2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题2圆锥曲线的方程与几何性质小题考法3圆锥曲线的综合问题

小题考法3圆锥曲线的综合问题(1)(2023·高州二模)若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则eq\f(|PM|,|PQ|)＝()A．2B．eq\f(1,2)C．4D．eq\f(1,4)(2)(2023·茂名一模)已知直线x＝2m与双曲线C：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)交于A，B两点(A在B的上方)，A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若△BDE的内心到y轴的距离不小于eq\f(3,2)m，则双曲线C的离心率取值范围是____________．解析：(1)如图，连接PF1，PF2，设P到x轴距离为dP，M到x轴距离为dM，则eq\f(|MQ|,|PQ|)＝eq\f(dM,dP)＝eq\f(S△MF1F2,S△PF1F2)，设△PF1F2内切圆的半径为r，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|r＝eq\f(1,2)·2c·r＝cr，S△MF1F2＝S△PF1F2＋S△MPF1＋S△MPF2＝eq\f(1,2)|F1F2|r＋eq\f(1,2)r(|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(1,2)·2c·r＋eq\f(1,2)r·2a＝(c＋a)r所以eq\f(|MQ|,|PQ|)＝eq\f(dM,dP)＝eq\f(S△MF1F2,S△PF1F2)＝eq\f(（c＋a）r,cr)＝eq\f(c＋a,c)，不妨设|PQ|＝cm，则|MQ|＝(c＋a)m(m>0)，所以|PM|＝|MQ|－|PQ|＝am(m>0)，因为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(|PM|,|PQ|)＝eq\f(am,cm)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,e)＝2，故选A.(2)因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以A(2m，eq\r(3)n)，B(2m，－eq\r(3)n)，则|AB|＝2eq\r(3)n.因为A是线段BD的中点，又EA⊥y轴，所以EA⊥BD，|ED|＝|EB|，所以△BDE的内心G在线段EA上．因为DG平分∠ADE，所以在△ADE中，eq\f(|DA|,|DE|)＝eq\f(|GA|,|GE|)，设|EG|＝d，所以eq\f(2\r(3)n,\r(（2m）2＋（2\r(3)n）2))＝eq\f(2m－d,d)＝eq\f(2m,d)－1，因为G到y轴的距离不小于eq\f(3,2)m，所以eq\f(3,2)m≤d<2m，所以eq\f(2\r(3)n,\r(（2m）2＋（2\r(3)n）2))≤eq\f(1,3)，所以eq\f(n2,m2)≤eq\f(1,24)，故1<e＝eq\r(1＋（\f(n,m)）2)≤eq\f(5\r(6),12).答案：(1)A(2)(1，eq\f(5\r(6),12)]圆锥曲线综合问题四个注意点(1)注意定义的巧妙运用．(2)引入参数，构建直线与圆锥曲线的方程组，设而不求，韦达定理．(3)注意利用好直线、圆的几何性质．(4)注意把握几何关系和代数关系之间的转换．1．(多选题)(2023·广州三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的下、上焦点分别是F1，F2，渐近线方程为y＝±2x，P为双曲线E上任意一点，PQ平分∠F1PF2，且F1Q⊥PQ，|OQ|＝2，则()A．双曲线E的离心率为eq\f(\r(5),2)B．双曲线E的方程为y2－4x2＝1C．若直线PF1与双曲线E的另一个交点为H，M为PH的中点，则kOM×kPH＝eq\f(1,4)D．点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(4,5)解析：因为渐近线方程为y＝±2x，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，即eq\f(a,b)＝2，得a＝2b，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\r(\f(5,4))＝eq\f(\r(5),2)，故A正确．设P位于双曲线下支上一点，延长PF2，F1Q交于G，因为PQ平分∠F1PF2，且F1Q⊥PQ，所以△F1QP≌△GPQ，即|QF1|＝|GQ|，|PG|＝|PF1|，即OQ是△F1F2G的中位线，|PF1|－|PF2|＝|PG|－|PF2|＝|GF2|＝2a，因为|OQ|＝eq\f(1,2)|GF2|＝a，|OQ|＝2，所以a＝2，又a＝2b＝2，所以b＝1，即双曲线的方程为eq\f(y2,4)－x2＝1，故B错误．设H(x1，y1)，P(x2，y2)，中点M(x，y)，则x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)，则eq\f(yeq\o\al(2,1),4)－xeq\o\al(2,1)＝1，①eq\f(yeq\o\al(2,2),4)－xeq\o\al(2,2)＝1，②两式作差得eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),4)＝xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)，即eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝(x1－x2)(x1＋x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4×2x,2y)＝eq\f(4,\f(y,x))，即kPH＝eq\f(4,kOM)，即kPHkOM＝4，故C错误．两条渐近线方程为2x＋y＝0或2x－y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积eq\f(|2x2＋y2|,\r(5))·eq\f(|2x2－y2|,\r(5))＝eq\f(|4xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)|,5)，因为eq\f(yeq\o\al(2,2),4)－xeq\o\al(2,2)＝1，所以yeq\o\al(2,2)－4xeq\o\al(2,2)＝4，则eq\f(|4xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)|,5)＝eq\f(|－4|,5)＝eq\f(4,5).故点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(4,5)，故D正确．故选AD.答案：AD2．(多选题)(2023·佛山模拟)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是()A．∠OMB的最大值为eq\f(π,4)B．若点A(5，3)，则|PA|＋|PF|的最小值为5C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMCD．若点C在抛物线准线上的射影为D，则存在λ∈R，使得eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))解析：对于A，设直线MB的方程为x＝－1＋my，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my＋4＝0，当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．由Δ＝16m2－16＝0，即m＝±1，直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值eq\f(π,4)，故A正确；对于B，设A(5，3)，A在准线x＝－1上的射影为A′(－1，3)，设P到准线的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝6，当且仅当A，P，A′三点共线时等号成立，故B错误；对于C，M(－1，0)，设直线BC的方程为x＝ny＋1，代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，设B(eq\f(yeq\o\al(2,1),4)，y1)，C(eq\f(yeq\o\al(2,2),4)，y2)，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，则kMB＋kMC＝eq\f(y1,\f(yeq\o\al(2,1),4)＋1)＋eq\f(y2,\f(yeq\o\al(2,2),4)＋1)＝eq\f(（y1＋y2）（\f(y1y2,4)＋1）,（\f(yeq\o\al(2,1),4)＋1）（\f(yeq\o\al(2,2),4)＋1）)＝0，故MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC.故C正确；对于D，由C的分析可知D(－1