2023年高考第一次模拟卷数学(新高考Ⅱ卷B卷)(全解全析)

2023年高考第一次模拟考试卷（新高考n卷B卷）

数学全解全折

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合A={x|-l<x<2},集合8={x[l<x<3},则（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<l}

C.{x|l<x<2}D.{x\2<x<3}

【答案】A

【分析】根据数轴表示两个集合即可求得集合的并集.

【详解】解析在数轴上表示两个集合，如图：

-1123

易知AuB={x|-l<x<3}.

A

2.设复数z满足z+i=4-i,贝IJ3=（

4+21

C3+不r3-4i

A.4-2iB.4+2iD.----

-55

【答案】D

【分析】先求得z,然后结合复数的除法运算求得正确答案.

【详解】依题意z=4-2i,

z_4-2i_（4-2i»_12-16i_3-4i

4+2i—4+2i—（4+2i）（4-2i）205-'

故选：D

3.幻方，是中国古代一种填数游戏.“5€%*,〃43）阶幻方是指将连续〃2个正整数排成的正方形数阵，使

之同一行、同一列和同一对角线上的"个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个

三阶幻方（如图）.若某3阶幻方正中间的数是2022,则该幻方中的最小数为（）

oeoeooa&o^

O492

中2

X

X357

X

586

•1

。•图2

@1

A.2017B.2018C.2019D.2020

【答案】B

【分析】根据3阶幻方对应关系可得结果.

【详解】由题意，3阶幻方正中间的数是5时，

幻方中的最小数为1;

因此3阶幻方正中间的数是2()22时，

幻方中的最小数为2022-5+1=2018,

故选：B

4.已知向量工，方夹角为60。，且2=(1,3),恸=2则43=()

A.0B.10C.晒D.-加

【答案】C

【分析】根据模长公式求模长，然后根据数量积的公式即可求解.

【详解】由，=(1,3)可得口=布，故】〃=即际60=710x2x1=710,

故选：C

5.为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人

只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有()

A.18种B.12种C.72种D.36种

【答案】D

【分析】先将4名教师分为3组，然后再分别派到甲、乙、丙三地，即可得解.

【详解】解：4名教师分为3组，有U种方法，然后再分别派到甲、乙、丙三地,

4

共有CX3种方案，所以共有36种选派方案.

43

故选：D.

6.若sin(]+a

Hr则cos2a+cosa=().

3131-47

A.—B.——C.—D.一

323298

【答案】C

【分析】利用诱导公式及:倍角公式化简求值.

【详解】由已知sin(g+a)=cosa="

8.已知函数〃q=(1+4功所1+6TT/则在同一个坐标系下函数/(x-a)与/(x)的图像不可能是

【分析】设g(x)=l，由奇偶性的定义及性质可得g(x)是R卜.的奇函数，且是R上的增函数,

然后分a=0、a>0^a<0三种情况讨论即可求解.

【详解】解：设g(x)=ln(+J^TT),

因为g(x)+g(-x)=ln

所以g(x)是R上的奇函数，

又x>0时，g(x)在(0,M)|二单调递增,

所以g(x)在R上单调递增，且有唯一零点0,

所以的图像一定经过原点(。,0),

当a=0时，/(尤一◎与f(x)的图像相同，不符合题意.

(+Jx+1)是R上的奇函数,且在(0,a)上单调递增，所以/(x-a)与

当a>0时，，f(x)=(\+a\x\)-\n

的图像可能为选项C；

当a<0时，^x^+co,l+alxl<0,/(x)->-oo,所以/。一。与/(x)的图像可能为选项A或B.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数/(x)=4sin(3x+(p)(4>0,3>0,-'<(p<T］的部分图象如图所示，则()

A.函数/G)的最小正周期为兀

B.点仔,0)是曲线y=/Q)的对称中心

C.函数/(X)在区间「手,小内单调递增

D.函数/(x)在区间0弓内有两个最值点

【答案】AC

A=2母

Asin(p=2,可得函数/(x)=2&＞sin(2x+：),然后根据三角函数的性质逐

【分析】由题可得，

Asin(gx+(p)=2^2

项分析即得.

A=242

【详解】由图可知4sin(p=2

Asin[gx+(pJ=2>/2

「兀兀

所以sincp=,又一5＜甲＜2，

所以吟,

|1CD71兀兀…,一

所以sm［三+w;=1,——+—=—+2E,keZ,

842

得3=2+16k,keZ,

,7t271/DC

又不<一，得0<co<4,

84a)

所以3=2,所以/(x)=2①sin(2x+：

所以函数/Q)的周期为兀，A正确；

%7T7T71

由2%+3=攵兀，k£Z得,x=---—,keZ,取k=0得，x=-—,对称中心为(-10)'

4288

取％=1得，x=y,对称中心为传,0),所以点(刊不是曲线y=/G)的对称中心，B错误;

由2E-三42x+三42而+巴，kez得，kn--<x<kit+-,keZ,当％=1时，—<x<—,函数f(x)

2428888

在区间—内单调递增，CiE确;

OO

由2x+?=E+。可得x="+「keZ,取人=0得，x=J为函数/(x)的最值点，所以区间卜，鼻内

42288L2_

有一个最值点，D错误.

故选：AC.

10.已知。M：x2+)，2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点，过点尸作。加的切线P4PB,

切点为A，B,当|「加卜卜却最小时，则()

A.直线AB的方程为2x-y-l=0B.\MP\=^5

C.直线AB的方程为2x+y+l=0D.『看=1

【答案】BCD

【分析】由题意可知直线,与圆相离，且四点4P,B,"四点共圆，RAB1MP,即可得出

\PM\-\AB\=4\PA\,而网=府|2-4,当直线MPL时，|心|=有，陷=1,此时产加卜口口最小,

Yminmin

即可得出答案.

【详解】圆的方程可化为G-l1+(y-l>=4,

点M到直线/的距离为d==6>2,

722+12

所以直线/与圆相离，

依圆的知识可知，四点A，P，B,M四点共圆，且A8_LMP,

所以|PM|.|A8|=4S”“=4x^x\PA\x\AM\=4\PA\,

而|PA|=抨-4,

当直线MPL时，\MP\=45,\PA\=1,此时最小，

minmin

/.MP:y-1=-G-l)E|]y=—X+-,

222

y=__1x4—1.Irx—_1

由y22,解得八，

[2x+y+2=0l>=°

所以以MP为直径的圆的方程为(x-DG+l)+y(y-l)=0,即x2+y2-y-l=0,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线A3的方程.

故选：BCD.

11.如图，正方体A88-A8C。的棱长为1,E,F,G分别为线段8C,CC,88上的动点(不含

1111I1

端点)，则()

TT

A.异面直线。。与A尸成角可以为:

14

B.当G为中点时，存在点E,F使直线AG与平面AEF平行

I

9

C.当E,尸为中点时，平面AE尸截正方体所得的截面面积为6

O

D.存在点G,使点C与点G到平面AEF的距离相等

【答案】BCD

【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的

结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：因为故巳。与A尸的夹角即为与AF的夹角NA/尸，

兀

又当尸与C重合时，取得最大值，为耳；

/ACL"*TC

当尸与点C|重合时，/々AF取得最小值，设其为a,则tana=高=",故a>1；

又点尸不能与C，q重合，故乙4小尸€（。,］）以>彳，故A错误；

对B：当G为38中点时，存在E,尸分别为BC,CC的中点，满足AG〃面AEF,证明如下:

1I1

取的中点为M,连接,如卜所示：

显然AMHAE,又AEu面AEF,AM<z而AEF,故AM//面AEF；

又易彳导MG〃EF,所匚面4£尸,知6<2面4£'尸，故MG〃面AEF；

又4"门"6=屈,4加,知6<=面4何6,故面AMG〃面AEF,

1I1I

又4Gu面4"G,故4G〃面AEF,故B正确;

111

对C：连接AO/RRAE,如下所示：

因为EF"BC〃AD,故而AEFC即为平面AM截正方体所得截面；

111

又DF=AE=B,故该截面为等腰梯形，又EF=g,AD=72,

'22i

故截面面积S[(E…咽际-("产净可呼I'故C正确;

要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，

显然存在这样的点G满足要求，故D正确.

故选：BCD.

12.已知3«=5，=15，则”，人满足的关系有()

A.—+-=1B.ab>4C.02+b^<4D.(“+1"+S+1”>16

ab

【答案】ABD

【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据1+：=1,结合基本不等式

ab

可判断BCD的正误.

【详解】由30=5〃=15,则。=1。815>0,b=log15>0,

35

1111

A：—I—------F----=-^3+10^5=^15=1,正确;

ablog15log15

B：由A知：—F7=1>0,匕>0,。。匕，所以1='+2.>2J」-,即出?>4,故正确，

abab\ab

C：由A、B知：a+b=ab,a2+h^=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ah=(ab-1)2-1>8,故错误，

D：由上，(。+1)2+(/?+l)2=a2+/;2+2(a+/?)+2=(ab)2+2>18>16,故正确.

故选：ABD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设a：l<x<4,P：X</H,若a是P的充分条件，则实数〃?的取值范围是.

【答案】14,内)

【分析】根据题目条件得到lVx<4nxV”,，从而求出实数机的取值范围.

【详解】a是p的充分条件，故i=x<4=xM,”，所以加24,

实数〃?的取值范围为14,4-00).

故答案为：14,”)

14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布Go5,b2).若P(904X4120)=；,则从参加这次

考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是.

【答案】三

32

【分析】结合正态分布特点先求事尸(X>120),再由独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】因学生成绩符合正态分布N(105,§2),故P(X>120)=匕必竺上电=1,故任意选取3名学

24

生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为尸=+

3(4j4⑷32

故答案为:

32

15.已知一3cx<0,则/G)=xj9—x2的最小值为.

【答案】T

【分析】因为/G)=X>/^7=-jQ-X2).X2,再利用均值不等式即可得出答案.

【详解】因为-3<x<0,

所以/G)=X也-X2--jQ-X2).X2>_9-尤2+X2=_2,

当且仅当9-X2=X2,即x=-3叵时取等，

2

所以/G)=八6二77的最小值为号.

故答案为:

2

16.已知抛物线C：X2=4y的焦点为F,点尸的坐标为(2,1),动点A,8在抛物线C上，且见，P8,则

FA+FB的最小值是.

【答案】11

【分析】由刑，尸8得西.丽=0,从而推得4而=-2(a+b)-5,再由抛物线的定义推得

FA+FB=4(a+匕”+4(a+b)+12,从而利用换元法及配方法即可求得E4+尸8的最小值.

【详解】依题意，设A(4a,4a2),8(4"4灰)，

由于A,8与P不重合，则4aw2,4bw2,即2"1,3x1,

因为以，依，所以

PA=(4a-2,402-l).(4Z?-2,4/?2-l)=4(2a-l)(2Z>-l)+(2<z+l)(2«-l)(2Z>+1)(26-1)

=(2a-l)(2/j-l)[4+(2a+l)(2/?+l)]=(2a-l)(2&-l)[4aZj+2(a+/>)+5]=0,

则4ab=-2(a+b)-5,

由抛物线的定义可得

FA+FB=4«2+1+4/>2+1=4a2+4/?2+2=4Q+4)+2=4(a+b”-Sab+2

=4(“+b)2—2[-2(〃+b)-5]+2=4(〃+b)2+4(〃+h)+12,

设r=a+b,则E4+FB=4r2+4f+12=41+gj+llNll,

当且仅当a+b=f=-g时，等号成立，

所以用+月3的最小值为11.

故答案为：11.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.在AABC中，角4,8,C所对的边分别为a,4c,满足展JCOSC=缶-c.

⑴求角B;

37

(2)若cosC=g,BD=4DC>△A3。的面积为求c的值.

71

【答案】(1)3=7

4

⑵c=2

【分析】(D利用正弦定理、正弦和角公式，以及sinA=sin(B+C),即可求出角B；

(2)利用三角形面积公式可得好=逑，再利用正弦定理可得a=4巨c,即可求出c的值.

28

【详解】(1)解：利用正弦定理得：虎sin8cosc=JIsinA-sinC,

即5/2sinBcosC=V2sin（B+C）-sinC=A/2sinBcosC+5/2cosBsinC-sinC,

化简得sinC=>/2sinCcosB，

由C为△ABC的内角，得sinCwO,

可得cosB=,

2

71

又B为WC的内角,所以B="

44

（2）解：已知BZ5=4OC）则=

SA=—|/4B||5D|sinB=-a,即ac=7夜①,

111

ABD2'25252

3/--------4

由cosC=j,可得sinC=V1-COS2C=-,

,sinA=sin（C+3）=sinCeos上+cosCsin三Jx立+上史=这

44525210

a_ca_c广

利用正弦定理可得，而=菽=7方=3，即〃=及_。②

而58

联立①②可得c=2.

18.己知数列｛4｝的前”项和为S=3,(n-l)s=nS+n2-n(n>2).

nnIn〃-1

(1)求数列｛4｝的通项公式；

n

（2）令b=%,求数列｛b｝的前”项和r.

"2Mnn

【答案】（1）。=2n-l

n

c2〃+3

⑵T=3--—

n2"

qqq

【分析】(1)变型可得二-J=l,从而可得｛%｝为等差数列，进而求得S=ni,根据。的关系可

nn-\nnn

得。=2n-l；

n

(2)根据错位相减法即可求解.

【详解】(1)因为(〃—1)S=nS+〃2-n(n>2),

nM-1

则有(〃一1)S-nS=〃2-〃，

nn-1

两边同时除以〃(〃—1)得：乙一二+=1,S=a=l,

nn-\11

q

所以数列｛%｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

n

S

故—》r=1+(〃-1)X1=〃，则S=〃2,

nn

当〃22时，a=S-S=«2-(n-1)2=2/z-l,符合a=1,

nnn-l1

故a=2n-l.

n

a

/_、？2n-\

(2)h=—rr=-----

n2“2”

7①

H2223242”T2“

—工+…+2+2②

2"222?2J2s2“2”+i

尸X〜日1Tl22222n-\

(T)—：-T——।---1----1----F•••H-------------

2〃22223242n2〃+1

即为=-+2。-2〃-1)2〃-1_2〃+3

2”21--2"+|22"+i

2

得r=3-2

n2"

19.某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制

成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是（0,10（）］.其统计数据分组区间为

（2）以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分

钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴x=0.0125

（2）分布列见解析，数学期望为1.

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解;

（2）山题意可知，随机变量X服从二项分布.

【详解】（1）由直方图小矩形面积之和为1，

可得:20x+0.025x20+0.0065x20+0.003x2x20=l,

解得x=0.0125；

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为!，

4

则尸（x=o）#T=色,P（x=D=c/邛讣二，

【刈25644人刈64

尸（x=2）="』号丫=三,p（x=3）=c./iym=2,

44；12864

Pl©一.

⑷256

所以X的分布列为：

X01234

81272731

P2566412864256

因为X~8（4,；）

4

所以E（X）==4x—=1.

4

20.如图，在多面体ABC。砂中，四边形C。所是边长为2的正方形,

ABHCD,AD1CD,BE=3AB=3,AO=2.

£_______________仁

/*r/，、

〃）工人…/…Jr

（1）求证：平面4）尸_L平面BCE；

（2）求平面ADF与平面BCF所成锐角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵回.

5

【分析】（1）作出辅助线，求出8。=逐，由勾股定理逆定理得到30,OE,进而得到线面垂直，得到

DE^-AD,从而得到AD1平面。EF,得到AD1CE,最终证明出CEL平面4。尸，得到面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接8。，

因为BE=3AB=3,4O=2,

所以Afi=l,

因为AB//CD,4。_LCD,

所以，

由勾股定理得：BD=ylAD2+AB2=J5，

因为BE=3,DE=2,

故BE?=DE2+BD2,所以BA-LZJE,

又CDA.DE,CDCBD=D,

所以£>EJ■平面ABCD,

又ADu平面ABCD,

所以。EJ_A£）,

又A£>_LCZ）,EQnC£>=。，

所以AD1平面CDEF,

又CEu平面CQE尸，所以AD_LCE,

又d.CE,ADn。尸=。，所以CEL平面AO尸，

又CEu平面5CE,所以平面ADF，平面8CE.

（2）由（1）知£M,DC,OE两两垂直，以。为原点，。4。。,。£的方向为），）',Z轴的正方向建立如图所

示的空间直角坐标系.

C(0,2,0),E(0,0,2),尸(0,2,2),8(2,1,0),CE=(0,-2,2),CB=(2,-l,0),CF=(0,0,2),

|1]CE_L平面ADF知CE=（0,-2,2）是平面ADF的一个法向量.

设平面BCF的法向量为〃=（X,y,z），

CBn=O2x-y=0

由，—得:

CFn=O2z=0

解得：Z=o,令X=l,贝Ijy=2,故〃=(1,2,0),

设平面AZ）尸与平面3c尸所成锐角为。,

\CE-n\1-41_V10

即cosO

ICEMnl2j2xy/5^~

所以平面ADF与平面BCF所成锐角的余弦值为姐.

5

21.设F,F分别是双曲线「:上-匕=1（。＞0力＞0）的左、右两焦点，过点F的直线/:x-殂T=0（〃?/WR）

12a2b2

与「的右支交于M，N两点，「过点（-2,3）,且它的虚轴的端点与焦点的距离为

⑴求双曲线「的方程；

⑵当阿々|=|尸,＜|时，求实数〃?的值；

---1

（3）设点M关于坐标原点。的对称点为P,当M时，求△0〃汽面积S的值.

2

22

【答案】(1)X2-二=1

3

(2)"Z=土-

15

⑶旭

【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；

（2）山点在直线上求得f=2,根据5到直线/：x-叼，-2=0的距离与等腰三角形尸M尸底边MF上的高相

1I22

等，列方程求参数加；

（3）设加（.，力）,%（%。2），联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得丁+'==1r2m—，y+y=—-Q-，

/“'/II21-3m2।21-3m2

由向量的数量关系可得“=上，根据对称点，三角形面积公式S=2S,=2\y-yI，可求△PMN面积.

354OMN1121

【详解】（D因为双曲线「过点（-2,3）,且它的虚轴的端点与焦点的距离为近，

[49_

—~r=1az=1

可得：G夕2解得：

拉+。2+拉）=7出=3

所以双曲线「的方程为心-21=1.

3

（2）因为直线/：x-nzy-f=O,且过点尸2（2,0）,

则2—mxO—f=0,解得：f=2,

山|吃|=叱打得：三角形为等腰三角形，

所以等腰三角形FMF2底边Mq上的高的大小为出二（匕/j=厉，

又因为点与到直线/：x-my-2=0的距离等于等腰三角形尸Mf底边上的高,

112

则1=空=!=行，

化简得：m2=-,即帆=±姮.

1515

（3）设M％）,N（x2>y2）i

G上=1

由直线与双曲线联立得：3,

x-my-2=0

化简得：（362-l）y2+12my+9=0,

12/7?9

由韦达定理得Y+yrE，*

1-3A«2

—1—12m_9

又MF=-FN,叫=倒，则？------，2y2=

2221-3/722I1-3/772

12m1291

即2，则必=77，

1-3/H21-37H235

又点M关于坐标原点0的对称点为P,则:

12m9124W2+19735

S=2S.N=2|y「4=2g+?-4*=2,f-4-