2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题1概率与统计小题考法3相互独立事件与条件概率

小题考法3相互独立事件与条件概率(1)(2023·深圳龙岗区校级二模)已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件Ai为第一次取出的球为i号，事件Bi为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是()A．P(B3|A3)＝eq\f(1,6)B．P(A3)＝eq\f(1,4)C．P(B3)＝eq\f(13,48)D．P(A3B3)＝eq\f(1,24)(2)(2023·江门一模)衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,9)解析：(1)由题意得，P(A3)＝eq\f(1,4)，P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(11,48)，P(A3B3)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(B3|A3)＝eq\f(P（A3B3）,P（A3）)＝eq\f(\f(1,24),\f(1,4))＝eq\f(1,6)，故ABD正确，C错误．故选C.(2)从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(27,35)，又P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(24,35)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(8,9)，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为eq\f(8,9).故选D.答案：(1)C(2)D1．条件概率：(1)套用条件概率公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，需注意哪个事件为条件．(2)通过缩小样本空间求解．2．独立事件：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A、B相互独立．1．(2023·惠州模拟)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是()A．P(B|A1)＝eq\f(10,21)B．P(C|A2)＝eq\f(4,7)C．P(B)＝eq\f(19,42)D．P(C)＝eq\f(43,84)解析：由题意知，甲罐有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球、2个白球，分别用A1、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”“两球为一红一白”的事件，P(B|A1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，故A正确．P(C|A2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(4×3,21)＝eq\f(4,7)，故B正确．因为P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，P(B|A1)＝eq\f(10,21)，P(B|A2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7)，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(10,21)＋eq\f(3,8)×eq\f(2,7)＝eq\f(17,42)，故C不正确．因为P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，P(C|A1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(C|A2)＝eq\f(4,7)，所以P(C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)·P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(10,21)＋eq\f(3,8)×eq\f(4,7)＝eq\f(43,84)，故D正确．故选C.答案：C2．(2023·佛山南海区校级模拟)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A．P(B|A2)＝eq\f(4,11)B．事件A1与事件B相互独立C．P(A3|B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(3,10)解析：由题意得P(B|A2)＝eq\f(3,3＋3＋4＋1)＝eq\f(3,11)，所以A错误；因为P(B|A1)＝eq\f(4,11)，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(3,11)＋eq\f(5,10)×eq\f(3,11)＝eq\f(3,10)，所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)