人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）（原卷版）

专题4.1数列的概念（重难点题型精讲）1．数列的概念数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号SKIPIF1<0表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用SKIPIF1<0表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用SKIPIF1<0表示.其中第1项也叫做首项.2．数列的分类3．数列的通项公式如果数列{SKIPIF1<0}的第n项SKIPIF1<0与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{SKIPIF1<0}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{SKIPIF1<0}的任意一项SKIPIF1<0与它的前一项SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.5．数列表示方法及其比较6．数列的前n项和数列{SKIPIF1<0}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{SKIPIF1<0}的前n项和，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0++SKIPIF1<0.

如果数列{SKIPIF1<0}的前n项和SKIPIF1<0与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.7．数列的性质(1)单调性如果对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0>SKIPIF1<0，那么称数列{SKIPIF1<0}为递增数列；如果对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，那么称数列{SKIPIF1<0}为递减数列.(2)周期性如果对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(k为正整数)，那么称{SKIPIF1<0}是以k为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么称{SKIPIF1<0}为有界数列，否则称{SKIPIF1<0}为无界数列.【题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列32,−5A．2n−12nC．(−1)n+12n+1【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列−1,13,−1A．an=C．an=【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列an的前4项为：1，−12，14，−1A．an=12n B．a【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=（A．1910C．131−【题型2判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，37，314，321，…，则3A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列an的通项公式为an=A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列an的通项公式为an=3n−1A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项【变式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知数列an的通项公式为an=2n+1A．2 B．4 C．8 D．16【题型3根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2022·陕西·高一期末（理））已知数列an满足an+1an=n+1nA．an=3nC．an=2n+1【变式3-1】（2022·甘肃·二模（文））数列an满足nan+1=n+1anA．4043 B．4044 C．2021 D．2022【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an满足a1+a2A．1−12n B．22【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=0,a2n+1A．20212022 B．20232022 C．1010【题型4数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小；作商比较法，即作商比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，从而判断出数列{SKIPIF1<0}的单调性.【例4】（2022·浙江·高二期中）在数列an中，a1=3，A．数列an单调递减 B．数列aC．数列an先递减后递增 D．数列a【变式4-1】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）下列数列中，为递减数列的是（

）A．1+5n B．−n2【变式4-2】（2022·天津·高三期中）数列an的通项公式为an=n2+kn，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知数列an满足：an=(3−a)n−8,n≤6an−6,n>6A．(2,3) B．(1,107) C．【题型5数列的周期性】【方法点拨】结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.【例5】（2022·福建·高二期中）在数列an中，a1=−2，an+1=A．−2 B．−13 C．【变式5-1】（2022·江苏·高二期中）若数列an满足a1=2，a2=3，aA．-3 B．-2 C．-1 D．2【变式5-2】（2022·河南·高二阶段练习）已知数列an满足a1=2，an+1A．2−1 B．2 C．2+1【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足a1=−3，aA．14 B．43 C．−1【题型6求数列的最大项、最小项】【方法点拨】利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.【例6】（2022·山西·高三期中）已知数列an满足a1a2a3⋯A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【变式6-1】