2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题一三角函数与平面向量微专题1三角函数与解三角形小题考法5正余弦定理及其应用

小题考法5正、余弦定理及其应用(1)(2023·深圳福田区校级模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝2B.若b＝2，c＝1，则a＝__________；若b＋c＝a，则B＝________．(2)(2023·山东模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，若b2＝2a2＋c2，则△ABC面积的最大值为()A．2B．eq\f(3,4)C．1D．eq\f(3,2)解析：(1)△ABC中，A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理、余弦定理得a＝2b×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，化简得a2－b2＝bc，因为b＝2，c＝1，所以a＝eq\r(6)；若b＋c＝eq\r(3)a，A＝2B，显然B为锐角，由正弦定理得sinB＋sinC＝eq\r(3)sinA，所以sinB＋sin(π－3B)＝eq\r(3)sin2B，所以sinB＋sin3B＝eq\r(3)sin2B，即sinB＋sin(B＋2B)＝eq\r(3)sin2B，所以sinB＋sinBcos2B＋sin2BcosB＝eq\r(3)sin2B，即sinB＋sinB(2cos2B－1)＋2sinBcos2B＝2eq\r(3)sinBcosB，所以4cos2B＝2eq\r(3)cosB，因为cosB>0，所以cosB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,6).(2)因为b2＝2a2＋c2，所以在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(a,2c)，B∈(0，π)，所以sinB＝eq\r(1－\f(a2,4c2))＝eq\f(\r(4c2－a2),2c)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a\r(4c2－a2),4)＝eq\f(\r(9a2（4c2－a2）),12)≤eq\f(1,12)×eq\f(9a2＋4c2－a2,2)＝eq\f(1,12)×eq\f(4（2a2＋c2）,2)＝eq\f(3,2)，当且仅当4c2－a2＝9a2，即a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5)时等号成立，故△ABC面积的最大值为eq\f(3,2).故选D.答案：(1)eq\r(6)eq\f(π,6)(2)D1．正(余)弦定理是角边互化的桥梁，同时注意等式(不等式)两边须齐次．2．三角形面积公式常常选择与已知角相关的公式代入．3．最值问题常常和三角函数或基本不等式相结合．1．(2023·广州天河区三模)在△ABC中，点D在边BC上，AB＝eq\r(6)，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，则AC的长为________．解析：作AE⊥BD交BD于E，因为AB＝eq\r(6)，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，所以AE＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(3)，则AD＝eq\f(AE,sin60°)＝2，所以AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19，所以AC＝eq\r(19).答案：eq\r(19)2．(2023·济南三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米．解析：由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝eq\f(1,2)CD＝300，BC＝eq\f(\r(3),2)CD＝300eq\r(3)，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(CD,sin60°)，所以AC＝eq\f(600,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝200eq\r(6)，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200eq\r(6