中考数压轴题之费马点模型详解全套

中考数压轴题之费马点模型详解这期这道题并不是中考真题，我也没找到是哪里的模考题，但是不影响这道题的重要性，这种类型的题目，同学们如果做过总结，会发现很简单，如果不做总结，考试时间都给你想你也想不出来，下面我们就来看看这道题吧第一问，求∠A+∠C的度数，这个很简单，就是270°。第二问让我们连接BD，探究一下三条边之间的关系这关系看不出来，我们可以拿尺子量一下，发现不是加和关系，那么考虑勾股定理关系，发现就是它。这里要注意一下，有的题目会让我们猜测关系，但是关系往往不是那么容易看出来的，所以我们有必要借助一些工具，比如刻度尺，量角器这些来进行辅助猜测。既然判断出是勾股定理关系，那么我们该怎么证明呢？首先想到是要把它们放到一个三角形当中去，可是这个三角形在哪里呢？这边就需要同学们积累一下了，遇到这种边相等，且存在勾股定理关系的，我们要想到旋转。我们将红色的三角形绕点B顺时针旋转60°到蓝色的三角形的位置，因为BA=BC，所以旋转过来刚好能重合，我去居然这么巧！其实就是因为相等才想到旋转的，这种技巧需要大家记忆，否则你考试很难考自己想出来的。之后我们就发现，AD=CD’,BD=BD’，可是好像还是没有把这三条边放到一个三角形当中去，不急，我们还要连接DD’，这样△BDD’就是等边三角形，怎么突然它就是等边三角形了？因为我旋转了60°，而且BD=BD’，所以它自然是等边三角形。那么后面就简单了，BD与DD’是相等的，所以三条边都转化到了△CDD’当中，那么问题就转化为证明∠DCD’=90°了。根据第一问，我们知道∠A+∠C=270°，而∠A经过旋转应该等于∠BCD’。所以用周角360°减去270°，就得到∠DCD’=90°，此题得解。第三问有一点E在四边形内部运动，然后满足一个勾股关系，让我们求出E的路径长度。我相信大部分同学读到这道题内心已经放弃了，这都是什么玩意儿内部运动？路径长度？怎么动我都不知道，还求路径，还要找直角三角形，太难了！！确实，这道题很难，但是难者不会，会者不难。做好积累很重要。这道题第二问和第三问其实都类属于费马点模型嗯，数学家都搬出来了，知道这道题为啥那么难了吧不同的是费马点是旋转后要拉成直线，这种问题是要放到一个三角形当中去。费马点问题解决的关键就在于旋转，你说这种旋转辅助线怎么可能不做积累你就能想到呢？回到这道题，我们怎么旋转呢？在解决这个问题之前，我们还要解决一个小问题，题目说点E是在四边形内部的，其实点E是在△ABC内部的因为如果点E在△ABC外部，那么BE就是最长边，显然不能满足题目所给的等式，题目给的等式要求我们AE是最长边。之后，开始旋转将褐色三角形旋转60°到变为绿色三角形，并且连接EE’，同样的方法能证明△BEE’是等边三角形，这样我们要求的三条边又都放到了△EE’C当中去了，根据题意，三边满足勾股关系，因此△EE’C为直角三角形非常高兴，领悟到了出题人的意思，但是接下来，又傻眼了，这点E的轨迹又是啥？先捋一捋，我们现在知道了∠E’EC=90°,再观察一下，发现，∠BEE’=60°，原因是等边三角形，这样就有线索了，∠BEC恒等于150°，到这就要想到圆周角了。这就是定弦定角的隐圆模型了，当我们知道一条定长线段，且有一个点与线段组成的角是固定的，我们就要立马想到，所有的点是在一个圆弧上的因此点E一定在一个圆上面，我们只要把这个圆的圆心找出来就行了。我们知道∠BEC恒等于150°，因此∠F=30°这边是用圆的内接四边形定理，那么圆心角BC’C=60°，所以△BCC’是等边三角形，所以BC=BC’=1，圆C’的半径为1，且点E在弧BC上运动，自然能求出轨迹长度为π/3，这道题就解完了。下面开始进行技术总结1.要能认出是费马点模型，并且记住旋转这个辅助