2023年高考数学大招4导数与数列不等式

大招4导数与数列不等式

大招总结

导数与数列型不等式的交汇问题，主要用到两个方面的知识点：第一，学生要学会找到

不等式右边和的通项；第二，要学会运用放缩比较不等式左边的通项与右边的通项的大小.

我们通过几道例题来给大家讲解.

数列不等式常用通项求法有如下两种：

%=S,-Si(q为通项,S”为前〃项和)

%=、)(%为通项，T“为前n项积)

导数常见放缩技巧：

e+1>x>x-1Inxffl--$,$e'ex$,$--V?Inx

xe

典型例题

例1.设函数f(x)=ln(l+x),g(x)=#，(x),x..O,其中广(x)是/(x)的导函数.

(1)g|(x)=g(x),g“+i(x)=g(g“(x)),〃eN*,求g“(x)的表达式；

(2)若/(%)..ag(x)恒成立，求实数。的取值范围；

(3)设〃eN”,比较g⑴+g⑵++g(〃)与〃一/5)的大小，并加以证明.

解

1x

(1)/(X)=ln(l+x),g(x)=xf'(x),x..0,f'(x)=-——,g(x)=-——g/x)=g(x),

1+x1+x

X

g"+l(x)=g(g”(幻),g|(X)=/匚，g2(X)==T--，假设当"=%..1时，=

14-X1+X1+2x

1+x

X

X

，则gM=1+fcr=x当〃=A+]时,g(x)=也成立

Mk+]：

1+kx[+x1+(k+l)x1+(K+1)X

1+Ax

综上'g"a)=念'〃CN*-

Yax

⑵：f(x)廊g(x),g(x)=一—ln(l+x)---—0,A?0.令

1+x1+x

/?(x)=ln(l+x)——竺-,x

1+x

，/八、r\_।i./、16F(1+X—X)1+X—Q„

..0,易知〃(0)=0,贝ij/2*)=■；------------5―=-----r，x..O.当4,1时，

1+x(1+x)(1+x)

厅(x)..O在x..O上恒成立，.在［0,+s)上单调递增，/z(x)../z(0)=(),满足条件；当

a>1时，令/i'(x)>0,解得x>a—1,令h\x)<0,解得0,,x<a—1.于是A(x)在

上单调递减，在(。一L+8)上单调递增，

AA(iz-l)</?(())=(),与题设矛盾，综上可知a”1.

⑶g⑴+g(2)++g(")>〃一/("),

12

证明：要证g⑴+g(2)++g(n)=-+-++

3=邛+4++j…+1),

〃+1(23几+U

只需证-----|<ln(«+1).在(2)中取a=l,可得+--->0,令

(23〃+"1+x

1…H+O14一1八

x=eN,贝ijIn---->----,故有山2一

n\)1+〃

In1>-,In3-In2>-,••,ln(n+1)-Inn>—^―，上述各式相加可得

23〃+1

1

ln(«+1)>—H---F+----

(23〃+1

例2.已知函数/(x)=a7—lnx.

(1)若函数/(X)在口,长。)上为增函数,求实数t的取值范围；

辛111

(2)当〃..2且〃eN时，证明：----1-----F---I---->Inn.

In2In3Inn

解：(1)实数f的取值范围为",+8).

(2)证明：由⑴知，令r=l,则/(x)=x-l-lnx在［1,+8)上为增函数,

/(x)../(l)=O,

即X-L」nx,当且仅当x=l时取等号.

要证明Ng…耳+1咽++1n(色)'只需证

L〉lnpQ

Inn\n-\J

在x-L.lnx中取了=〃(九.2),有〃一则-^―>—--;

Innn-\

fiJ(ri\

在x—L.lnx中取x=----(n..2),易知x>l,则----->In----.

n-\n-\-

综上可知;一成立，则原命题成立.

In〃I〃-1J

例3.已知函数/(x)=alnx-ar-3(aeR,aH()).

(1)求函数/(x)的单调区间；

―、一In2In3In4In/?1(.

(2)求证:---x---x---xx---<一|.2,〃£N).

234nn.)

解(1)由于/'(x)=理二2(x>0),

X

①当a>0时，易知，当0<x<l时，f'(x)>0,当x>l时，f'(x)<0；

所以/(X)的单调递增区间为(0/)，递减区间为(1,+8)；

②当“<0时，同理可知/(X)的单调递减区间为(0,1),递增区间为(1,+8)；

、r=、In2In3In4Inn1(-­、

(2)证明：要证---X-----X-----XX-----<—(H..2,7?GN)成乂；

234nnx7

_、Innn-\(〜

只须证---<-----(几.2,〃£NI

nnx7

即证ln〃<〃一1(几.27GN)

下面证明此式.

令a=l此时/(x)=lnx—x—3,所以/(1)=-4,

由⑴知/(幻=Inxt—3在(1,”)上单调递减，

・・.当X£［l,+oo)时/(%)</(I),即Inx-x+lvO,

・•・lnxvx-1对一切X£(l,+8)成立，

.2,〃£N",，0<In〃<九一1.故结论成立.

自我检测

1.已知f(x)=ln(x+l).

1

(1)若g(x)=：V9—x+/(x),求g(x)在［0,2］上的最大值与最小值；

4

(2)当x>0时，求证：

1+X\XJX

(3)当“eN+且〃..2时，求证：-+-+-++—^―</■(«)<1+-+-++-.

234n+1-23n

5小/、12,/,、“、1,1x(x-l)

解：⑴g(x)=：x-x+ln(x+l),g(x)=-x-l+------=—~,

42x+12(x+l)

g(x)在［0,1］上单调递减,在工2］上单调递增.

3

g(0)=0,g⑴=-二+In2,g(2)=-1+In3,

4

g(x)在［0,2］上的最大值为一1+In3，最小值为=一1+In2.

4

I—x

⑵证明:函数的定义域为(-1,+oo),构造函数//(x)=f(x)—x,.•.1(x)=-----1=—.

X+lX+1

•••函数在(-1,0)上单调递增，在(0,+0。)上单调递减，

在x=0处，函数取得极大值，也就是最大值，

〃(x)轰必(0)=0,/(x)—x/?(0)=0,.\/(x)-x?0.1.•x>0,:.构造函数

YX

8(x)=/(x)-----(p'(x)=-------,

1+x(x+1)

函数在(-1,0)上单调递减，在(0,用)上单调递增，

y

在x=0处,函数取得极小，也就是最小值，,。5)庞。(0)=0,；./(尤)———0,

1+X

.x>0,..----<f-,..----<f—<一.

1+x\x)1+x\x)X

(3)证明：・・•=+=

由(2)知：---</(1]<一,；."；----<f(«)-/(«—1)<—,

1+»\n)n1+/?n

1+11+221+331+n

,、1—〃1111r,、，111

-1)<一.叠力口可传1---1---F•••H-----<f(H)<1H---1---F•--H.

n234123n

InY

2.已知函数/(x)=履,g(x)=——.

X

]nx

(1)求函数g(x)=—的单调区间；

X

(2)若不等式/(x)..g(x)在区间(0,+o。)上恒成立，求实数&的取值范围；

一、In2In3Inn1

⑶求证：—r+++-<T--

25n2e

InX

解：⑴g(x)=—,X>0,故其定义域为(0,+8),

X

3)=等,令g'(x)〉。，解得。＜…令g'(x)＜。，解得x〉e.

故函数的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+00).

/、八7,Inx人,/、Inx［，/、l-21nx人］、八

(2)•/x>0,kxj^-，:.k——,令/z(x)=——/z(x)=----；——，令/z(x)=(),

XX"XX'

解得X=五,当尤在(0,+8)内变化时，厅(％),皿>)的变化如下表：

X(0，Ve)n(Ve,+oo)

h‘(工)+0——

1

h(G/

由表知，当》=也时函数人。)有最大值，且最大值为3,所以实数上的取值范围是

(，+8)

L2e)

⑶证明由⑵知

华明，.岑11,>、ln2In3Inn

--*-T(-VAS2),——Iz—T~

xx2ex22434n4

1(111

+-----FH---------------

2e11x22x3(〃一1)〃J

3.已知函数/(x)=or2+in(x+l).

(1)当。=-7时,求函数/(%)的单调区间；

4

x0

⑵当xe[0,4。。)时，函数y=/(x)图象上的点都在《“八所表示的平面区域内，求实数

y-x,,0

a的取值范围；

(3)求证：f1H----1+--------1+7—i--------\7-----7＜e(其中〃eN,e

I2x3人3x5人5x9j[(2n-'+1)(2"+1)

是自然数的底数)

11,

解：(1)当«=--时，fM=--x2+ln(x+l),(x>-1),有

44

(x+2)(x—1)

r*)=

2(x+l)

由广(x)>0解得T<x<l,由广(x)<0解得：x>l,:.函数/*)的单调递增区间是

(-1,1),单调递减区间是(1,+8)；

%0

(2)当xe[0,+oo)时，函数y=/(x)的图象上的点都在《“八所表示的平面区域内,

J一%,0

即当xe[(),+oo)时，不等式/(x)”x恒成立，即a?+]n(x+l)“次恒成立，设

g(x)=or2+]n(x+l)-x,(x..O),只需g(x)max”0即可，g，(x)=中"+中切.

x+1

X

①当。=0时，g'(x)=-----当X>0时,g'(x)<(),函数g(x)在(0,+8)上单调递减,

X+1

•••g(x),,g(0)=0成立.

②当a>0时，由g，(x)=-"2"*+(2a_121=o因xe[0,+oo),.\x=--1.

x+l2a

若二-一l<0,即。>1时，在区间(0,48)上，g'(x)>o,函数g(x)在(0,+8)上

2a2

单调递增