3.1.1函数及其表示方法(第3课时分段函数)课件-高一上学期数学人教B版_第1页
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第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.1函数及其表示方法第3课时

分段函数典例精析北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价。其中年用水量不超过180m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180m3但不超过260m3的部分,综合用水单价为7元/m3。如果北京市一居民年用水量为xm3,其要缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x

≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图象。解:如果x∈[0,180],则f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照题意有f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.因此f(x)=5x,

x∈[0,180],7x-360,x∈(180,260],注意到f(x)在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分,又因为f(180)=5×180=900,f(260)=7×260-360=1460由此可作出函数的图象,如图所示如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数。尝试与发现函数D(x)=被称为狄利克雷函数,你能说出这个函数的定义域、值域吗?你能作出这个函数的图象吗?1,x∈Q,0,x∉Q,可以看出,狄利克雷函数的定义域为R,值域为{0,1},但它的图象不能形象地展示出来。典例精析设x

为任意一个实数,y是不超过x的最大整数,判断这种对应关系是否是函数。如果是,作出这个函数的图象;如果不是,说明理由。解:因为当n∈Z且x∈[n,n+1)时,有y=n,又因为任何一个实数x,都必定在某个形如[n,n+1)的区间内。因此,给定一个x,有唯一的y与之对应,所以这种对应关系是函数。由上可看出,在每一个区间[n,n+1)内,函数的图象是直线的一部分,由此可作出这个函数的图象,如图所示。上题中的函数通常称为取整函数,记作y=[x],其定义域是___________,值域是____________。这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出,因此也被称为高斯取整函数。RZ在以后的学习中,我们还会碰到值域只有一个元素的函数,这类函数通常称为常数函数。也就是说,常数函数中所有自变量对应的函数值都相等。例如f(x)=7,

x∈R是一个常数函数,它的值域是__________,图象是一条垂直于y轴的直线。{7}典例精析

由上可以看出,函数可以通过多种方式表示,而且函数的解析式也具有多种形式。在确定函数的解析式时,可以借助方程或方程组的知识,使用待定系数法完成。典例精析已知二次函数的图象过点(-1,4),(0,1),(1,2),求这个二次函数的解析式。解:设函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),则a-b+c=4

c=1

a+b+c=2

由此可解得a=2,

b=-1,c=1,因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.已知f(x)=x²,求f(x-1).典例精析解:由已知可得f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.如果设g(x)=f(x-1),则有g(x)=x2-2x+1,因此g(x)与f(x)是不同的函数。基础自测D

C

解析:∵10≤x<15时,y=4,∴y=f(11)=4.-3

5.如图为一个分段函数的图像,则该函数的定义域为___________,值域为___________.[-1,2]

[-1,1)

解析:由图像可知,第一段图形对应的自变量取值范围为[-1,0),值域为[0,1);第二段图形对应的自变量取值范围为[0,2],值域为[-1,0],因此该分段函数的定义域为[-1,0)∪[0,2],即[-1,2],值域为[-1,0]∪[0,1),即[-1,1).典例剖析分段函数求值(范围)问题思路探究:对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解。归纳提升:分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值。(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验。(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可。对点训练A

(-∞,-3)

解析:(1)f(a)+f(1)=0,∴f(a)=-f(1)=-2,当a>0时,2a=-2,∴a=-1,舍去,当a≤0时,a+1=-2,∴a=-3.(2)当a≤-2时,f(a)=a<-3,此时不等式的解集是(-∞,-3);当-2<a<4时,f(a)=a+1<-3,此时不等式无解;当a≥4时,f(a)=3a<-3,此时不等式无解.故a的取值范围是(-∞,-3).求分段函数的解析式典例剖析根据下图所示的函数f(x)的图像,写出函数的解析式。思路探究:图中给出的图像其实是一个分段函数的图像,对各段对应的函数解析式分别求解.归纳提升:由图像求函数解析式的方法已知函数的图像求解析式y=f(x),如果自变量x在不同的区间上变化时,函数f(x)的解析式不同,那么应分段求解,此时根据图像,结合已学过的基本函数图像,选择相应的解析式,用待定系数法求解。如果函数解析式为分段函数,要注意写解析式时各区间端点的值,做到不重不漏。对点训练如图,已知函数y=f(x)的图像是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的,求此函数的解析式。典例剖析分段函数在实际问题中的应用如图所示,在边长为4的正方形ABCD边上有一点P,沿着折线BCDA,由点B(起点)向点A(终点)运动。设点P运动的路程为x,△APB的面积为y,求:(1)y与x之间的函数关系式;(2)画出y=f(x)的图像.(2)画出y=f(x)的图像,如图所示归纳提升:由实际问题决定的分段函数要写出它的解析式,就是根据实际问题分成几类。求解析式时,先分段求,再综合在一起即可。对点训练已知A、B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地;在B地停留1h后再以50km/h

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