如何提高学生的数学推理能力

PAGEPAGE4如何提高学生的数学推理能力中国有句古话说，授之以鱼不如授之以渔，意思就是给一个人一些鱼还不如教给他捕鱼的方法。在数学教学中，教给学生进行逻辑推理的方法、让他们自己推理出某种结论，比单纯告诉他们结果重要。这个道理在当代数学家和教育家中引起了共鸣。美国密歇根大学教育学院的德博拉·鲍尔认为，数学具有吸引力的原因之一就在于它能够引导学生进行奇妙的推理，推理培养在数学教育中具有至关重要的作用。现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学作为一门科学，它不仅仅具有严密的逻辑性和广泛的应用性，同时还具有高度的抽象性。任何一个自然数、一个算式，都是客观世界中特定事物的数量或数量关系的高度抽象。这种纯粹化的抽象性，形成了数学知识本身最显著的特点。数学作为自然科学最基础的学科，是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，具有很强的概括性、抽象性和逻辑性，是中小学教育必不可少的基础学科，对发展学生智力，培养学生能力，特别是在培养人的思维方面，具有其他任何一门学科都无法替代的特殊功能。而数学教学，人们往往把眼光盯在数学概念、公式等数学知识和计算能力方面，其实这是不够的或者是片面的。实际上，数学能力的培养是数学教学的一项重要任务，这也正是现代化社会发展所迫切需要的。正确迅速的运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力是学生必须具备的数学能力。因此，数学教学特别是逻辑推理能力的培养，对学生思维的培养就显得尤为重要。初中数学《新课标》中明确指出：“要培养学生的运筹能力、发展逻辑思维能力，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。”初中学生正处在各种能力需要培养和形成的阶段。因此，培养学生的能力，特别是逻辑推理能力是初中数学教学的核心，也是推进素质教育的一个重要手段。近年来，出于对数学教学现状的反思和对新课标的学习，已在课堂教学中尝试进行了演绎归纳并重的教学方法，力求让学生在知识获得的过程体验中有所悟，从而了解知识得来的来龙去脉和内在联系，形成自己对数学的真正理解，为实现学生学习的“再创造”提供条件。所谓逻辑推理是指根据已知判断推出新判断的一种思维形式。分成演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理是指从一个普通的规则开始，然后尝试证明资料与推论的一致性。归纳推理即有特殊事例到普通结论的推理。类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，推出这两个对象的其他属性相类似的一种推理方法。本课题所要研究的逻辑推理能力是指在推理过程中所必需的分析能力和归纳能力。鉴于数学的对象主要是抽象的形式化的思想材料，数学的活动也主要是思辨的思想活动，因此数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程。所谓建构，指的是结构的发生和转换，只有把人的认知结构放到不断的建构过程中，动态地研究认知结构的发生和转换，才能解决认识论问题。这与数学的教学理论是相通的。“建构”学习是以学习者为参照中心的自身思维构造的过程，是主动活动的过程，是积极创建的过程，最终所建构的意义固着于亲身经历的活动背景，溯于自己熟悉的生活经验，扎根于自己已有的认知结构。建构主义的数学学习观的基本要点是数学学习不应被看成是学生对教师所传授知识的被动接受，而是一个以学生已有知识经验为基础的主动建构过程，并且这种建构是在学校特定的教学环境中，在教师的直接指导下进行的，即学生的建构活动具有明显的社会建构性质。数学学习并不是学习个体获得越来越多的外部信息的过程，而是学到越来越多有关认知事物的程序。建构主义强调教师提供资源创设情境，引导学生主动参与，自主进行问题探究学习，强调协作活动、意义建构。新的数学课程标准指出：数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。首先，数学课程内容要有利于学生主动地进行观察实验、猜测、验证、推理与交流，一系列数学活动，使学生的探索、经历和得出新发现的体验成为数学学习的重要途径。其次，“过程”本身就是课程内容的一部分。学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用的，通过这个过程学习和应用数学。在一个充满探索的过程中，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心形成应用意识、创新意识，使人的理智和情感世界获得实质性的发展和提升。其三重视过程的数学课程，“数学知识”的总量肯定比以往要减少，而且探索的经历意味着学生要面临很多困惑、挫折，甚至失败。学生也可能在花了很多时间和精力之后结果并不理想，在这样的过程中耗费的时间和精力可以说是值得付出的代价，因为留给学生的可能是一些对他们终生有用的东西，是一种难以言说的丰厚回报。其四与课程内容相匹配的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，因而标准指出“动手实践、自主探索、与合作交流是学生学习数学的主要方式”。数学的学习方式不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个充满生命力的过程。学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲自实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分离自己和记了，只要想一想过程，概念也就自然而然的回忆起来了，同时体验过程也让学生体会了概念不是孤立的，他来源于实际问题，来源于生活，就在我们的周围，数学不是深不可测的，从而培养学生学习数学的兴趣和信心。2、对性质课的教学结构的探索与实践：性质课是数学课堂教学中的主要板块。在平时的教学中我们感到学生对性质学习不重视，习惯性将性质学习局限在对性质的知晓和会用，至于对性质得来的过程不屑一顾，从而导致对性质理解的不充分，影响对实际问题的解决。为此，我们认为要加强对性质的探索、猜想、验证、归纳的教学，从而提高学生的推理能力。教学结构：提出问题→主动探索（观察、操作、实验）→猜想→验证→归纳→得出性质→实践应用以《不等式与不等式的性质》一课为例，我基本摆脱了教材中观察性质（结论）——操练的束缚，将本课的重心从原本的熟练运用转变为体验性质得到的过程。在教学中，我直接提出问题，让学生利用天平等有关学具做一做，猜一猜不等式的性质，然后通过操作去验证性质，从而自己归纳出不等式的性质。虽然“体验过程”减少了练习的时间，但学生归纳能力、解决问题的能力都得到了提高。【案例2】“等腰三角形的性质”的课堂实录■环节一：复习旧知，创设情境，引出问题。首先，通过操作一回顾等腰三角形的定义及相关概念，为后面性质的学习做好铺垫。操作一：（四人小组活动）请同学们将信封中的三角形进行分类。（按角进行分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边进行分类：一般三角形、等腰三角形、等边三角形）接着，回顾三角形的有关概念：三角形的高、中线、角平分线。突出要与边对应。紧接着，提出本节课的学习任务，也就是研究的问题：这些等腰三角形有什么规律和特性？■环节二：实验操作，观察现象，主动探索。操作二：请同学们以四人小组为单位，在刚才分类所得的4个等腰三角形上画出他们的所有的高、中线、角平分线。要求高用红色笔画，中线用黄色笔画，角平分线用绿色笔画。画完后，请同学们观察、讨论一下，有什么规律或特性？■环节三：讨论交流，猜想性质。通过“操作二”的实验，四人小组实验操作，观察现象后发现：有三条不同颜色的线段互相重合。讨论交流后得到猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。■环节四：验证猜想，归纳结论。这里通过两个环节进行验证：一个是各组的三角形各不相同，可是得到的结论相同。另一个是借助多媒体课件演示，即操作三。操作三：借助多媒体验证猜想：请同学来拖动顶点A（如上图），其他同学观察：当AB、AC边的长度值相等（即三角形成为等腰三角形）时，这三条线段（BC边上的高AD、BC边上的中线AE、∠BAC的顶角平分线AF）的位置会发生什么变化？同学们一致观察到并认为拖动A点，AD、AE、AF三条线段位置发生变化，最后重合（如下图）。最后归纳出等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称为等腰三角形“三线合一”）。而且学生对“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”也较易理解，且不易忘记。■环节五：……演绎归纳并重的教学结构让学生充分体验过程。学生的数学知识的获得是一个探索的过程，教师要通过观摩、操作、试验、猜想、类比、归纳灯会动的设计，提供学生动手实践、主动探索、合作交流、独立获取知识的机会，使学生对这一过程有充分的体验，使学生主动积极的学习、增进对数学的理解和学会数学的信心，会学数学、会用数学。3、对应用课的教学结构的探索与实践：我们的数学源于生活，又回馈于生活。学习数学不仅仅是对知识的掌握，更重要的是“学以致用”，掌握技能与方法，并解决问题。而学生的实际是急功近利，急于求成，盲目下笔，导致解题出错。一是未弄清题意，未认真读题、审题，没弄清哪些是已知条件，哪些是未知条件，哪些是直接条件，哪些是间接条件，需要回答什么问题等；二是未进行条件选择，没有“从贮存的记忆材料中去提缺题设问题所需要的材料进行对比、筛选，就“急于猜解题方案和盲目尝试解题”；三是被题设假象蒙蔽，未能采用多层次的抽象、概括、判断和准确的逻辑推理；四是忽视对数学问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括“该数学问题解题方案是否正确？是否最佳？是否可找出另外的方案？该方案有什么独到之处？能否推广和做到智能迁移等等”。所以我们将应用课的研究重点定位在方案的确定，即准确把握题意，正确分析推理，合理最佳建构，将实际问题转化为数学问题加以解决，从而提高学生的分析问题、抽象问题、概括问题和解决问题的能力。其次，在应用课的教学过程中还要偏重“提高问题层次”的教学，这是一个循序渐进、螺旋上升的过程。我们认为，对实际问题的解决要突破一个问题的解决，要把握问题的实质和类结构，要有整体意识，通过问题的变式、提升，全面看待问题。教学结构：提出问题→主动探索（观察、实验、计算、统计）→归纳、设计方案→解决问题提高问题层次（一个问题要做透）→归纳此类问题的类结构及其方案→实践应用【案例3】影子问题本节课是比例线段、相似三角形后的一节应用课，本课从学生生活中所熟悉的影子为背景，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展，尤其是本课题所研究的学生逻辑推理能力的提高。■创设情境夜晚，你在路灯下行走时有没有注意到人的影子会随着人的走动而发生变化，是否可以用数学的方法来考虑，今天我们就来研究这一问题，人从路灯正下方沿直线向远处行走，人影长度会怎样变化？■第一个问题层次问题：假设路灯高度为9米，人的身高为1.8米，当人走到举例路灯正下方5米处时，人的影子长度为几米？GGACHB由得（米）在解决这一实际问题时通过几何图形转化为数学问题，利用比例线段将两条高的比转化到地面上的线段之比，通过解数学问题从而求出实际问题的解。■第二个问题层次人从路灯的正下方沿直线向远处行走，假设路灯高度为9米，人的身高为1.8米，当人走到距离路灯正下方5米处时，如果他继续往前走了m米，那么他的影子长为多少米？GGACHBDFE由，得（米）在这里字母m我们同样可以看作一个具体的数，借助上题结论用类比的方法直接得出结论。由此发现影子的变化规律：（米）。■第三个问题层次人从路灯的正下方沿直线向远处行走，假设路灯高度为9米，人的身高为1.8米，如果在距离路灯正下方20米处有一墙壁，人从路灯的正下方出发走了x米后，人在墙上的影子长为y米，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围。GGANHBPQy当然，在我们培养学生的推理能力过程中，我们要注意以下几点：（1）培养学生的逻辑推理能力，应注重创设情境激发兴趣。情景创设是一种依据人的认识是有意识的心理活动与无意识的心理活动的统一、理智活动与情感活动的统一的观念，创设一定的教学情境，以充分调动学生无意识心理活动的潜能，使他们在思维高度集中、精神完全放松的情况下进行学习的教学方法。有利于调动学生学习积极性，以及对学生进行个性熏陶和人格培养。学生的逻辑推理能力，也同样需要在兴趣盎然思维积极的过程中去培养，这就要求教师在数学教学中通过多种途径和方法创设情境激发学生兴趣，培养他们自觉提高逻辑思维能力的学习兴趣，培养他们学习的主动性和积极性。例如有位教师抓住学生回答问题中的逻辑错误设计反问，如当学生根据“自然数和0都是整数”得出“整数是自然数和0”时，风趣地问学生：“你能根据狗都是有四只脚得出四只脚的都是狗的结论吗？”这里虽然没有给学生讲逻辑知识，但对于培养学生思维的逻辑性，纠正学生在这里所犯的逻辑错误，提高学生学习的积极性，无疑是会起到良好的效果。（2）培养学生的逻辑推理能力，应注重设问适度有助思考。这里，想先引入一个课堂实录片断。【案例5】“分式的约分”课堂实录片段师：请同学们把黑板上的习题做在笔记本上。把下列分数化成最简分数：（请三位同学上黑板完成）师：分数的约分应该约到哪一步？生：约到最简分数。师：什么是最简分数？生：分数的分子与分母除了1以外没有其他公约数，这样的分数叫做最简分数。师：这里要强调除了1以外。因为1也是公约数。师：对分数进行约分的依据是什么？生：分数的基本性质。分数的分子和分母乘以或除以同一个数（零除外），分数的大小不变。师：那么，什么叫做分数的约分？生：把分数的分子和分母的公因数约去，叫做分数的约分。师：非常好。我们已经把初一年级学过的分数的约分复习了一下。今天，我们学习分式，分式在许多方面和分数类似，那么对分式能不能也进行约分呢？黑板上有一个分式，请大家思考一下。生：可以约分，约xy，得到师：你这样做的依据是什么？生：分式的基本性质。分式的分子和分母乘以或除以同一个整式（零除外），分式的大小不变。师：那么，我们可以称它什么呢？生：最简分式。师：谁能根据最简分数的概念来描述一下最简分式的概念呢？生：分式的分子与分母没有公因式，这样的分式叫做最简分式。师：很好。那么什么是分式的约分呢？生：把分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。师：很好。同学们利用以前所学的分数约分的知识很快掌握了分式的约分。现在我想请大家再看一个分式。怎样将它进行约分？生：是因式分解。师：好的，请大家在笔记本上做做看。生：==师：非常好。分式的约分和分数的约分有许多相似之处，也有不同之处。这就是说，分式的约分，如果是多项式，应先……生：因式分解。师：再……生：约分。（接下来是练习。）……这是一节家常课。整节课基本采用了“一问一答”的教学方式，这样的教学方式把一节课的重点、难点分解成若干个小问题，学生易于理解。而且采用迁移的方法让学生将新旧知识对比，发现相同点和不同点。在设计这些问题时，预想着效果会不错，因为他们对两个知识点对比还比较感兴趣，可实际效果并不好。有不少同学讲话，自始自终专心听讲，回答老师问题的同学并不多，更不要说学生的能力提高了。怎么会出现这种情况呢？课后，我们对整节课的教学过程（尤其是师生问答）作了反思，认为问题还是出在问题设计上。就其原因，主要有三点：第一，将大问题化成若干小问题，使问题难度下降，学生觉得太简单，他们都会。甚至有些学生认为老师出的题目太简单，“这种小儿科题目有什么好做的。”学习无积极性，当然不愿意思考。只是课题还未最终出来，他们还耐着性子听着，到了练习的时候，就再也控制不住开始讲话了。第二，从学生学习的主体性的角度出发，这种教学方式基本是以教师为中心，虽然我在设计问题时已详细考虑了学生的各种情况，但学生的学习仍是被动的，学习的仍是间接经验。学生当然不感兴趣，无法参与。第三，从培养学生的思维角度来看，由于问题的繁琐，且无深度，局限了学生的思路。特别是将一个大问题分割成许多小问题时，破坏了知识的整体性，学生思路的整体性。不利于学生整体思维的培养。■共识1：课堂教学中，问题的设计要关注学生思维的深刻性，要有利于培养学生思维的广阔性、灵活性和创造性。不宜过小，约束学生的思维；也不宜过大，让学生无所适从。要把握好设问的适度。■共识2：鉴于思维认识的层次性，在课堂教学的问题设计时，要善于“追问”，通过问题的循