电路第七章：二阶电路

第七章二阶电路内容提要当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方称为二阶微分方程，电路称为二阶电路。本章将在一阶电路的基础上用经典法分析二阶电路的过渡过程。§7—1二阶电路的零输入响应RC+–uciLS(t=0)uRLuL已知:uC(0–)=U0,

iL(0–)=0,t=0时将开关S闭合，求t≥0时uC(t)、iL(t)、uL(t)。解：由KVL,t>0时:–uC+uR+uL=0uR=iLR=–RCduCdtuL=L

=–LCd2uCdt2diLdtLC+RC+uC=0d2uCdt2duCdt设:uC=Aept代入上式LCAP2

ept+RCAPept+Aept=0LCP2+RCP+1=0特征方程特征根LCP2+RCP+1=0P=–RC±(RC)2–4LC2LC=–±2LR2LR()2–LC12LR2LR()2–LC1P1=–+P2=––2LR2LR()2–LC1可以看出:P1、P2只与组成电路的元件的参数有关。当电路中的R、L、C确定之后，便可求出P1、P2。uC(t)=A1ept+A2ept12由初始条件uC(t)=A1ept+A2ept12可解出:iL(0+)=iL(0–)=–C=0dtduCt=0A1+A2=U0A1P1+A2P2=0A1=P2–P1P2U0A2=–P2–P1P1U0uC(0–)=

uC(0+)=U0讨论：2LR2LR()2–LC1P1=–+P2=––2LR2LR()2–LC1A1=P2–P1P2U0A2=–P2–P1P1U0uC(t)=A1ept+A2ept12uC(t)=(P2ep1t–P1ep2t)P2–P1U0P1、P2均小于0，|P2|>|P1|；A1ep1t比A2ep2t放电慢。uCA1A2tuC1、>0,

R>2

时，P1、P2为不相等的两个实数根。2LR()2–LC1CL无震荡衰减电感的电压、电流uC(t)=(P2ep1t–P1ep2t)P2–P1U0iL=–CduCdt=–(ep1t–ep2t)L(P2–P1)U0uL=LdiLdt=–(P1ep1t–P2ep2t)(P2–P1)U0iLuLttmt10<t<tmCRLuCuLiLt

uC

uL

uR=uC–uL

i

t=tmuL=0,

uR=uC,

iL=iLmaxt>tmuL<0,uC

i

能量转换关系:0<t<tmCRLWCWLCRLt>tmWLWCWCWRWR2、P=–±2LR2LR()2–LC1令:=2=–()22LRLC12LR则:P1=–+–2=–+jP2=––juC(t)=(P2ep1t–P1ep2t)P2–P1U0=[(––j)e(–+j)t–(–+j)e(––j)t](––j)–(–+j)U0=e–t[–(ejt–e–jt)–j(ejt+e–jt)]j2

–U0=U0e–t(

ejt–e–jtj2+2ejt+e–jt)=U0e–t(sint+cost)

2LR()2–LC1CL<0,R<2

时，P1、P2为一对共轭复根令：=2=–()22LRLC12LRuc(t)=U0e–t(sint+cost)

LC1

0=uc(t)=U0e–t(sint+cost)

0

0

0

=

0–22

0

0

=cos

0

=sin

uc(t)=U0e–t(cos

sint+sin

cost)

0=U0e–

tsin(t+)

0由参数R、L、C便可求出

、

0、

、

。波形：uc(t)=U0e–

tsin(t+)

0tuc震荡衰减—衰减系数R=0时:=0;=0=;=LC1

2uc(t)=U0sin(

0t+)

2tuS自由震荡

0—固有角频率3、2LR()2–LC1CL=0,R=2

时，P1、P2为重根。P=–±2LR2LR()2