2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题一三角函数与平面向量微专题3平面向量小题考法2平面向量的数量积及其应用

小题考法2平面向量的数量积及其应用(1)(2023·广州二模)已知两个非零向量a，b满足|a|＝3|b|，(a＋b)⊥b，则cos〈a，b〉＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)(2)(2023·深圳模拟)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2eq\r(3)，且a⊥(a＋b)，则b在a方向上的投影向量为()A．3B．－3C．－3aD．－a(3)(多选题)(2023·揭阳模拟)在边长为1的正六边形ABCDEF中，P为边AF上的动点，Q为边BC上的一个动点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))的值可以为()A．－eq\f(\r(3),2)B．1C．eq\f(\r(3),2)D．2解析：(1)设〈a，b〉为θ，(a＋b)⊥b，则(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，因为|a|＝3|b|，所以|a||b|cosθ＋|b|2＝0，即3|b|2cosθ＋|b|2＝0，解得cosθ＝－eq\f(1,3).故选D.(2)因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝0，因为|a|＝3，所以a·b＝－9，则b在a方向上的投影向量为：|b|cos〈a，b〉·eq\f(a,|a|)＝|b|·eq\f(a·b,|a|·|b|)·eq\f(a,|a|)＝eq\f(a·b,|a|2)·a＝－a.故选D.(3)建立平面直角坐标系，如图所示：因为AB＝1，所以AE＝eq\r(3)，A(0，0)，B(1，0)，C(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，F(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，E(0，eq\r(3))，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1，y2∈[0，eq\f(\r(3),2)]，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，由平面向量数量积的运算可得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(3)(y2－y1)，因为y1，y2∈[0，eq\f(\r(3),2)]，所以y2－y1∈[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]，所以eq\r(3)(y2－y1)∈[－eq\f(3,2)，eq\f(3,2)]，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))的取值范围是[－eq\f(3,2)，eq\f(3,2)]．故选ABC.答案：(1)D(2)D(3)ABC以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算．(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决．1．(2023·高州一模)已知向量a＝(－3，1)，b＝(m，m＋2)，若a⊥b，则|a＋b|＝()A．2B．3C．4D．2eq\r(5)解析：已知向量a＝(－3，1)，b＝(m，m＋2)，因为a⊥b，所以(－3)×m＋1×(m＋2)＝0，所以m＝1，则a＋b＝(－2，4)，则|a＋b|＝eq\r(（－2）2＋42)＝2eq\r(5)，故选D.答案：D2．(2023·清远清新区模拟)已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥eq\f(\r(3),2)恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为()A．[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]B．[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]C．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]D．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]解析：依题意，(xa＋b)2≥eq\f(3,4)，所以x2a2＋2xa·b＋b2≥eq\f(3,4)，即x2＋2xcosθ＋eq\f(1,4)≥0恒成立，则Δ＝4cos2θ－1≤0，解得－eq\f(1,2)≤cosθ≤eq\f(1,2)，故a，b的夹角的取值范围是[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]．故选B.答案：B3．(2023·广东二模)已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝eq\f(π,4)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的最大值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)解析：由圆O是△ABC的外接圆，且A＝eq\f(π,4)，故OB⊥OC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉，故eq\o(OA,\s\up6(→))，e