2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题2统计案例大题考法3非线性回归方程

大题考法3非线性回归方程(2023·江门一模)某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．x123456y0.511.53612z＝lny－0.700.41.11.82.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx＋a和②y＝edx＋c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；(注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数)(2)根据下表中数据，用相关指数R2(不必计算，只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？经验回归方程残差平方和y＝bx＋ay＝edx＋ceq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)218.290.65参考公式及数据：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2),eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)),R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－eq\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,n,)yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)eq\i\su(i＝1,6,)xizi＝－1×0.7＋2×0＋3×0.4＋4×1.1＋5×1.8＋6×2.5＝28.9，e3.4＝30.解析：(1)由题可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12)＝4，eq\i\su(i＝1,6,)xiyi＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6＋6×12＝121,eq\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(121－6×4×3.5,91－6×3.52)≈2.11，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝4－2.11×3.5≈－3.4，方案①回归方程y＝2.1x－3.4，对y＝edx＋c两边取对数得：lny＝dx＋c，令z＝lny，z＝dx＋c是一元线性回归方程，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5)＝0.85，d＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)eq\f(28.9－6×3.5×0.85,91－6×3.52)≈0.63，c＝eq\o(z,\s\up6(－))－deq\o(x,\s\up6(－))＝0.85－0.63×3.5≈－1.4，方案②回归方程y＝e0.6x－1.4.(2)方案①相关指数Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(18.29,\i\su(i＝1,n,)yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)，方案②相关指数Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(0.65,\i\su(i＝1,n,)yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)，Req\o\al(2,1)＜Req\o\al(2,2)，故模型②的拟合效果更好，精度更高，当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量y＝e4.8－1.4＝e3.4＝30(千件).,,解答非线性回归方程问题时，变量置换是关键，即将非线性回归问题转化为线性回归问题．,,,(2023·广州二模)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：eq\o(x,\s\up6(－))＝6.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝70，3，eq\i\su(i＝1,10,)eq\f(1,xi)＝3,eq\i\su(i＝1,10,)eq\f(1,xeq\o\al(2,i))＝1.6，eq\i\su(i＝1,10,)eq\f(yi,xi)＝350.(1)根据散点图可知，可用函数模型y＝eq\f(b,x)＋a拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；(2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m＝－eq\f(y2,500)＋eq\f(2y,25)＋eq\f(200,y－10)＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？(注：年利润＝年销售额－年投入成本)参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)uiui－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)u2i－n\o(u,\s\up6(－))2),eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解：(1)令u＝eq\f(1,x)，则y关于u的线性回归方程为y＝α＋βu，,由题意可得eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)uiyi－10\o(u,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ueq\o\al(2,i)－10\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(350－210,1.6－0.9)＝200，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝70－200×0.3＝10，则y＝10＋200u，所以，y关于x的回归方程为y＝10＋eq\f(200,x).(2)由y＝10＋eq\f(200,x)可得x＝eq\f(200,y－10)，年利润M＝m－x－