2023届河南省豫北中原名校大联考高三年级上册10月份大联考数学（文）试题（解析版）

2023届河南省豫北中原名校大联考高三上学期10月份大联

考数学（文）试题

一、单选题

1.已知集合A={y|y=sinx},B=x2-2x-3<oj,则⑦A=（）

A.[1,3]B.[-1,3]C.（1,3）D.（1,3]

【答案】D

【分析】由正弦函数值域求集合A,根据一元二次不等式求集合B,再求补集.

[详解]VA={y|y=sinx}=[-l,l],B={x|-l<x<3）,

故选：D.

2.在AMC中，A=60。，BC=B则AABC外接圆的半径为（）

A.1B.V2c.y/jD.2

【答案】A

【分析】利用正弦定理运算求解.

a_V3__?p

【详解】由正弦定理/赵一；万一，则R=l,

T

故AABC外接圆的半径为1.

故选：A.

3.已知48CD为平面上四点，则“向量而〃前”是“直线8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量共线的概念理解判断.

【详解】若通〃①，则A,B,C,O四点共线或A8〃CO,

若AB"CD,则瓦〃前，

故“向量AB//前”是“直线A8HC。”的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知平面向量£与否的夹角为菖，若恸=3,|£+q=JB,则同=（）

A.2B.3C.2A/3D.4

【答案】D

【分析】由|£+B|=JB两边平方化简可求得答案

【详解】由口+4=旧平方可得同+|邛+2£石=13,

因为W=3,平面向量日与台的夹角为与，

所以同2+|fe|2+2p|•|5|cos=|a|2+9-3同=13即问--3同一4=0,

解得同=4或忖=-1（舍去），

故选：D

冗3

5.若sin(cr+—)=二，则sin(2a+—)=()

656

7「16-7r16

A.——B.-----C.—D.—

25252525

【答案】C

【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可求解.

【详解】sin(a+cos[2(a+—)]=1-2sin2(«+—)=—,

656625

/.sin(2tz+—)=sin(2a+—+­)=cos(2a+-)=­.

632325

故选：C

6.我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的

多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：

室内二氧化碳浓度（单位：PPm）人体生理反应

不高于1000空气清新，呼吸顺畅

1000-2000空气浑浊，觉得昏昏欲睡

2000〜5000感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中

大于5000可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡

《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标

准为：室内二氧化碳浓度不大于0.1%（0.1%即为lOOOppm）,所以室内要经常通风换

气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧

化碳浓度为2000ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度y%与经过时间，（单位：分钟）的

关系式为y=0.05+加彳（4eR），则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通

风时间至少约为（参考数据：加3=1.099,ln5®1.609）（）A.10分钟B.11分钟

C.12分钟D.20分钟

【答案】A

【分析】由r=o,y=0.2可求得2的值，然后解不等式>40.1,可得结果.

【详解】由题意可知，当"0时，y=0.05+4=0.2,可得2=0.15,则y=0.05+0.15/，

由>=0.05+0.15/5<0.1,可得，291n329.891,

故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为10分钟.

故选：A.

7.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acos2-|=a+c,则AABC为（）

A.钝角三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

形

【答案】C

【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案

【详解】由2acos20=a+c结合正弦定理可得2sinA•上垩0=sinA+sinC,

22

即sinA+sinAcosB=sinA+sinC,

所以sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

所以cosAsin3=0,

因为sin8>0,所以cosA=0,

因为0<A<TC,所以A=],故AABC为直角三角形，

故选：c

8.已知角。的终边经过点夕（-46,3机）（加声0）,则2sina+cosa的值为（）

32—22—2

A.--B.-C.1或—D.一或—

55555

【答案】D

【分析】先求得点P与原点间的距离尸=5|对，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分

〃7>0,m<0两种情况讨论求解.

【详解】由题意可得：点尸与原点间的距离r=J（-4〃?）2+（3〃?）2=5例,

.3〃?-47n

...sina=-r—r,cosa=—^

5M5|«i|,

当，”>0时，则sine=g,cosa=,故2sina+cosa=二；

342

当，”<()时，则sina=-g,cosa=w,故2sina+cosa=一《.

故选：D.

9.在AMC中，。为边BC的中点，E在边AC上，且EC=2AE,AD与BE交于点F,

^CF=AAB+pAC,则2+〃=()

A.—B.—C.；D.一

2424

【答案】A

【分析】根据三点共线的结论：48,C三点共线，则方=2而+〃灵,2+4=1,结合

平面向量基本定理、向量的线性运算求解.

【详解】以｛而,，引为基底向量，则有：

B,E,F三点共线,贝IJ衣=x^+(l-x)通=天而+：(1-力/，

--—>1—>1—.

又・・・ARO三点共线，且。为边3C的中点，则Ab=yAO=/yAB+QyAC,

x=—1yx=—1

・・・I21，解得：4，

-(i-x)=—jy=—

[3')2v2

—►i—.i一

即AF=-AB-^-AC.

44

VCF=AF-AC=|-AB+-AC|-AC=-AB--AC,

(44J44

131

.•・2=：,〃=—•-,贝!J4+〃=一].

442

故选：A.

10.已知函数/*)=^——------二的最大值与最小值之和为6,则实数〃的值为

3+cosx

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

m

【分析】根据8(»=兴工匚,xeR为奇函数，f(x)=a+，sx,求解即可.

3+cosx3+cosx

■、又3、值、3a+2sinx+ocosxtz(3+cosx)+2sinx2sinx

【详解】解：/(x)=-------------------------=-------------------------=〃+-----------，定义域为R，

3+cosx3+cosx3+cosx

2sinx

令g(x)=-----------

3+cosx

因为g(-x)=-点念=-g(x)，所以函数g(x)为奇函数,

设g(x)的最大值为M,最小值为机,

所以M+，〃=0,

因为/。)诙=a+M,f(x)min=a+m,函数/(x)的最大值与最小值之和为6,

所以以X)皿+fMmin=2a+M+m=2a=6,解得a=3.

故选：B

11.已知函数/(x)=sin0x-cos0x(0>O)图象的相邻两条对称轴之间的距离为则

下列结论错误的是()

A.的图象关于点,^对称

rrjr

B.〃x)在一谷上单调递增

C."6在0,-上的值域为［—1』

D.将一(X)的图象向右平移!个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

【答案】c

【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出。，即可得到函数

的解析式，由正弦函数的对称性可判断A；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断B；

根据x的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；由函数图象的平移变换，结合余弦

函数的性质可判断D

【详解】解：/(x)=sin<wx-cos3x=\/5sin(0x-?)(0>O),

TT

•••函数/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

二函数的最小正周期是Wx2=%,...7=万=生，

2co

•.69=2,/(x)=V^sin(2x—,

=-手一?)=sin(-4)=0,/./(x)关于(一苒对称，故A正确；

TT7TTTTTS7F

由+2E<lx<—+2kit,keZ,解得-\-kjt<x<——+kn.keZ,

24288

所以/(X)的一个单调增区间为即，而U_三年，

"(X)在?上单调递增，故B正确；

当OWxV区时，有042%4兀，则一工42工一24。万，所以一^'4sin(2x-%[41,

244424J

.•./(x)e[-l,72],故C错误；

将“X)的图象向右平移9个单位长度得到

O

y=V2sin^x-^-^=0sin[2x-])=-0cos2x关于y轴对称，故D正确.

故选：C

12.已知。=10sin0.01,b=e01-1,c=^cos0.01,则()

A.b>a>cB.c>a>b

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】构造函数〃x)=e*-x-l,利用函数〃x)的单调性可得出8与0」的大小关系;

构造函数g(%)=x-sinx,利用函数g(力在(0,也)上的单调性可判断。与().1的大小关

系；构造函数〃(x)=tanx-x,利用函数〃(x)在(0,上的单调性结合作商法可判断。、

c的大小，综合可得出结论.

【详解】令/(x)=e*-x-l,其中xeR,则广(x)=e、—1,

当x<0时，/'(x)<0,此时函数/(x)单调递减,

当x>0时，r(x)>o,此时函数〃x)单调递增，

所以，/(x)=er-x-l>/(0)=0,即e'-12x,当且仅当x=0时，等号成立，

所以，b=e°「l>0.1,

令g(x)=x-sinx,其中x>0,则g'(x)=l-cosxNO且g'(x)不恒为零，

所以，函数g(x)在(0,+<»)上单调递增，当了>0时，g(x)=x-sinx>g(O)=O,

所以，当工>0时，sinx<x,则0<a=10sin0.01<10x0.01=0.1,

且0<c=，cos0.01<0.1,构造函数/z(x)=tanx-x,其中0cx苫，则

hr(x}=—\-----1=tan2x>0,

cos'x

所以，函数Mx)在(0,9上单调递增，

故当0cx时，/?(x)=tanx-x>/?(0)=0,艮[Jtanx>x,

因为州=100tan0.01>100x0.01=1,所以,a>c,因此，b>a>c.

c

故选：A.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

(1)判断各个数值所在的区间；

(2)利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也可以利用两种方法的综合应用.

二、填空题

13.已知函数行)=["噜7>二且”/"(-1))=3,则”__________.

[―c—XSU

【答案】3

【分析】利用函数/(x)的解析式，由内到外计算/(/(-1))，可求得实数〃的值.

[详解】因为〃x)={:算::0,则〃-1)=-1+3=2,则/(/(-1))="2)=a=3.

故答案为：3.

14.已知I函数〃x)=e「奴2,若曲线y=/(x)在点(1J0))处的切线方程为y=bx+e,

则6二.

【答案】-e

【分析】利用导数的几何意义可得出关于实数。、。的方程组，即可解得实数b的值.

【详解】因为〃x)=e，一5:该函数的定义域为R,则/'(x)=e'-2以，

f'(\)=e-2a=b,①，且/⑴=6+e=e-a,②

由①②可得a=e,b=—e.

故答案为：1e.

ABAC_1

15.在-ABC中,BC=2,研国=5则AA3C的周长为

【答案】6

【分析】利用向量的几何意义确定三角形的形状即可求解.

-AB-AC___

【详解】设。=屈［勺=扁，则有q,e2均为单位向量，

且G与A6同向，02与耳。同向,

ABAC

所以与NBAC的角平分线共线,

又因为-BC=O,

所以NB4C的角平分线与8c垂直,

即AMC的角平分线与高线合一，

所以AABC为等腰三角形，且他=AC,

又由篇.前4ST斗同8S""C=；，

得NBAC=（,

所以AABC是等边三角形，则的周长为38c=6.

故答案为:6.

三、双空题

16.如图为矩形ABCZ）与半圆0的组合图形，其中钻=2A£>=2,E为半圆弧上一点,

EF±AB,垂足为F,点、尸在线段AO上，且PE=PF,设NCOE=e（046<万），则！PEF

的面积s与。的关系式为s=：s的最大值为.

【答案】-V2sinf^+-\1（04。＜万）3+2—

4|_k4JJ4

【分析】设E尸与CD交于点G,根据题意可得到EROG,通过三角形面积公式以及

三角函数的化简即可得到S与6的关系式，利用三角函数的性质即可求得最值

【详解】设EF与C。交于点G,

根据题意可得EF=EG+GF=OEsin8+1=1+sin0,

DG=DO+OG=\+OEcos6=\+cos0,

因为EF_L/W,ADJ.AB,所以AD//EF,

所以！PEb的面积

S=S=-EF-DG=—(1+sin0)(1+cos0)=—(sin0+cos0+sin0cos0+\)

anFF222

1F.Q,〃，(sin®+cos'『-II(sin0+cos6)21,八、1

=-sm〃+cos6>+---------------+1----------—+-(sin0+cos6>)+-

212J424

L—12

=—(sin0+cos0+l)2=—V2sin[/9+—|+1,其中04gv万，

44|_4)_

因为所r以rTT一SjT，

444

所以一^^<sin[夕+/)<1,

所以当且仅当9=5时，sin（e+?J取最大值为1,

所以S的最大值为，（&+1）2=士@巨，

44

故答案为：耳的sinje+Q+1］（0“〈m;3+2―

4|_k4JJ4

四、解答题

17.已知向量a=（l,2x）,B=（X,3）,C=（-2,0）.

⑴若（2+2与〃（2£-弓，求实数x的值；

（2）若3+2B与%-"的夹角为锐角，求实数x的取值范围.

【答案】（1）2或

J14+4..（,14—4..7、

（2）［«,-~—JU|^——,2JU（2,+oo）

【分析】（1）先根据向量的坐标运算求£+2瓦21-工，再结合£〃否＜=＞%%-々y=。运

算求解；（2）根据向量的数量积与夹角的关系列式运算求解.

【详解】（1）由题意可得：Z+涕=（2x+l,2x+6）,2£—"=（4,4x）,

•：｛a+24//（2a-c）,则4x（2x+l）-4（2x+6）=0,

、3

即2W-x-6=0,解得：》=2或》=-；,

2

3

二实数x的值2或-去

⑵由（1）可得：

当x=2时,则1+涕=（5,10）,安-」=（4,8）,

^a+2b=^（2a-c）,故£+2区与22一2同向；

当x=_］时，则£+潺=（_2,3）,2£—2=（4,-6）,

即a+2^=-2（2a-c）,故［+2?与%-工反向.

3+2B与2。的夹角为锐角，则［4（2丁）+4心+6）〉。，解得、＞亚或

［XR22

V14+4门

x<------------，且工工2，

2

.•♦实数x的取值范围4,2)U(2,+OO).

18.已知向量a=(1-cos2x,sin2x),b-[2cos2x,5/3cos2xj,函数f(x)=a%.

(1)求〃x)的最小正周期；

(2)当xe-亲夫时,求“X)的取值范围.

【答案】⑴

⑵-；」

【分析】(1)利用三角恒等变换结合平面向量的数量积化筒函数/(X)的解析式，利用

正弦型函数的周期公式可求得函数f(x)的最小正周期；

⑵由可求得4X。的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得/(x)

的取值范围.

【详解】(1)解:

6

f(x)=a•B=(1-cos2x)2cos2x+百sin2xcos2x22x)(1+cos2x)

\/3..i)。g.人il+cos4x723

=——sin4x+1—cos-2x=——sin4x+l--------------

222

.(A1

I6j2

所以，函数的最小正周期为7=与=(

19.函数〃力=加1内+加-c在处取得极值3c,其中“、6、c为常数.

(1)讨论函数/(x)的单调区间;

(2)若对任意x>0,不等式〃x)N-2c2恒成立，求c的取值范围.

【答案】(1)减区间(0,1),增区间(1,y)

(2)(-8,-l]u|收

【分析】(1)由题意先确定。，b的值，再由导数法直接求解即可

(2)首先求得函数/(x)的最小值，然后结合恒成立的结论得到关于c的二次不等式，

求解二次不等式即可确定c的取值范围.

【详解】(1)因为/(x)=G：21nx+匕x2-c(x>0),

所以/'(x)=2adnx+ar+2Z?x(x>0),

由题意知/(1)=-3—c,因止匕Z?_c=_3_c,从而6=_3.

又由题意知尸(1)=0，因止匕a+»=0,解得a=6；

所以/'(x)=12xlnx.令/'(x)=0,解得x=L

令r(x)>o,解得x>>令ra)<o,解得o<x<i；

因此/(X)的单调递增区间为(1,田)，单调递减区间为(0,1)；

⑵由(1)知，/(X)在X=1处取得极小值/⑴=-3-c,此极小值也是最小值.

要使不等式/(x)Z—2c2恒成立，只需/(力.之一?。?，即一3-c2-2c2

所以2c2—c—3Z0,从而(2c—3)(c+l)20.

3

解得cW—1或

2

所以c的取值范围为(-°O,T]U

20.在AA3C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,K«sin(B-C)=/>sin(A-C).

(1)证明：a=b；

(2)若c=5,cosC=,求AABC的面积.

【答案】(1)证明见解析

岭

【分析】(1)利用正弦定理结合两角差的正弦公式化简可得出sin(A-8)=0,分析可得

出A=B,即可证得结论成立；

(2)利用余弦定理可求得/的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，再利

用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】⑴解：由asin(B-C)=bsin(A-C)及正弦定理可得

sinAsin(B-C)=sinBsin(A-C),

即sinAsinBcosC-sinAcosBsinC=sinAsinBcosC-cosAsinBsinC,

即sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinCsin(A-B)=O,

.A、B、Ce(O,7C),则sinC>0,所以，sin(A-B)=O,

•：-TI<A-B<TI,则A-B=0,所以，A=B,故4=从

24?

(2)解：由余弦定理可得c?=25=/+b2-2ahcosC=2a2-—a2=—a2,

「广2

所以，a=—13x—25

2f

•/cosC=一>0,则。为锐角，sinC=Vl-cos2C=—,

IJi。

中山s_1〃•厂_113x255_125

因此‘S^BC=-absinC=-x--—x—=—.

21.在平面四边形ABC。中，AB=AD=20,ZBAD=-,ZBCD=—.

33

(1)若NA8C=五，求BC的长；

(2)求四边形A8C3周长的最大值.

【答案】(DBC="四；

3

(2)40+^^.

3

【分析】(1)分析可知△回£»为等边三角形，求出8。的长，以及NBDC,利用正弦定

理可求得8c的长；

(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得BC+CD的最大值，进而可求得四边形A8CD

周长的最大值.

【详解】（1）解：连接8。,

7T

因为AB=AO=20,ZBAD=~,故△ABO为等边三角形，.•.80=20,

TTTTTT

/.NCBD=ZABC-ZABD=-----=—,则Z.BDC=n-4BCD-/CBD=一

123124

兀

BDBC,所以，g"=辿

由正弦定理得

sinZBCDsin/BDC$抽2rt3

3

⑵解：由余弦定理可得400=BD2=BC2+CD--IBCCDcosy=BC2+CD2+BC-CD

,丁/、2（BC+CD）23（BC+CD）2

=（BC+CD\-BCCD>（BC+CO）-——--=-i-~，

所以，BC+CO<-,当且仅当8C=CO=迎叵时，等号成立.

33

因此，四边形ABCO周长的最大值