2021年全国乙卷高考理数真题试卷(+答案+解析)

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。（共12题；共60分）

1.设2（z+）+3（z-）=4+6i,则2=（）.

Zz

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ},T={t|t=4n+l,nGZ},则SnT=()

A.B.SC.TD.Z

£

3.已知命题p：xGR,sinx<l；命题q：xWR,e'xl>l,则下列命题中为真命题的是（）

3V

A.pqB.PqC.pqD.(pVq)

A-iAA-i-i

4.设函数f（x）=,则下列函数中为奇函数的是（）

1-X

1+X

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

5.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BiDi的中点，则直线PB与ADi所成的角为（）

A.B.C.D.

71ZEX2

346

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

7.把函数y4（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位

171

长度,得到函数y二sin（x-）的图像，则f（x）=（）

71

A.sin()B.sin()C.sin()D.sin()

x7nx.n-7n

—.—Jy।2%+-

2122121212

8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）

4

A.B.C.D.

7239

432329

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,

G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为〃表高〃，EG称为〃表距〃,

GC和EH都称为〃表目距〃，GC与EH的差称为“表目距的差与则海岛的高AB二（）.

A.

+表息

B.

耒堂^耒运壬口

表自场的差一表曷

C.

+表题

表今多为亲

D.

-表座

10.设a*0,若x=a为函数,的极大值点，则（）

Kx）=a（x-a）'（X一b）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

11.设B是椭圆C：（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足则C的

W+q=iIPBIM2b

a*b，

离心率的取值范围是（）

A.B.c.D.

%）生1）（0,争（0卞

12.设，则（）

ad=21nl.01b=lnl.02c=VL04-1

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）

13.已知双曲线C：（m>0）的一条渐近线为+my=0,则C的焦距为

2

X___2=1事x

y--1

mJ

14.已知向量T=（1，3）,b=（3,4）,若（T-入T）_L-,则入=

aabb

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为，B=60。，a2+c2=3ac,则b=______.

V3

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则

所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(共5题；共60分)

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一

台新设备各生产了1。件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为S，和S2?

Ty

(1)求，，S,,S22；

Ty

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果_-2,则认为

972再i

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB_LAM,

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

19.记Sn为数列｛an｝的前n项和,bn为数列｛Sn｝的前n项和,已知=2.

(1)证明：数列｛6｝是等差数列;

(2)求｛an｝的通项公式.

20.设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。

(1)求a；

(2)设函数g(x)=,证明：g(x)<1.

x+f'X"

xfV

21.己知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求P；

(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.

△

四、［选修4一4：坐标系与参数方程］(共1题；共10分)

22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为C(2,1),半径为1.

0

(1)写出C的一个参数方程；

O

(2)过点F(4,1)作C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两

O

条直线的极坐标方程.

五、［选修4一5：不等式选讲］(共1题；共10分)

23.已知函数f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)当a=l时，求不等式f(x)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.

2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。(共12题；共60分)

1.设2(z+)+3(z-)=4+6i,则2=().

【答案】C

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设__所以a=b=l,所以z=l+i。

z=a-bi,2(z+z)+3(z-z)=5z-z=4a+6bi=4+6i,

故答案为：C

【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ),T={t|t=4n+l,nGZ},则SnT=()

【答案】C

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】当n=2k时、S={s|s=4k+1,},

(keZ)kez

当n=2k+l时,S={s|s=4k+3,

(keZ)kez

ScT=T

故答案为：c.

【分析】分n的奇偶讨论集合S。

3.已知命题p：xGR,sinx<l：命题q：xGR,a1”，则下列命题中为真命题的是()

A-PqB.pD.(pVq)

A-iA

【答案】A

【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用

【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，

故答案为：A

【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。

4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()

1-X

1+X

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

【答案】B

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析】【解答】因为f(x)=，所以函数的对称中心是(-1,-1),所以函数f(x)向右平移1个

—1+x=-1+X—+1

单位，再向上平移1个单位后关于(0,0)中心对称，而四个选项中只有B满足条件，

故答案为：B。

【分析】将函数变形为f(x)=后，判断。

=-1+—x+l

5.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BQi的中点，则直线PB与AD1所成的角为()

A.B.C.D.

【答案】D

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图，连接AC,设AC与BD交于0,连接ODi,ADi,BP,设正方体的棱长为X,

因为DiP||OB||BD,且DiP=BO=BD,所以四边形ODiPB是平行四边形，所以BP||ODi,所以

1

即为所求的角，易证平面BDDiBi,故ODi,又，所以=.

A01A01

AO=^AC=^ADt色

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：

废屐裾=240'

故答案为：C.

【分析】利用排列与组合来求解。

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单

1JT

23

位长度，得到函数丫=5汨/)的图像，则f(X)=()

7Z

A.sin()B.sin()C.sin()D.sin()

x7n

212

【答案】B

【考点】由y=Asin(3X+4))的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y=y=sin(x-)的图像上所有的点向左平移平移个单位,

7Z71

43

纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期

y:=sin(x+

变原来的2倍，就得到函数y=,故答案为：B。

【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为()

4

A.B.C.D.

723_9_2

432329

【答案】B

【考点】几何概型

【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且0<a<l,l<b<2,在平面直角坐标系内，a,b的取值,

表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作直线a+b=

满足a+b>的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示,

直线a+b=与正方形的两个交点分别为，则可计算事件(a+bR人svyf概率为P=

；(2(岭>7

故选Bo

【分析】利用儿何概型解答。

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,

H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表高"，EG称为"表

距"，GC和EH都称为"表目距"，GC与EH的差称为“表目距的差"。则海岛的高AB=().

A.

+表息

B.

耒堂^耒运壬口

表且史的差一表曷

C.

云寺:法W

+表能

表身彦煌

D.

表不表W

-表座

表^运力蓬

【答案】A

【考点】解三角形的实际应用

【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M,

则AB=AM+BM,设则

々DM=a.^BFM=S，

因为，所以

---------=MF-MD=DF,tan8=—,tana=-

tanatan£lGCEH

所以

Mb器="8』一盍）=MB喘—第.=霭+表高•

tana

故答案为：A.

【分析】通过作辅助线，（如图），然后利用解直角形的知识来解答。

10.设a-0,若x=a为函数的极大值点，则（）

Kx）=a（x-a）2（x-b）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则（如图1）,必有a<b,ab<a2.故B,C项错;

h

x

图①

当a<0时，若a为极大值点，则（如图2）,必有a>b>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

11.设B是椭圆C：（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的

W+W=lIPBIM2b

a*b*

离心率的取值范围是（）

A._B.C.D.

[y.l）[?D◎争（。卞

【答案】c

【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质

【解析】【解答】依题意，点B(O,b),设P(xo,yo),则有

22222

\PB\=x0+(y0-by=a(l-碧)+y0-2by0+b

移项并用十字相乘法得到：

一/『一2by°+产+2b2<4b2,仇+b)(-捻%+二^尹)<0,

因为恒成立，即恒成立，

b+0

-b<y0<b,^y0+b>0,y0+&<0~^(~)6-

据此解得，

a2>2c2,Hee(0,当

2

故答案为：Co

【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2,再根据椭圆上任意点的纵坐标yo的取值范围，解相关

不等式得到结果。

12.设，，，则()

a=21nl.01b=EL02c=>04-1

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质

【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(l+x)-,则b-c=f(0.02),则

+2—+1

当x>0时,_________________________,

f/fx\—_____2______________________1+x=)(1+乃2=+2.+.2>J(l+2*

/IJ-1+*2V1+2X—(l+x)Vi+2x'

所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

(0,+河

再构造函数.______则而,

g(x)—21n(l+%)—+4X+La-c=g(0.01)n^(x)=—_____-=2VTT^-2(i+x)

UlJ-2V1+4X—(1+X)V1+4X

当,______,__________

0<x<2时,VI+4x>V1+2x+x2=1+x,

所以,所以g(x)在(0,2)上单调递增，所以所以b<c<a,

g/(%)>0,g(0.01)>g(0)=0,腑〉c,

故答案为：B

【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)

13.已知双曲线C：(m>0)的一条渐近线为+my=0,则C的焦距为________.

『2=1网

my

【答案】4

【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质

【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是L

卜y2=i0n>o)岛+my=0,娉m=3

所以双曲线方程是2,

--y2=1,2c=2yjm+1=4

故答案为：4

【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。

14.已知向量t=(1,3),b=(3,4),若(t-入t)-1--，则入=。

aabb

【答案】

3

5

【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】【解答】因为__，所以

a=(1,3),匕=(3,4),=a—Ab=(1—3A,3—4X),(a—Ab)1b

(a-Ab)xb=0

所以，

(3,4)x(l-3A,3-4A)=0=>A=1

故答案为：

3

5,

【分析】先计算出一的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。

a—Ab

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为，B=6O°,a2+c2=3ac,则b=______.

V3

【答案】

2V2

【考点】余弦定理，三角形中的几何计算

【解析】【解答】_

S^Bc=-acsinB=-acsin60°=—ac=y/3ac=4,

224

于是____________________________,_

b=ya2+c2-2accosB=Va2+c2-ac=\2ac=2V2

【分析】根据面积的值，计算出ac,再由余弦定理求解。

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图,

则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

【答案】②⑤或③④

【考点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

故答案为：②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(共5题；共60分)

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为S12和S2?

xy

(1)求，，S?,S22；

Ty

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果->,则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

【答案】(1)解：各项所求值如下所示

=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

x_i.

10

y-2.

10

10

X[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2X(10.2-10.0)2+(103-10.0)2]=0.36,

x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

i

10

（2）由⑴中数据得=0.3,2=0.34

yX

显然_-_<2,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

y发回

\10

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数，再直接用公式计算s?,S22；

x.y

⑵由⑴中的数据，计算得：_-=0.3,2,____=0.34,显然_-<2,____,可得到答案。

yX目运yx区运

\10\10

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB1.AM,

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

【答案】（1）解：因为PD_L平面ABCD,且矩形ABCD中，AD±DC,所以以一，一，一分别

DADCDP

为x,y,z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(,1,0),P(0,0,1),所以_,=(t,1,-1),_,

EPBAM

(,1,0),

_1

2

因为PB_LAM,所以一・_,=-+1=0,所以t=,所以BC=。

PBAM£2y/2V2

(2)设平面APM的一个法向量为t=(x,y,z),由于_=(-,0,1),则

mAPV2

m•4p=-->j2x+z=0

｛一在n

m，AM=-yx+y=0

令x=，得t=(,1,2)。

V2mV2

设平面PMB的一个法向量为,=(x*,y*，zD,则

ri

r_n«^2=V2xf=0

Si•PR=V2xr+ye-ze=0

令=1,得.=(0,1,1).

y｛a

所以cos(T，一)===，所以二面角A-PM-B的正弦值为.

mnm«n33旧V7C

|m|MIV7XV214-14"

【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；

(2)呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。

19.记Sn为数列｛an｝的前n项和，bn为数列｛Sn｝的前n项和，已知=2.

2,1

一«~

5nbn

(1)证明：数列｛bn｝是等差数列；

(2)求｛an｝的通项公式.

【答案】(1)由已知+=2,则=Sn(n>2)

2Ibn

snbnbn^l

+=22bn-i+2=2bb-bn-i=(n>2),bi=

=$三=n=n三?

bnbn22

故｛6｝是以为首项，为公差的等差数列.

31

(2)由(1)知bn=+(n-1)=，贝I]+=2Sn=

31n+222=n+2

222Snn+2H+1

n=l时,ai=Si=

3

2

n>2时,an=Sn-Sn-i=-=

一+2n+1I

n+1nn(n+l)

故3n=

a,n=1

r2

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式

【解析】【分析】(1)根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。

(2)呈上，先写出bn,再求｛bn｝前n磺的和Sn,再由an与Sn的关系，进一步求得结果。

20.设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y二xf(x)的极值点。

(1)求a；

(2)设函数g(x)=,证明：g(x)<1.

叫"

xt

【答案】(1)[xf(x)『=x午(x)+xF(x)

当x=0时,[xf(x)]z=f(0)=lna=0,所以a=l

(2)由f(x)=ln(l-x),得xVl

当OVxVl时,f(x)=ln(l-x)<0,xf(x)<0；当xVO时，f(x)=ln(l-x)>0,xf(x)<0

故即证x+f(x)>xf(x),x+ln(l-x)-xln(l-x)>0

令l-x=t(t>0且t*l),x=l-t,即证l-t+lnt-(l-t)lnt>0

令f(t)=l-t+lnt-(1-t)Int,

则f'(t)=-l--[(-l)lnt+]=-l++lnt-=lnt

1£-£1£-£

tttt

所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故f(t)>f(1)=0,得证。

【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】(1)先对函数y=xf(x)求导：[xf(x)r=x午(x)+xF(x),因为x=0是方程的根,代入求得a

值。

(2)首先由(1)写出函数f(x),并求其定义域,将问题转化为证明x+f(x)>xf(x),即证：x+ln(l-x)-xln(l-x)

>0,然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。

21.己知抛物线Cx2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求P；

(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.

△

【答案】(1)解：焦点到,,的最短距离为，所以p=2.

F(0,px*y+4)2=lB+3=4

(2)抛物线，设A(xi,yi),B(X2，yz),P(xo,yo),则

—12

y-4X

+Xx

lP4=y=-xi(x-Xi)yi=2i^-；i=三户一九

lPB-y=^2x-y2X。-vo%。

,都过点P(x0,yo),则故，即

IPA^yo—2X^XP—yijiAb：y。=_yy=£%o%-y。

yo=£x2x。一y2j

联立，得，.

4

P'=：xo%-y。x'_2xox+4yo=0A=xo-16y0

x』y

所以=,___,____，3，，，所以

-------J4+2.J2-4c,-口―

2_1±£uVTTxOVXO-。dP-AB——

oyo、用+4