2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第15讲 等边三角形（讲义）解析版

第15讲等边三角形

等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质

和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质

解决综合题目，综合性更强.

模块一：等边三角形性质与判定

知识精讲

1、等边三角形的性质

等边三角形的每个内角都等于60°.

2、等边三角形的判定

（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形：

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

例题解析

例1.（2020•山东潍坊市•七年级期末）等边三角形是（）.

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根据等边三角形的分类判断即可.

【详解】等边三角形是锐角三角形，无直角，无钝角，，是特殊的等腰三角形，

故选：B.

【点睛】此题考查等边三角形的性质，正确理解性质即可解题.

例2.（2020•上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列说法中正确的是（）

A.如果锐角三角形的一个内角是60°,那么这个锐角三角形是等边三角形

B.三角形的角平分线就是三角形内角的平分线

C.直角三角形的斜边的长度大于两条直角边长度的和

D.任何三角形的高必相交于一点

【答案】B

【分析】根据等边三角形的判定、三角形的角平分线、直角三角形的特点及高线的特点依

次判断即可求解.

【详解】如果等腰三角形的一个内角是60°,那么这个锐角三角形是等边三角形.选A

错：

直角三角形的斜边的长度小于两条直角边长度的和.选C错；

任何三角形的高（或延长线）必相交了一点.选D错；

三角形的角平分线就是默认为三角形内角的平分线.选B正确：

故选B.

【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定以及直角三角形的性质,

熟练掌握性质和判定是解题的关键.

例3.（2020•全国七年级课时练习）下列推理中，错误的是（）

A.,:...△48C是等边三角形

B.4c，且/QNC,是等边三角形

C.'：ZA=60°,Z5=60°,a'是等边三角形

D.'：AB=AC,N6=60°,二是等边三角形

【答案】B

【解析】.•.△力比是等边三角形，故正确；

B条件重复且条件不足，故不正确；

CVZJ=60°,N6=60°,小60°,二△48C是等边三角形60°,故正确；

D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.

故选B.

例4.下列说法中错误的是（）

A.等边三角形是等腰三角形

B.等边三角形是锐角三角形

C.等边三角形的高、中线、角平分线共有3条

D.含有60°角的三角形是等边三角形

【难度】★

【答案】D

【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形.

【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质.

例5.（1）等腰三角形的一个外角等于120°,则它是三角形；

（2）等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是.

【难度】★

【答案】（1）等边三角形：（2）三，三边的垂直平分线.

【解析】（1）当一个外角等于120°时，与这个外角相邻的内角为60°,因为是等腰三角形,

所以另外两个角也为60°,则这个三角形为等边三角形；

（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线.

【总结】本题主要考查了等边三角形的性质.

例6.（1）已知是等边△48。的高，BE是〃'边的中线，M与储交于点F,则N

力陷；

（2）是等边三角形，AD//BC,CDVAD,则/.

【难度】★

【答案】（1）60"；（2）30".

【解析】（1）•.•AA3C是等边三角形，

:.ZBAC=60,♦.•AD是8c边上的高，

:.ZCAD=-ZBAC=30°,

3

BE是4c边上的中线，BE_LAC,4E尸=900,

ZAFE=ZAEF-ZCAD=90°-30°=60；

(2)•.•△ABC是等边三角形，ZACB=60.

AD/IBC,CDA.AD,ZBCD=90a,

ZACD=90°-60°=30°.

【总结】本题主要考查了等边三角形的性质.

例7.已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°则这

个三角形是()

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【难度】★

【答案】A

【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的

两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为60",所以三个内

角均为60°,所以为等边三角形.

【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理.

例8.已知△/8C是等边三角形，点〃在AC1.,点£在四上，BD与龙相交于点F,且BF=CF,

说明应是等边三角形.

【难度】★

【解析】;BF=CF,:.NFBC=NFCB.

•.•凶8。为等边三角形，，48=4(7,ZABC=ZACB,NA=60°

ZABD=ZACE,\ABD=\ACE(ASA}

.•.4E=4O,是等边三角形.

【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定.

例9.如图所示，在△45C中，AB=AC,施和△“F都是等边三角形，且/加后/的C,求

/为C的度数.

【难度】★★

【答案】20°.

【解析】•.•AB=AC,，凶止是等腰三角形.

AAO8和AACE是等边三角形，ZABD=ZBAD=ZCAE=60.

NDAE=NDBC,ZABC+60=ABAC+60+60",

即NABC=NB4C+60°.

•在2Z4BC+ZBAC=180\.,.2(NBAC+60°)+NBAC=180°,

EP2ABAC+120°+ABAC=180\:.3ZBAC=6(f,ZBAC=20°.

【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.

例10.如图，AABC是等边三角形，ZCB£>=90,BD=BC,则N1的度数是

【难度】★★

【答案】75。.

【解析】•.•41":是等边三角形，，乙48。=60",AB=BC.

NCBD=90",ZABD=60°+90°=150’,

■.■BD=BC,:.BD=AB,.-.Z2=Z3,

，—180—150._o,,

二.N2=---------=15,ZX=60+15=75.

2

【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用.

例11.如图，在等边三角形/比中，点D、E、b分别是边AB、BC、。上的动点，且AD-B^CF,

说明△〃跖是等边三角形的理由.

【难度】★★

【解析】,.,AA2C是等边三角形，.^.NA=N8=NC=60。，AB=BC=AC.

vAD=BE=CF,;.BD=CE=AF.

AD=BE

在AA£>尸和ABE。中，,ZA=ZB，,\ADF=ABED(SAS)

AF=BD

.♦.£>F=DE,同理可证：DE=EF,DE=DF=EF,ADEF是等边三角形.

【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用.

例12.如图，在等边三角形/比的边比上任取一点D,以切为边向外作等边三角形CDE,

连接4〃，BE,试说明止初的理由.

【难度】★★

【解析】A48c是等边三角形，AC=BC,ZAC£>=60°.

•.，△CDE是等边三角形，.^.C。=CE,ZBC£=60°

在A4C£>和ABCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE,r.\ACD=ABCE(SAS)

CD=CE

BE=AD-

【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定.

例13.(2018•上海虹口区•七年级期末)说理填空：如图，点E是DC的中点，EC=EB,

ZCDA=120°,DF//BE,且DF平分/CDA,求证：ABEC为等边三角形.

解：因为DF平分NCDA(已知)

所以NFDC=L/.()

2

因为NCDA=120°(已知)

所以NFDC=°.

因为DF〃BE（已知）

所以/FDC=N_________.（）

所以NBEC=60°,又因为EC=EB,（已知）

所以ABCE为等边三角形.（）

【答案】ZADC；角平分线的意义；60；ZBEC；两直线平行，同位角相等；有一个角为

60°的等腰三角形是等边三角形.

【分析】利用角平分线的性质得出/FDC的度数，再利用平行线的性质得出/BEC的度数，

进而得出ABCE为等边三角形.

【详解】解：：DF平分NCDA,（已知）

••,ZFDC--ZADC.（角平分线的意义）

2

；/CDA=120°,（已知）

.*.ZFDC=60°.

VDF/7BE,（己知）

/.ZFDC=ZBEC=60°.（两直线平行，同位角相等）

AZBEC=60°

又；EC=EB,（已知）

...△BCE为等边三角形.（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出/

EDC=ZBEC是解题关键.

例14.（2017•上海长宁区•七年级期末）如图，点。是等边A48C中边4C上的任意一

点，且也是等边三角形，那么4E与8C一定平行吗？请说明理由.

Ev_______

【答案】AE与6c一定平行；理由见解析.

【分析】由AABC和4BDE也是等边三角形得：AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=ZC=60°,图

中可知/DBC=/EBI）,从而证明aDBC丝aEBA,根据三角形全等的性质得到/BAE=N

C=60°,等量代换得NBAE=NABC=60°,即可得AE〃BC.

【详解】

解：AE与BC一定平行.如图所示，其理由如下：

AABC和4BDE也是等边三角形得，

；.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=ZC=60°,

又：ZABC=ZABD+ZDBC,ZDBE=ZABD+ZABE,

ZDBC=ZABE,

在aDBC和AEBA中

AB=CB

«NABE=ZCBD

BE=BD

.,.ADBC^AEBA(SAS),

/BAE=/C=60°,

.,.ZBAE=ZABC=60°,

•\AE〃BC

【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题关

键在于掌握全等三角形的判定.

例15.(2019•上海浦东新区•七年级期末)如图，在等边AABC中，点P在AABC内，点

Q在△ABC外，B,P,Q三点在一条直线上，且/ABP=NACQ,BP=CQ,问4APQ是什么形

状的三角形？试证明你的结论.

【答案】4APQ是等边三角形，证明见解析.

试题分析：先证AABPTaACQ得AP=AQ,再证NPAQ=60°,从而得出△APQ是等边三角

形.

试题解析：4APQ为等边三角形，证明如下：

VAABC为等边三角形，

.*.AB=AC,

AB^AC

在aABP与aACQ中，＜ZABP=ZACQ,

BP=CQ

AAABP^AACQ（SAS）,

.\AP=AQ,ZBAP=ZCAQ,

VZBAC=ZBAP+ZPAC=60°,

ZPAQ=ZCAQ+ZPAC=60°,

/.△APQ是等边三角形.

例16.（2018•上海浦东新区•）在等边△/1%中，点夕，0是比边上的两个动点（不与点

B、C重合），且4A40.

（1）如图1,已知，ZW=20°,求/第®的度数；

（2）点。关于直线力。的对称点为机分别联结4从PM；

①当点P分别在点Q左侧和右侧时，依据题意将图2、图3补全（不写画法）；

②小明提出这样的猜想：点P、Q在运动的过程中，始终有PA=PM.经过小红验证，这个

猜想是正确的，请你在①的点P、Q的两种位置关系中选择一种说明理由.

【答案】（1）80°（2）①答案见解析②答案见解析

【分析】（1）先利用三角形外角定理得到N/图的值，再利用等边对等角转化即可；

（2）①根据题中所述步骤补全图形即可；

②选择点尸在点0的左侧，QM交〃1于点〃，证明再证明AP=AM,最后证

明aAPM是等边三角形即可.

【详解】解：(I)加gN/QR

况■是等边三角形，：.ZB=ZC=&0°,

,；4BA420。,:.NAQB=NAPgNBA段/480°；

(2)①如图2,3所示:

点一在点0的左侧，QM交40于点“，•.•点。关于直线/C的对称点为M,

：.QII=MH,ZAIIQ=ZAHM,

,:AI=A",:.△AQg/XAMH(SAS),：.AQ=AM,ZQAIf=AMAH,

,：AP=AQ,：.AP=AM,

•：乙BAP=ACAQ,：.ZQAH=AMAH=ZBAP,

NPAM=NPA/NQA出NMAH=NPAaNQAffrNBAP=NBAC=60°,

.'.△41物是等边三角形，：.PA=PM.

【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形是解

题的关键.

例17.如图，已知在等边三角形45C中，〃是4C的中点，£为比延长线上一点，且CE=CD,

DMLBC,垂足为M求证：”是缈的中点.

【难度】★★

【解析】连接班＞

AA2C为等边三角形，；.ZACB=ZABC=60°

。是AC边的中点,ZDBC=-NABC=-x60°=30°

22

■.CE=CD,：.ZCDE=ZE

•：ZACB=NCDE+NE,ZE=30",:.NDBC=NE,BD=ED

■：DMIBC,.•.加有幽中点.

【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用.

例18.(1)如图所示，已知：△/回是等边三角形，及A;分别是边6G出7的中点，AM.

私,相交于点只求N所涉的大小；

(2)如果点收/V分别在比；4C的延长线上，目BM=CN./跖V的大小会发生变化吗？

【难度】★★

【答案】(1)60"；(2)不会.

【解析】(1)•••A4BC为等边三角形，.•.乙48c=60".

M是BC的中点,AM1BC,

NPMB=90°

•••N是4附中点，BN平分NABC,

ZMBP=30",ZBPM=180"-NPMB-NMBP=180-90°-30°=60°.

(2)♦.•AABC是等边三角形，.^.NBAC=NACB=60°,AC=BC=AB,

;.ZBAN=ZACM=12(),•:BM=CN,:.AN=CM,

.•.A/WN三△CAM(SAS),:.ZN=ZM.

:.NBPM=ZN+/PAN=NM+/CAM=ZACB=60°,

故/出物的大小会不会发生变化.

【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用.

例19.如图，已知：在等边a'中，〃在a1边上，〃在△力应1外，N8AD=15°,/如后70°,

AAAE,求/。ZEDC,N碓'的度数.

A

【难度】★★

【答案】NC4E=25°；ZEDC=50>；Z£FC=80°.

【解析】是等边三角形，.•.N8AC=N8=601

VZBAD=\5°,NZME=70",

ZG4E=NBAE-ABAC=15°+70°-60=25°.

-.-AD=AE,ZADE=ZE=-(180,-70°)=55°,

2

ZEFC=ZCAE+ZE=250+55°=80°.

ZADC=ABAD+N3=15°+60°=75°,

NEDC=ZADC-ZADE=75--55°=20°.

【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.

例20.下列说法中正确的个数有()

①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是

等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上

的中线的三角形是等边三角形；⑤△49C中三边为a、6、c,满足｛a-b)(b-c)(c-a)=0,

则这个三角形是等边三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【难度】★★

【答案】B

【解析】有一个外角为120。的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的

等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内

角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形

是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△/a1中三边为a、b、c,满足

（4-3仍-c）（c-a）=O,则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不

正确.故选B.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用.

例21.等边△47C中，AD=BE=CF,D、E、尸不是各边的中点，AE、BF、必分别交于点只M

N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（）

A.2B.3C.4D.5

A

【难度】★★

【答案】D

【解析】ACFB=ABEA=MDC-.AC4E=ABCD=AABF；

△CMB三ISBPA三MNC；\CFMaABEP^/SADN：

△CNEwABMD三AAPF,共5组.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质.

例22.如图，在等边AABC中，点DE分别在边BC,他上，且4D与CE交

于点F.

（1）求证：AD=CE；（2）求/。FC的度数.

【难度】★★★

【答案】（1）见解析；（2）60°.

【解析】（1）・・・AA8C是等边三角形,

/.ZBAC=ZB=60°,AB=AC,

・.・AE=BD,MEC=BDA(SAS),

/.AD=CE；

(2),.・AAEC3MD4,.\ZACE=ZBADt

.\ZDFC=ZFAC+ZACF=ZFAC+ZBAD=ZBAC=60°.

【总结】本题主要考查J'等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用.

模块二：等边三角形综合

知识精讲

将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中.

例题解析

例1.如图，已知△/S。是等边三角形，£是力。延长线上一点，选择一点〃使得△侬是等

边三角形，如果M是线段力〃的中点，N是线段班,的中点，求证：ac娜是等边三角形.

【难度】★★

【解析】「AABC和△(%>£■是等边三角形

ZACB=AECD=60°,AC=BC,CD=CE

NACB+NBCD=NECD+ZBCD,NACD=NBCE

AC=BC

在AACQ和ABCE中，■ZACD=NBCE

CD=CE

：.\ACD=\BCE(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZCBE

•••M是线段AO的中点，N是线段BE的中点，.[AM=BN

AC=BC

在MMC和A8NC中，ZCAD=ZCBE

AM=BN

\AMC三ABNC(SAS),CM=CN,ZACM=NBCN

ZNCM=4BCN-ZBCM,NACB=ZACM-ZBCM

ZNCM=ZACB=60°,

ACMN是等边三角形.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用.

例2.如图，已知〃是等边三角形的边47边延长线上一点，血的垂直平分线HE交AC

延长线于点E,那么CE与相等吗?试说明理由.

【难度】★★

【答案】相等，见解析.

【解析】过点“作“G//BC,交AE于点G.

AABC是等边三角形，，NA=NABC=60,AB=AC

HG//BC,NAHG=NABC=60°,NAHG=NA=60°,

.­.AAHG为等边三角形，.•.HG=AG=AH

HE为的垂直平分线，,ZAHE=90°,BH=DH

NGHE=ZAHE-NAHG=30°,ZGEH=180°-ZAHE-NA=30°,

NGHE=ZGEH,EG=HG=AG=AH

:.CE=AE-AC=2AG-AC=2AH-AC=2AB+2BH-AC

=AB+2BH=AB+BH+DH=AD.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加.

例3.如图，已知：等边三角形48G在4?上取点〃，在然上取一点反使作等边

三角形PC。、/£和必心，则只Q、/?为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由.

【难度】★★

【解析】连接8P

A4BC和APC£＞为等边三角形，

AC=BC,DC=PC,NACB=ABAC=NABC=ZDCP=60°,:.ZACD=NBCP

AC=BC

在AAOC和ABPC中，\DC=PC,\ADCs\BPC(SAS)

NACD=NBCP

AD=BP,ZDAC=ZPBC=60°

A/MB和A0AE为等边三角形

ZRAB=Z.RBA=ZR=ZQAE=60°,RA=RB,AQ=AE

ZRAB+ZBAC+ZQAE=60°+60°+60°=180°,R,A、。三点共线.

ZRBA+ZABC+ZPBC=60°+60°+60°=180°,:.R,B、P三点共线

-.-AQ=AE=AD=BP,RQ=RA+AQ=RB+BP=RP

•.•NR=60。，.•.以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大.

例4.如图，已知：在等边三角形中，D、£分别是18、/C边上的点，且除力£,EB与

切相交于点0.斯与切垂直于点F,试说明0^2OF.

【难度】★★

【解析】过点尸作NOFG=60。，交OE于点G

B

•.•八48(7是等边三角形，，44=448。=60°,AB=BC

AB=BC

在AABE与ABC。中，＜ZA=NABC,

AE=BD

\ABEs^BCD(S.A.S),:.ZABE=ZBCD

^ADO=ZABC+ZBCD,又ZADO=NBOD+ZABE,

ZBOD=ZABC=60°,/EOF=60°,

AOFG为等边三角形,;.OG=OF=GF

■：EFLCD,.-.ZOF£=90%ZOEF=30°,ZGFE=30°,

NOEF=NGFE,:.GE=GF=OF,:.OE=OG+GE=2OF.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择.

例5.如图，点。是等边△/比•内的一点，N4眦110°,N80俏135°,试问：

(1)以刃、龙、Z为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数；若不能，

说明理由；

(2)如果//仍的大小保持不变，那么当N6勿等于多少度时，以总、OB、0c为边的三角

形是一个直角三角形.

【难度】★★

【解析】(1)以OC为边作等边AOS,连

A4BC是等边三角形，，NACB=60。，AC=BC

ZBCO=600-ZACO=ZACD,\BCOS\ACD{S.A.S)

OB=AD,/ADC=ZBOC,

.•.△。4。是以线段。4、OB、OC为边构成的三角形

NAO2=110°,NBOC=135°,ZAOC=115°,ZAOD=115°-60°=55°

ZADC=\35°,ZADO=135°-60°=75°,

ZOAD=180°-55°-75°=50°.

以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角是50。、55。、75°.

(2)ZAOB+ZAOC+ZBOC=ZAOB+ZAOC+ZADC

=ZAOB+(ZA。。+NOOC)+(NAOO+NC。。)

=Z110°+(ZAO£>+60。)+(NACO+60°)=360°,

:.ZAOD+ZADO=\3QP>，NO4£>=50°.

当NAOD是直角时，..4407)=90。，ZAOC=90°+60°=150°,/.ZBOC=100°；

当NAO混直角时，:.ZADO^90°,NAPC=90。+60。=150。，..ZBOC=150。，

综匕当/80c等于100°或150°时，以/、()B、比为边的三角形是一个直角三角形.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题.

例6.△G43与宏是有公共顶点C的两个等边三角形，△吸绕点。顺时针旋转至以下各

位置：

(1)当少在8c下方时，说明48%

(2)当6在比1边上如图2、当£在44%7内如图3、当£在47边上如图4,当CE//

然时，如图5,4分缈还成立吗?请一一说明理由.

【难度】★★★

【解析】(1)•.•AA8C是等边三角形,AC=BC,ZACB=60°.

•••△COE是等边三角形，.•.CZ)=CE,NDCE=60。

ZBCE=60°-NBCD=ZACD,\BCE=AACD(SAS),

AD=BE.

(2)成立.方法同(1),可证AAC£＞二ABCE,所以

【总结】本题主要考查J'等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用.

例7.已知4、B、。三点共线，分别AC,灰7为边，在直线加同侧作等边△◎1可和等边△以肌,

易得AM=BN.

(1)将△山"绕点。旋转一定的度数，得到图(2),试问：4佐5V吗？

(2)将(1)中等边△。可再绕点。旋转一定角度，得到图(3),上述4游比还成立吗?请

说明理由；

(3)在旋转过程中，直线4M和直线氏V所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变吗?说

说你的理由.

MM

M

【难度】★★★

【解析】(1)•・•△04%为等边三角形，「.04=。村，ZACN=60°.

・・•ABCM为等边三角形,CM=CB,NBCM=60°

・•.ZACM=60°+NNCM=NNCB

\ACM=&VC3(S.A,S),z.AM=BN.

(2)成立.方法同(1).

(3)不变.令直线AM和直线8N所夹锐角为a,所夹钝角为夕，

♦・•AACM=ANCB，.tZAMC=4NBC

邛=4NBM+NAMB=4NBM+ZAMC+ABMC

=4NBM+ZNBC+ZBMC=NCBM+NBMC

=60°+60°=120°

二.Na=60°.

【总结】本题主要考查「等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用.

随堂检测

1.三个内角都相等的三角形是_______三角形，每个内角都等于.

【难度】★

【答案】等边；60°.

【解析】略.

【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质.

2.在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是()

A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.锐角三角形但不等边

【难度】★

【答案】C

【解析】设等腰三角形的顶角为a,则底角和为2a,

.•.a+2a=180°,:.a=6O°.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用.

3.如图，△/!比中，AB-AC,ZJ=60°,BDLAC于点D,DG〃AB交.BC于点、G,£在比的延长

线上，C^CD.(1)/斤；(2)ABDB=；(3)图中的等腰三角形有—

个；(4)图中的等边三角形有个.

【难度】★

【答案】(1)30°：(2)120°;(3)5；(4)2.

【解析】(1)-.-AB=AC,ZA=60°

A4BC是等边三角形，NACB=60°

BDA.AC,ZABD=30°,ZBDC=90°

CD=CE,ZE=ZCDE=30°,:.NBDE=120。.

(3)等腰三角形有：AABC,\CDG,\CDE,\BGD,即DE；

(4)等边三角形有：AABC,\CDG.

【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定.

4.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每

个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角

形.其中是等边三角形的有()

A.①②③B.④C.①③D.①②③④

【难度】★★

【答案】D

【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一

定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三

角形，正确，故选D.

【总结】本题主要考查了等边三角形的判定.

5.如图，D、E、尸分别是等边△49C各边上的点，宜A2BE=CF,则△两的形

状是()

A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形D.不等边三角形

A

【难度】★★

【答案】A

【解析】•.•AA3C为等边三角形，.-.ZA=ZB=60°,AB^AC.

■：AD=CF,:.AF=HD,MDF=^BED(S.A.S')

DF=ED,同理可证：DF=FE.

DF=ED=FE,A£»EF是一个等边三角形.

【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用.

6.已知应△然C中，ZO90°,N4=30°,在直线比•或/IC上取一点夕，使得△必6是等腰三角

形，则符合条件的。点有()

B.2个