2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第4章 第1节　任意角和弧度制、三角函数的概念

第四章三角函数

任意角和弧度制、三角函数的概念

［考试要求］

1.了解任意角的概念和弧度制.

2.能进行弧度与角度的互化，体会引入瓠度制的必要性.

3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

［走进教材-夯实基础］回顾知识•激活技能

©梳理•必备知识

1.角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

［按旋转方向不同分为正鱼、鱼鱼、零角.

Q)分犬［按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)相反角：我们把射线0A绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个

角叫做互为相反角.角a的相反角记为二攵.

(4)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个

集合S={夕口=a+k360。，kGZ},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成

角a与整数个周角的和.

提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于生径近的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单

位用符号rad表示，读作弧度.

(2)公式

|a|=:(弧长用/表示)

角a的弧度数公式

角度与弧度的换算l0-180rad；Irad-^

弧长公式弧长l—aR

扇形面积公式S=g/R=；o7?2

提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3.任意角的三角函数

设仪是一个任意角，a£R,它的终边。P与单位圆相交于点P（x,y）,则sin

y

a=y_cosa=xtana=(xW0).

99x

三个三角函数的性质如下表:

第一第二第：.第四

三角

定义域象限象限象限象限

函数

符号符号符号符号

sinaR++——

cosaR+——+

tanaaa#E+多kGZ+——+——

拓展：任意角的三角函数的定义（推广）

设P（x,y）是角a终边上异于顶点的任一点，其到原点0的距离为r,

yxy

如］sina=:,cosa=;,tana=尤#0).

［常用结论］

1.三角函数值在各象限的符号规律

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.象限角

第一家眼角］问2*"<a<2"+多*=］

第二隼眼角）,恢"+手<a<2hr+ir,*eZ

Z第三象限角){a|2*T+F<a<2*"+

第四家眼角）卜卜""+要<a<2*"+2T=CZ

3.轴线角

终边落在与轴上的角）［a［a=Mr,AWZ|

轴

线

角

的终边落在y轴上的角）向0?=号+—西斗

集

合

终边落在坐标轴上的角）同a淳ir/£号

2

龄激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)第一象限的角是锐角.

(2)角a的三角函数值与其终边上点P的位置无关.

(3)若sina>0,则a是第一、第二象限的角.

(4)若a为第一象限角，则sina+cosa>1.

［答案］(1)X(2)V(3)X(4"

二'教材习题衍生

1.终边落在第一象限角平分线上的角的集合是.(用角度表示)

［答案］{6(汝=心360。+45。，ZWZ}

2.角一225。=弧度，这个角的终边落在第象限.

［答案］一5兀于二

3.设角。的终边经过点P(4,—3),那么2cos。-sin6=.

II3

y［由已知并结合三角函数的定义，得sine=一：,

4473、11

cos。=5，所以2cos8—sin^=2X^—I—T(=-］

4.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为rad.

TTIt

3［弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为^rad.］

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

考点一象限角及终边相同的角梅组通关

1.集合］a|/+*aWE+壬ZGZM的角所表示的范围(阴影部分)是

)

兀兀兀兀

C［当女=2〃(〃£2)时，2/7兀+1忘0・2〃兀+］(〃£2),此时a的终边在〜］内：

3

兀兀兀

当Z=2〃+1(〃^Z)时，2〃兀+兀+^^1<2〃兀+兀+](〃£2),此时a的终边在兀+]〜

TT

兀+]内，结合选项知选C.]

2.下列四个命题中，正确的是.(填序号)

①一3号7r是第二象限角；

若是第三象限角；

③一400。是第四象限角；

④一315。是第一象限角.

37r47rJr47r

②③④[—q"是第三象限角，故①错误：与-=兀+],从而可是第三象限角，

故②正确；一400°=—360°—40°,是第四象限角，故③正确；一315°=—360°

+45°,是第一象限角，故④正确.]

3.在一720。〜0。范围内所有与45。终边相同的角为_______.在1初>

一675。或一315。[所有与45。终边相同的角表示为/f=45°+jtX360°()tGZ).

法一：令一720°<45°+ZX360°<0°(AGZ),得一76504X360°<一45°(AGZ),

解得一<一/从而“=-2或"=-1,代入•得”=-675。或4=一

315°.

法二：由4=45°+女X360°知，

当k=~\时，4=一315。满足题意.

攵=-2时，4=一675。满足题意.

所以夕=一675°或^=-315°.]

4.若角a是第二象限角，则卷是第象限角.

TTJTCL

一或三[因为a是第二象限角，所以1+2&兀兀+2E,kGZ,所以]+%兀

兀716(71CC

<]+E,ZGZ.当％为偶数时，不妨设％=2〃(〃ez),则a+2〃兀<5<]+2〃兀，5是

7Tn7T

第一^象限角；当k为奇数时，不妨设攵=2〃+l(〃£Z),则[+兀+2〃兀V]V/+TI

+2/271,即m+2〃兀兀+2〃兀，楙是第三象限角.所以看是第一或三象限角.]

4

畲反思领信L判断象限角的两种方法

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知

图象法

角是第几象限角

先将已知角化为攵BGOo+alOoWaVBGO。，攵WZ)的形式，即找出与已知

转化法

角终边相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角

2.确定-1*N*)的终边位置的步骤

(1)用终边相同的角的形式表示出角a的范围;

⑵写出履或t的范围；

(3)根据k的可能取值确定ka或•的终边所在的位置.

□考点二扇形的弧长及面积公式枷生共研

［典例1］已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/.

⑴若a=60。,R=10cm,求扇形的弧长/；

(2)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形的圆心角；

(3)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面

积最大？

TT

［解］(1)因为。=60。=,

~兀10兀

所以l=aR=qX10=每一(cm).

2R+aR=W,R=4,

⑵由题意得鼠一，火=1,

解得1(舍去)或(1

la=8,

故扇形的圆心角为:.

(3)由已知得/+27?=2O(cm).

法一:S=；/R=g(20-2H)R=10尺一/?2=一(氏-5)2+25.

所以，当R=5cm时，S取得最大值，且最大值为25cm2,此时/=10cm,

。=2.

5

田_11-1〃+2R%

法二：S=,/R=*2R)W,2j=25,

2

当且仅当l=2R=10,即R=5时，Smax=25cm,

此时a=2.

力反思领悟应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法

使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值.

一「跟进训练］

1.(1)(2021.辽宁模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗

句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖

雅物”的别号.如图是折扇的示意图，其中OA=20cm,ZAOB=120°,M为

的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是()

A.50TTcm2B.1OOncm2

C.150TIcm2D.200?tcm2

(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()

A.^B.gC.3D.小

反—•〃一।1,13,32兀

(1)B(2)D[⑴扇环的面积为5=四/一5a5=3/=6*刀*400=100兀

乙ZooJ

故选B.

(2)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆。的内接三角形，则线段AB所

2兀

对的圆心角NAOB=w，

作。MLAB,垂足为M,

兀

在RtZXAOM中，AO=r,ZA0M=y

6

r,AB=yj^r,

由弧长公式得a=;=¥~=[5.]

考点三三角函数的概念及应用，多维探究

考向1求三角函数的值

[典例2—1]⑴已知点《一坐，坐)是角a的终边与单位圆的交点，则sin

2a=()

A.|B.C.-平D半

(2)已知角a的终边在直线3x+4y=0上，则5sina+5cosa+4tana=

(1)C(2)—4或一2[(1)依题意，由任意角三角函数的定义可得sina=^,

近

cosa=-3,

所以sin2a=2sinacosQ=2X乎X[一坐)=一邛

故选C.

3

(2)设1终边上任意一点为尸(一4a,3。)，r=[5a|.当a>0时，r=5a9sina=§,

43

cosa=一予tana=一不

.*.5sina+5cosa+4tana=3-4—3=-4;

343

当a〈0时，r=-5a9sina=一予cosa=g,tana=~~^9

/.5sina+5cosa+4tana=-3+4—3=-2.

综上可知，5sina+5cosa+4tana=—4或5sina+5cosa+4tana=­2.]

考向2由三角函数值求参数

[典例2—2]已知角a的终边上一点尸(一正，MOWO),且sina="券，

则cosa—，tana=.

7

一小理3或一丐[设P(x,y),由题设知x=一小，)=机，所以/=|02|2

=(一小)2+〃P(o为原点)，即r=-\]3+m2,所以sina=/="普=黄,所以r

=、3+加2=2啦,即3+机2=8,解得m=±\回当"?=小时,r=2\f2,x=—事,

a=2g=一乎'tan。=一当加=一小时，r=2啦，x

y=小，所以cos

=一4,y=一小，所以cosa=2*=-*，tana=^^.]

考向3判定三角函数值的符号

[典例2—3](1)(2020.全国II卷诺a为第四象限角，则()金茹3

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2<x>0D.sin2a<0

(2)若sin"cos6V0,则角。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

TI

(1)D(2)D[⑴法一：由题意，知一]+2而<z<2E(&wZ),所以一兀+

4kli<2a<4kit(kGZ),所以cos2。W0或cos2«>0,sin2a<0,故选D.

兀

法二：当a=—1时，cos2a=0,sin2a=-1,排除A,B,C,故选D.

(2)由sin夕cos8V0知。的终边在第二或第四象限；由里玛>0知8的终边

smH

在第一或第四象限，故夕是第四象限角.]

畲反思领信1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及该点

到原点的距离，确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方

程，求参数的值.

2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，

再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,

8

那就要进行分类讨论求解.

一［跟进训I练］一

2.(l)sin2-cos3・tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.大于等于0

(2)设。是第三象限角，且卜os^=—cos孝，贝碌是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(3)若角a的终边落在直线上，角用的终边与单位圆交于点Q，勺

且sina-cos»<0,则co