AD所在直线方程为:y=~x+|,

：.E(0,1.5),即EO=1.5,

/.AE=ylAO2+EO2=5

2

答案第4页，共25页

：.ED=AD-AE=5--=-

22f

VZAOE=ZCDE,ZAEO=ZCED,

・•・A/IOE^ACDE,

・EO=AO

••而一~CD'

：.CD=AO?——,

EO3

・•・在矩形ABC。中，84=CD=¥，

VZEAO+ZBAF=90°,

又NEAO+NAEO=90。，

AZAEO=ZBAF,

又・.・NAOE=NBFA,

.BA_AF_BF

**访-AO"

Q

・,・代入数值，可得AG2,BF=-,

JOF=AF+AO=41

Q

：.B(4,”，

3

...将B(4)代入反比例函数)=与,得”=目，

3x3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股

定理、矩形的性质等知识.解题关键是通过求证△AOEsaCDE,AAOESMBFA,得至UB

点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解.

9.2(«-2/?)2

【分析】先提取公因数2,再利用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】2a2-8"+8b2

=2(/-4ab+4b2^

=2(“-24

故答案为：2(〃-北。

答案第5页，共25页

【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键.

10.12

【分析】根据配方法将等式的左边配方，即可求解.

【详解】解：Vx2+8x+13=(x+4)2-3=(x-a)2+&,

a=—4,b=—3,

•*.ab=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键.

H,P+>,=2

[50x4-10y=30

【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付

30钱”列出方程组.

【详解】依题意得：小"的.

[50%+1Oy=30

x+y=2

故答案为

50x+10y=30

【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知

数，找出合适的等量关系，列方程组.

12.1

【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得NA=NCDB=30。，再根据AB是。O的直

径，得出/ACB=90。，则BC=《AB,从而得出结论.

【详解】解：・・・AB是。。的直径，

JZACB=90°,

VZA=ZCDB=30°,

BC=-AB=-x2=1,

22

故答案为1.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所

对的弦是直径.

答案第6页，共25页

13.4&

【分析】连接0C,由正方形的性质求出NOQ4=45°,根据弧长公式求出扇形OEF的半径,

在R2OBC中利用勾股定理求出04,进而求解.

【详解】连接0C,•..在正方形ABCO中，且点A是线段。8的中点，

AOA^AD=AB=BC,ZOAD=ZOBC=90°,

N3O4=45",

,•*EF的长为加兀,

45万•OF=不兀,

180

解得，OF=4小,

在RS0BC中，由勾股定理知，（2OA）2+BC2=（4>/5）\

解得，。4=4,

.♦•由勾股定理知，00=4应，

故答案为：4垃.

【点睛】本题考查正方形的性质，弧长公式，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质与弧

长公式求出扇形的半径是解题的关键.

..27

14'T

【分析】根据点。与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点尸的坐标，过

点P作尸用,），轴于点M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPM0的面

积，然后求解即可.

【详解】过点尸作产例J_y轴于点M,设PQ交x轴于点N,

答案第7页，共25页

y.

\w.

•••抛物线平移后经过原点。和点力（-6,0）,

•••平移后的抛物线对称轴为户-3.

.••平移后的二次函数解析式为：y=^（X+3）2+h,

19

将（-6,0）代入得出：0=1（-6+3）2+h,解得：/;=-1.

9

点P的坐标是（-3,--

2

根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPM。的面积，

...。S=3Cx——9-_2-7,

22

27

故答案为：—

【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的

解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键.

15.2a2+2b2；10

【分析】先通过乘法公式展开，再合并同类项化简，最后代入求值即可；

【详解】原式=/+4"+4k+2/-2b。-a2-4ab,

=26+2〃；

把a=-1,6=2代入上式得：

原式=2x1+2x4=2+8=10；

【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确计算是解题的关键.

16.（1）—；（2）—.

33

【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率.

（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率.

【详解】⑴共有3种可能出现的结果,被分到“B组”的有1种,

答案第8页，共25页

因此被分到“B组”的概率为1,

故答案为：；；

(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下:

小红

爸爸

ABC

王老

师

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，

•D_3_1

♦•尸，他与小红爸爸在同-=~=~•

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果

情况是正确求解的前提.

17.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)如图，根据网格的特点以及对称性找到点D,连接BD,DC,则ZBDC=ABAC,

(2)根据题意，与△ABC面积相等，且以8c为边的平行四边形2CDE,则平行四边形BC

边上的高等于；43c中，8c边上高的一半，根据网格的特点，在格点上找到点。,E,连接

即可；

(3)根据勾股定理求得AC=5,找到FC=5,根据网格的特点作G"〃AF,根据平行线

分线段成比例可得ECDI,即找到符合题意的点D.

DA4

【详解】(1)如图所示，=且。在格点上，

答案第9页，共25页

(2)如图,

(3)如图,

AC=j32+42=5

作AF〃G〃

,CDCH\

△ABD的面积是4BCD面积的4倍.

则点。即为所求.

【点睛】本题考查了作轴对称图形，作平行四边形，平行线分线段成比例，掌握以上知识是

解题的关键.

18.15名

答案第10页，共25页

【分析】设乙工程队的工人有X名，则甲工程队的工人有(X+15)名，根据甲、乙两工程队

800600

的每名工人每小时完成的工作量相同列分式方程双询司=而，计算求解即可.

【详解】.解：设乙工程队的工人有x名，则甲工程队的工人有(x+15)名，

80060021

由题意得，河西=廿化简得，声

两边同时乘x(x+15)得，2x=x+15,

移项合并得，x=15,

经检验，x=15是原分式方程的解且符合题意，

答：乙工程队的工人有15名.

【点睛】本题考查了分式方程的应用.解题的关键在于根据题意正确的列分式方程.

19.(1)见解析

⑵15

【分析】(1)证明A8〃C。即可；

(2)根据平行四边形的性质可得8c=AQ=7,OQ=!BO=5,OA=1AC=3,即可得到

22

△AOD的周长.

【详解】(1)AD//BC,

：.NBAD+ZADC=180°,

ZBAD=ZBCD,

：.ZBCD+ZADC=ISO°,

：.AB//CD,

...四边形ABCD是平行四边形；

(2)•四边形ABC。是平行四边形，

/.BC=AD,OD=-BD,OA=-AC,

22

VBC=7,80=10,AC=6,

：.BC=AD=1,OD=-BD=5,OA=-AC=3,

22

△AOD的周长为AD+OD+OA=7+5+3=15,

故答案为：15.

答案第II页，共25页

【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质.熟练掌握各种特殊四边形的

性质定理和判定定理是解题的关键.

20.(1)200人

⑵=20,n=25

(3)图见解析

(4)大约有600人

【分析】(1)根据所用时长为。〜10分钟的频数分布直方图和扇形统计图的信息即可得；

(2)根据(1)的结果，分别利用所用时长为20~30分钟和30~40分钟的学生人数除以这

次调查的总人数即可得；

(3)根据所用时长为20~30分钟的学生人数补全频数分布直方图即可得；

(4)利用该校学生总人数乘以“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”学生所占百

分比即可得.

【详解】⑴解：60-30%=200(人)，

答：在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是200人.

(2)解：所用时长为20~30分钟的学生人数为200-40-60-50-10=40(人)，

则加％=叫xl00%=20%,«%=—xl00%=25%,

200200

所以机=20,n=25.

(3)解：由(2)已得：所用时长为20〜30分钟的学生人数为40人.

则补全频数分布直方图如下：

1020304050时间/分钟

(4)解：2000x(25%+5%)=600(人)，

答：估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”学生大约有600人.

【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查

答案第12页，共25页

的相关知识是解题关键.

135x-270（2<x<3,6）

21.（1）75；3.6；4.5；（2）y=\么八A7；（3）当甲车到达距8地70千米处

60x（3.6<%<4.5）

时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.

【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇,根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；

然后根据“路程、速度、时间''的关系确定。、》的值；

（2）运用待定系数法解得即可；

（3）求出甲车到达距8地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可.

【详解】解：（1）乙车的速度为：（270-60x2）+2=75千米/时，

〃=270+75=3.6,=270+60=4.5.

故答案为75；3.6；4.5；

（2）60x3.6=216（千米），

当2<xW3.6时，设y=Kx+4，根据题意得：

[f3.62匕k,++b4,==2016'解得[f4k,==-123750'

y=135x-270（2<x43.6）；

当3.6<xW4.5时，设y=60x,

._J135x-270（2<x<3.6）

60JC（3.6<X<4.5）；

20

（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270-70）+60=?（小时），

6

20

此时甲、乙两车之间的路程为：135XJ-270=180（千米）.

答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.

【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.

22.问题解决：见解析；应用探究：（1）26°；（2）逑

2

【分析】问题解决：根据题意证明一4£心空灯无即可；

应用探究：（1）设/8CE=a,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边对等

角可得，ZEDB=NEBDNDEC=NDCE=a,三角形的外角性质求得

ZAEC=ZB+ZECB=3a,即3c=78。；

答案第13页，共25页

（2）延长FG至M,使得GM=GF,过点。作ON_LMG于点N,根据正方形的性质以及

矩形的性质可得。MMN得到长，根据勾股定理即可求得根据中位线的性质即可求得

G”的长.

【详解】问题解决：如图3,延长CO至点E,使。£=C£>,连接AE,BE

CO为斜边AB上的中线，

/.AD=BD,

DE=CD,

四边形ACBE是平行四边形

又,NACB=90°

，四边形AC3E是矩形，

CE=AB

.-.CD=-CE=-AB

22

•••直角三角形的斜边中线等于斜边的一半

应用探究：（1）连接比），如图，

设NBCE=a

AD是ABC的高

:.AD±BC

.CE是中线

:.AE=EB

RtABD中，DE=—AB=AE=BE

2

/.ZJEDB=Z£BD

点厂是CE的中点，DFLCE,

:.DE=DC

:.ZDEC=ZDCE=a

答案第14页，共25页

/.NEDB=ZDEC+ZDCE=2a

:.ZEBD=ZEDB=2a

:.ZAEC=AB+ZECB=3a

.NA£C=78。

3a=78。

/.a=26°

即ZBC£=26°

故答案为：26

(2)如图，延长FG至使得GM=GF\过点。作ONJ_MG于点N,

四边形ASEO/C/G是正方形，48=4,AC=11,则四边形ONGE是矩形

：.FG=BC=AC-AB=\i-4=l

.\MN=MG-NG=7-4=31DN=EG=BG—BE=7—4=3

Rt/\MND中DM=>/32+32=372

MG=GF,H”为。尸的中点，

口八1e.3近

/.HG=—DM=-----

22

故答案为：—

2

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

答案第15页，共25页

23.(l)r；4-2r

(2)?

,4

/2(0</<-)

⑶s=<

14

一一t9+2t(—<t<2)

23

8

(4)r=，或r=l或t=2

【分析】（1）过点P作PELAB,根据勾股定理求出AC,运用三角函数得出cosNA=±,

5

sinZA=—,应用解直角三角形求出PE,AE即可；

5

（2）当点M落在线段8c上时，证明四边形PM8。是矩形，从而得到A8=f+2f=4,求出

f即可；

（3）分两种情况讨论：①当时，PQ8M与^ABC重叠面积为S“M,根据己有数

4

据计算即可;②当1VfW2时，设交BC于点N,则"。8”与^ABC重叠面积为SmPQBN,

根据已有数据计算即可；

（4）①如图，当QM_LA8时;则。"〃8C,证明四边形EPMQ是矩形，求出t即可；②当

QMJ_AC时，延长。例交4c于X,利用锐角三角函数求出PX=35f,再建立方程求解即

可；③当QM〃AC时，证明四边形ACMQ是平行四边形，再列方程求解即可.

【详解】（1）解：如图1,过点P作PELAB,

图1

由题意可知=

VZB=90°,AB=4,BC=2,

AC=ylAB2+BC2=2后,

答案第16页，共25页

••cosNA=-----,sinNA——,

55

PE=APsinZ.A=45tx^-=t>AE=APcosZA=>/5/x-^^-=2z,

:.点P到AB的距离为t,点、P到BC距离为4-2tt

故答案为：f;4-2t；

(2)如图2,当点M落在线段BC上时，

•.•四边形PMB。是平行四边形，

APM//BQ,PM1BC,

二四边形PMBQ是矩形，

：.PQ±AB,

PQ=t,AQ=2t,

,:BQ=t,

；.4B=f+2r=4,

,4

解得：

(3)①当时，PQ8M与△ABC重叠面积为SP3M,如图1,

：.S=SPQBM=PE-BQ,

由(1)可知PE=f,BQ=t,

.".S=t2,

_4

②当时，设PM交BC于点N,如图3,

答案第17页，共25页

A

A/

图3

则.PQ8M与△ABC重叠面积为S梯形°刎,

•••S=S柿形PQBN=；X(PN+BQ)XPE，

VPE=t,BQ=t,PN=4-2f,

S=—x(4—2t+r)xt=­1~+2t,

22

-4

r2(0</<-)

综上所述，S=\3

1,4

--t2+2t(-<t<2)

I23

图4

由（1）得：AE=2t,BQ=t,

VPM//EQ,QM1,AB,

，四边形EPM。是矩形，

:.EQ=PM=BQ=t,

：.AB=AE+EQ+BQ=4t=4,

解得：r=l；

②当QMJ_AC时，延长QM交AC于X,如图5,

答案第18页，共25页

图5

・.・/MPX=NA,PM=BQ=i,

I.PX=PM-cosZMPX=­t,

5

,;AP=6,

.・・AX=—r,

5

・A八AX7

••AQ=---------=-t,

cosZA2

79

•\AB=AQ+BQ=—Z+f=—t=4,

Q

解得：f=1;

VAQ//CM,AC//QM,

・・・四边形ACMQ是平行四边形，

：.AQ=CM=QB=tf

・・・AB=AQ+BQ=2f=4,

解得：f=2；

Q

综上所述，当与△ABC的一边平行或垂直时，E=g或r=1或［=2.

答案第19页，共25页

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函

数，几何中的动点问题.解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定与性质等相关知识，灵

活运用数形结合思想，分类讨论思想.

24.(l)y=x2-6x+5

Q)t=2-应

m2—6m+9(1</n<2)

(3)/?="m2—2m+l(2</n<3)

4/n-8(w>3)

3T5

(4)，"=一或，"=一

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)将二次函数化为顶点式，确定最小值及对称轴，结合题意得出-24x4在对称轴的左

侧，)，随x值的增大而减小，然后建立方程求解即可；

(3)先求出当A、C两点恰好关于x=3对称时，加=2,然后分三种情况分析当1<M42时，

点4离对称轴较点C离对称轴远，当2<“43时，点C离对称轴较点A离对称轴远，当相>3

时，点C离对称轴较点A离对称轴远，依次求解即可确定函数解析式；

(4)结合(3)分三种情况讨论：当mWl及mN3,m=2时，矩形A8CD与抛物线有且只有

两个公共点，不符题意，当当