2023高考数学新课标二卷试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国n

卷）

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2),若A=B,则。=().

A.2B.1C-1D.-1

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调

查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400

名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C%CE种B.CZ-C鼠种

C.端/琮，种D.C篇C墨种

2x—1

4.若/（x）=（x+a）ln1^为偶函数，贝lja=（）.

A.-1B.0C.1D.1

5.已知椭圆C:；+y2=i的左、右焦点分别为6，F2,直线y=与C交于A,B

两点，若△《AS面积是△F:AB面积的2倍，则机=（）.

A.|B.—C.--D.--

3333

6.已知函数〃x）=ae'-lnx在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为（）.

A.e?B.eC.e-1D.e-2

7.已知a为锐角，cosa=L毡，则sin1=().

42

A3—>/5口—1+>/5c3—yf5DT+石

8844

记为等比数列｛｝的前〃项和，

8.5.q若54=-5,56=21S2>则$8=（）.

A.120B.85C.一85D.-120

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,1ft4=2,点

C在底面圆周上，且二面角P-AC—O为45。，则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=2夜D.4c的面积为6

10.设。为坐标原点，直线y=-G(x-l)过抛物线C：yJ2px(p>0)的焦点，且与c

交于M,N两点，/为C的准线，则().

O

A.p=2B.\MN\=^

C.以MN为直径的圆与/相切D.为等腰三角形

11.若函数〃x)=alnx+q+W(axO)既有极大值也有极小值，贝ij().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送。时，收到1的概率为a(0<a<1),

收到。的概率为1-a；发送1时，收到。的概率为以0<尸<1),收到1的概率为1-爪

考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传

输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，

收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依

次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(l-a)(l-6)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为6(1-£)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为£(1-£)2+(1-夕)'

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传

输方案译码为0的概率

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,满足,叫=6,卜+w=|2.-司，则忖=.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高

为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

15.已知直线/“一根)，+1=0与OC:(x-iy+y2=4交于4,8两点，写出满足“..ABC面

Q

积为相’的根的一个值.

试卷第2页，共4页

16.已知函数/(x)=sin(3：+e),如图A,8是直线y与曲线y=/(x)的两个交点,

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤。

17.记一43c的内角A,8,C的对边分别为a,4c,已知43c的面积为g,。为8c中

点，且AD=1.

(1)^ZADC=y,求tan8；

⑵若Z/+C2=8,求瓦c.

18.已知｛叫为等差数列，2=[?-6二数，记S“，7；分别为数列｛%｝,但｝的前

〃项和，§4=32,4=16.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)证明：当">5时,Tn>Sn.

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，

小于或等于。的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记

为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布，

以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

⑵设函数〃c)=p(c)+q(c),当CG[95,105]时,求〃c)的解析式，并求/.(c)在区间

[95,105]的最小值.

20.如图，三棱锥4-88中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,E

为BC的中点.

(1)证明：BCA.DA,

(2)点/满足£F=£)A，求二面角。一AS-尸的正弦值.

21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜26,0),离心率为不.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A,4,过点(Y,0)的直线与C的左支交于M,N两点,

M在第二象限，直线MA与M4?交于点尸.证明:点P在定直线上.

22.(1)证明：当Ovxvl时，x-x2<s\nx<x；

(2)已知函数/(x)=cosor-若x=0是〃x)的极大值点，求a的取值范围.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

［详解］因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

2.B

【分析】根据包含关系分。-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为A=B,则有：

若〃一2=0,解得a=2,此时A={0,—2},B={l,0,2},不符合题意；

若2“一2=0,解得a=l,此时A={0,—l},B={1-1,0},符合题意；

综上所述：a=\.

故选：B.

3.D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x拦=40人,高中部共抽取60x婴=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C<•C禽种.

故选：D.

4.B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为f(x)为偶函数，则/(I)=/(-I)，(1+a)In1=(-1+«)In3,解得a=0,

当a=O时，=(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<-g,

则其定义域为卜|x〉g或无关于原点对称.

f(-x)=(-x)In~-=(-x)ln~A+1=(-x)In［=xln-x~^=

八'、'2(-x)+l、72x-\、'Ux+lJ2x+\V7

故此时〃x)为偶函数.

故选：B.

答案第1页，共16页

5.C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用△>(),求出，”范围，再根据三角形面积比得

到关于机的方程，解出即可.

y=x+m

x2，消去y可得4/+6如+3病-3=0,

了+八21

因为直线与椭圆相交于点，则公1=4X4(3〃P—)解得一

A,836m2—3>0,2Vm<2,

设F,到AB的距离4再到AB距离4，易知耳卜3,0),巴(60),

皿|-0+机|,\y/2+m\

I-及+川

占=西=黑*2,解得…当或一30(舍去),

【分析】根据/(切=获,--20在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，/'(x)=ae*-l20在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xe-L

xa

设g(x)=xe\xw(l,2),所以g，(x)=(x+l)e'>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

g(x)>g(l)=e,故e2,，即即〃的最小值为e，

ae

故选：c.

7.D

【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【详解】因为cosa=l-2sin24=L芭，而a为锐角,

24

答案第2页，共16页

解得：sin掾=(3一下75-175-1.

故选：D.

8.C

【分析】方法一：根据等比数列的前〃项和公式求出公比，再根据名，怎的关系即可解出；

方法二：根据等比数列的前〃项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列｛为｝的公比为。，首项为4，

若q=l,则S6=6q=3x2q=3S2,与题意不符，所以

由S,=-5,S$=21邑可得,也二£)=_5,"'("'『"'(〜八①,

\-ql-q\-q

由①可得，1+/+/=21,解得：q2=4,

所以$8=)=)X(1+/)=_5X(1+16)=-85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛〃“｝的公比为4，

因为邑=-5,S6=21S2,所以夕w—1,否则S1,=0,

从而，s2,s4-s2,s6-s4,s8-s6成等比数列，

o25

所以有，(-5-S2)=52(2152+5),解得：邑=-1或员=1,

当$2=-1时，S,,S4—52,S6—S4,S8—S6,即为-1,-4,—16,Sg+21,

易知，$8+21=-64,即S,=-85；

当s?=_时，S4=q+4+.+。4=(4+/乂i+/)=(i+q2)s2>o,

与邑=-5矛盾，舍去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前〃项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是

把握s431s的关系，从而减少相关量的求解，简化运算.

答案第3页，共16页

9.AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D

选项的正确性.

【详解】依题意，ZAPB=\20°,PA=2,所以OP=1,OA=O3=VL

A选项，圆锥的体积为3、兀*(右)\1=兀，A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀xgx2=2g7t,B选项错误；

C选项，设。是AC的中点，连接02?。，

则AC1OD,ACLPD,所以NPDO是二面角P—AC—O的平面角，

则NP£)O=45。，所以OP=OD=1,

故AD=CD=^^i=&,则AC=2应，C选项正确；

D选项，PD=712+12=72>所以SpAc=gx2\/5x夜=2,D选项错误.

10.AC

【分析】先求得焦点坐标，从而求得。，根据弦长公式求得,根据圆与等腰三角形的

知识确定正确答案.

【详解】A选项：直线y=-G(x-l)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸(1,0),

所以5=l,P=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为>2=4x.

B选项：设,

由卜,=-8(x-l)消去>并化简得#_]0x+3=(x-3)(3x-1)=0,

y=4x

解得玉=3,X2=g,所以|MN|=%+%+p=3+g+2=T，B选项专昔误.

C选项：设MN的中点为A,到直线/的距离分别为44,d,

答案第4页，共16页

因为4=；(4+4)=；(|耐|+"/|)=；阿明，

即A到直线/的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线/相切，C选项正确.

D选项：直线y=-G(x-l),即Vlr+y-石=0,

。到直线6x+y-6=()的距离为d=3,

2

所以三角形OMN的面积为'屿、且=勺2

2323

由上述分析可知y=-\/3(3-1)=-2^,y2=

所以|0叫=』+(-2国=d,|ON卜

所以三角形。MN不是等腰三角形，D选项错误.

【分析】求出函数/(*)的导数/(X),由已知可得，'(x)在(0,+8)上有两个变号零点，转化为

一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数士+三的定义域为(0,位)，求导得

XX

。b2cax2-bx-2c

3--------------，

/W=-x----x-r-x-r=--------x-

因为函数/*)既有极大值也有极小值，则函数/'。)在(0,”)上有两个变号零点，而。工0,

因此方程如2-法-2c=0有两个不等的正根不

答案第5页，共16页

A=/?2+Sac>0

于是，王+》2=2>0,即有。2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a%?<0,即从•<(),A错

a

2c.

X[X>=--->0

.'a

误，BCD正确.

故选：BCD

12.ABD

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率

计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0

接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-尸)(l-a)(l-6)=(l-a)(l-£)2,A正确:

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-4)"(1-夕)="1-月)2,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C/(l-/)2+(l-夕)3=(1-4)2(]+2/),c错误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(l-a)p+2a),

单次传输发送0,则译码为0的概率户=1-a,而0<a<0.5,

SlitP-=(1-a)2(l+2a)-(1-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>P,D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互

斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

13.6

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令'=5-力，结合

数量积的运算律运算求解.

答案第6页，共16页

【详解】法一：因为k+司=|2“一同，即（“+4=（2〃—可，

则a+2a-b+b=4a~-4a-b+b,整理得，-2a-b=0>

又因为即（a-b『=3,

贝唠-2疗+入入3,所以忖=5

I].rirrrrrrrr

法二：设c=5_〃，则卜|=，3,0+6=0+2/?,2〃一匕=2C+》，

由题意可得：/+叫=（2c+6）,则</+4c0+4/f=4（/+4c•/?+//，

整理得：；2』2,即帆=口=b.

故答案为：6.

14.28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法

二：根据台体的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于（=]，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

所以正四棱锥的体积为gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为；x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+&Q）=28.

故答案为：28.

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长恒同，以及点C到直线A8的距离，结合面积

公式即可解出.

答案第7页，共16页

【详解】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|A8|=244-屋，

所以S&Bc=；xdx2V^7'=g,解得：d=处或d=巫,

2355

由d=J整所以-挛或-^上方;半，解得：加=±2或"=土;.

Vl+w2V1+/M2y/l+m25V1W52

故答案为：2（2,-《,一中任意一个皆可以）.

16.

~2

【分析】设4（和£],8（々，），依题可得，x2-x,=p结合sinx=g的解可得,

。（工2-%）=与，从而得到。的值，再根据/（1兀）=°以及/（。）＜0,即可得

f（x）=sin（4x-|7t）,进而求得/⑺.

【详解】设4、,£）,8卜，£|，由|4用=2可得々一%=看，

I兀57r

由sinx=不可知，x=：+24兀或x=：+2E,kwZ,由图可知，

266

6yx2+0—(0X|+9)=7兀­7=^-，即/(马/.6<9=4.

日位/＞[2I.（8兀]8兀.Q

因为铲尸叫了+叼=0,所以5+e=E,即3=一不+kitkwZ.

所以/(x)=sin4x——兀+E=sin4x——兀+左兀

所以f(x)=sin(4x—17i)或f(x)=—sin(4x-g兀

又因为/（0）＜0,所以"x）=sin（4x-[兀｝・•./（兀）=sin（4兀一|兀）=—#.

故答案为：罟.

【点睛】本题主要考查根据图象求出。以及函数/（x）的表达式，从而解出，熟练掌握三角

函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键.

17.(1

(2)Z>=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面积公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

答案第8页，共16页

用三角形面积公式求出“，作出8c边上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面积公式求出-ADC即可求解作答；方

法2,利用向量运算律建立关系求出a,再利用三角形面积公式求出NADC即可求解作答.

TT

【详解】(1)方法1：在：ABC中，因为。为BC中点，ZADC=-,AD=1,

Y=Ta=is-=T,解得I，

27r

在中，ZADB=y,由余弦定理得C?=8£)2+4)2-23£>.4)COSNADB,

即c2=4+l-2x2xlx=7,解得c=>/7,则cos8=^^=胆,

2V7x214

sinB=Vl-cos2B-

所以tanB=^=正.

cosB5

方法2：在ABC中，因为。为BC中点，ZADC=^,AD=\,

贝USA”。=,A£>-OCsinNAOC='xl*1ax^=^a=1s.„r=—,解得a=4,

m2222822

在,AC。中，由余弦定理得从=CZ)2+452_2CZ)A£>COSZAZ)8,

即/=4+1_2x2xlxg=3,解得b=百,有.AC2+AQ2=4=C£>2,则NCAO=5,

C=j过A作A£JL8c于E,于是CE=ACcosC=3,4E=4CsinC=^,BE=£

6222

所以tanB噎邛

11

c"9-~a9+l-2x—6fxlxcos(7t-ZADC)

(2)方法1：在△ABO与A8中，由余弦定理得，

h2=—a2+l-2x—6/xlxcosZADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而从+C・2=8,则〃=26,

又SADC=；x石x1xsinZ.ADC=*，解得sinZADC=I,而0<ZADC<”，于是ZADC=],

所以/?=c=jA£>2+a)2=2.

答案第9页，共16页

方法2：在，ABC中，因为。为BC中点，则2AO=AB+AC，又CB=AB—AC，

4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(fe2+c2)=16,即4+/=i6，解得a=2百，

又SAnc=-x73x1xsinZAZJC=—,解得sin/4DC=l,Ifij0<ZADC<n,于是NADC=：,

ADC222

所以。=c=Jm+CD?=2.

18.⑴a“=2”+3；

(2)证明见解析.

【分析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,用4，4表示S“及7”，即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的结论求出S“，b„,再分奇偶结合分组求和法求出(，并与S“作

差比较作答；方法2,利用(1)的结论求出S“，bn,再分奇偶借助等差数列前〃项和公式

求出工,，并与S“作差比较作答.

,、—6,〃=2%-1.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,而2=；，骁N*,

,KI—Z.K

则h1=a]-6,Z?2=2a?=2q+2d,4=%—6=4+2d—6,

⑸=4tz,+6d=32

于是,,,,解得％=5,d=2,a„=a+(n-l)d=2n+3,

r,=4«(+44-112O=16t

所以数列｛«„｝的通项公式是4,=2〃+3.

⑵方法1：由⑴知，s.一(5+；〃+3)=”2+4〃,2=广一：’”；丁,此用，

2[4〃+6,〃=2k

当〃为偶数时，〃i+d=25—1)-3+4〃+6=6〃+1,

于13+(6〃+1)/?37

T,=------------=-/?"2+—n,

“2222

当”>5时，7；,-5„=(|n2+1-7J)-(/i2+4/j)=^n(n-l)>0,因此Z,>S“，

327325

当〃为奇数时，Tn=T„+1-b„+l^(n+1)+-(n+1)-[4(n+1)+6J=1n+^n-5,

当"〉5时，Tn-Sn=(^n'+^n—5)—(n'+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此>S“，

答案第10页，共16页

所以当〃>5时，T”>S,,

2n-?>,n-2k-\,*

方法2：由(1)知，S"="(5+}+3)=、+4〃b“=入N*,

4〃+6,〃=2%

当〃为偶数时,

Ta入,.—1+2(〃-1)—3n14+4/1+6〃327

Z,=(4+4++4_|)x+(包+d++2)=--------------+—------=

3.71

当〃>5时，7,-S“=(5〃2+]〃)_(〃2+4〃)=2〃(〃-1)>O,因此7；>S“，

当〃为奇数时，若〃之3,则

-1+2〃―3〃+114+45-1)+6n-\

(=(〃+&++2)+也+%++%)=---------------F

22~2F

=j3n2+|5»-5,显然/；=伪=-1满足上式，因此当〃为奇数时，7；,=|3«2+|5/7-5,

35i

22

当〃〉5时，Tn-S„=(-n+-n-5)-(«+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此7；>S“,

所以当〃>5时，Tn>Sn.

19.(l)c=97.5,4(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100„,_,

⑵/©=0.01c-0.98,100<c<105'最小值为。。2.

【分析】(1)根据题意由第一个图可先求出。，再根据第二个图求出CN97.5的矩形面积即

可解出；

(2)根据题意确定分段点100,即可得出/(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可

解出.

【详解】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5—95)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)当ce[95,100]时,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

当ce(100,105]时,

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0.02,

答案第11页，共16页

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=

0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在区间［95,105］的最小值为0.02.

20.(1)证明见解析:

(2)T

【分析】(1)根据题意易证工平面ADE,从而证得BC_LZM；

(2)由题可证平面58,所以以点E为原点，所在直线分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系，再求出平面AB3A8F的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同

角三角函数关系即可解出.

【详解】(D连接AE,OE,因为E为8c中点，DB=DC,所以。ELBC①，

因为D4=D9=3C,ZADB=ZADC=60,所以ACD与△ABO均为等边三角形，

AC=AB,从而AE_L5C②，由①②，AEDE=E,AE,OEu平面,

所以，BC_Z平面A0E,而ADu平面A£)E,所以BC_LD4.

(2)不妨设DA=DB=DC=2,BDVCD,:.BC=2®,DE=AE=C.

：.AE2+DE2=4=AD2>:.AEVDE,又AEA.BC,DEBC=E,OE,8Cu平面BCD

.•.AE_L平面SCO.

以点E为原点，E2EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设0(72,0,0),4(0,0,夜),3(0,衣0),E(0,0,0),

设平面ZMB与平面A8广的一个法向量分别为勺=(jq,yl,zl),n2=(x2,y2,z2),

二面角O-AB-B平面角为氏而A8=(O,a,-0),

因为E/=。4=(-0,0,0),所以4即有4尸=(-0,0,0),

答案第12页，共16页

J-V2X1+y/2z}=0

取％=1,所以4=(1,1,1)；

[\[2yi-y12z1=0

\f2y2-V2Z2=0

取丫2=1，所以%=(0,1,1),

-yjlx2=0

所以‘上°网=向声耳豆=乎’从而sine=614・

所以二面角。-钻-尸的正弦值为坦.

3

(2)证明见解析.

【分析】(1)由题意求得”,〃的值即可确定双曲线方程:

(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与N4的方程,

联立直线方程，消去丁，结合韦达定理计算可得x+三2=-：1,即交点的横坐标为定值，据此

x-23

可证得点尸在定直线4T上.

22

【详解】(1)设双曲线方程为［-与=1(。＞0*＞0),由焦点坐标可知c=2后，

ab〜

则由0=2=逐可得。=2,b=\Jc2-a2=4»

a

双曲线方程为M=l.

416

(2)由(1)可得4(-2,0)，4(2,0),设(孙方)，

显然直线的斜率不为0,所以设直线MV的方程为尤=根＞」4,且

22

与?一福=1联立可得(4m2-1)/-32%),+48=0,且△=64(4m2+3)>0,

32/7748

贝|」乂+%=4/n2—1'")24m2-1，

答案第13页，共16页

直线"A的方程为y=T?(x+2),直线叫的方程为y=(X-2),

Xj-rZX-,—L

联立直线"4与直线N4的方程可得：

x+2=%(占+2)=%(冲।-2)=阳心-2(%+%)+2乂

x-2》(占-2)y("%-6)加X内一6%

48。32m八-16m3

m-----7------2•4/»」2)1嬴=1+2,

4"-1

4848〃？工3

mx——-——-6y)

4〃r-1

由x=+=2一：i可得x=-l,即与=-1,

x-23

据此可得点P在定直线4-1上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和

综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算,

是解题的关键.

22.(1)证明见详解(2)(-00,-72)(V2,+oo)

【分析】(1)分别构建尸(x)=x-sinx,xe(O,l),G(x)=x2-x+sinx,xe(O,l),求导,利用

导数判断原函数的单