专题11.9“A字”模型经典问题特殊训练（重难点培优）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题11.9“A字”模型经典问题特殊训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：一．选择题（共6小题）1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【分析】如图，根据题意可知∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．【解析】解：如图．∵△ABC为直角三角形，∠B＝90°，∴∠BNM+∠BMN＝90°，∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，∴∠1+∠2＝270°．故选：C．【点评】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN．2．如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【答案】B【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABE的度数，再根据三角形的内角和定理的推论进行求解．【解析】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP＝90°，∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．3．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【解析】解：A．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故A不符合题意．B．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故B不符合题意．C．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故C符合题意．D．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠ADE＝∠B，由DF∥AC，得∠A＝∠FDB，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠C+∠A＝180°，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．4．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（）A．50° B．65° C．90° D．130°【答案】A【分析】根据题意，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，可知，∠3﹣∠2＝180°﹣∠1，∠1已知，即可得出答案．【解析】解：根据题意，∠3﹣∠2＝180°﹣∠1，且∠1＝130°，即得∠3﹣∠2＝50°．故选：A．【点评】本题主要考查的是三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，要求能够灵活使用．5．如图，已知四边形ABCD中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【分析】运用内外角之间的关系可得∠1+∠2＝270°．【解析】解：∵三角形的内角和等于180°，∴可得∠1和∠2的邻补角等于90°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣90°＝270°．故选：C．【点评】本题运用了三角形的内外角之间的关系和三角形的内角和等于180°的知识点．6．如图，已知△ABC为等边三角形，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A．120° B．135° C．240° D．315°【答案】C【分析】因∠1和∠BDE组成了平角，∠2和∠BED也组成了平角，平角等于180°，∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED），又三角形的内角和是180°，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，再代入上式即可．【解析】解：如图，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B，＝180°﹣60°，＝120°，∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED），＝360°﹣120°，＝240°．故选：C．【点评】本题考查了学生三角形内角和是180°和平角方面的知识．关键是得出∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED）．二．填空题（共10小题）7．如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B＝16°，∠C＝42°，则∠P＝13°．【答案】13．【分析】本题求∠P的度数需构造三角形，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和表示角同时根据内角和定理进而作答．【解析】解：延长CO交AB于点D，OC与AP交于点E，根据三角形的外角的性质，∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP则∠COP＝29°+∠BAP，根据三角形的内角和定理，∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，故答案为：13．【点评】本题考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，解题的关键是构造三角形并根据等量变换进行计算．8．如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为60°．【答案】60°．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．【解析】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．9．如图，在三角形纸片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝50°，则∠2的度数为30°．【答案】30°．【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．【解析】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣330°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．10．如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．【答案】280．【分析】根据三角形内角和定理可得，∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，计算即可得出答案．【解析】解：∵∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，∴∠1+∠2＝140°，∠3+∠4＝140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝140°+140°＝280°．故答案为：280．【点评】本题主要考查了三角形内角和，熟练掌握三角形内角和定理进行进行求解是解决本题的关键的关键．11．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝55度．【答案】55．【分析】利用三角形及四边形内角和定理即可解答．【解析】解：∵1+∠2＝235°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣235°＝125°，故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣125°＝55°．故答案为：55．【点评】本题比较简单，利用三角形及四边形内角和定理即可解答．12．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△BCF＝2cm2，则S△ABC＝8cm2．【答案】8．【分析】由三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，利用同样方法得到S△EBC=12S△ABC，S△BCF=【解析】解：如图，连接BE，∵E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12∴S△ABE+S△ACE=12S△ABD+12S△ACD=12（S△ABD+S△ACD∴S△CBE=12S△∵F是CE的中点，∴S△FBC=12S△EBC=14而S△BCF＝2cm2，∴S△ABC＝8cm2．故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决本题的关键．13．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，∠1+∠2＝214°，则∠A＝34度．【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度数或者∠B+∠C的度数即可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题．【解析】解：方法一：∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°∵∠1+∠2＝214°∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形内角和定理）∴∠A＝180°﹣146°＝34°方法二：∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四边形内角和为360°）∠1+∠2＝214°∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）∴∠A＝180°﹣146°＝34°【点评】本题是有关三角形角的计算问题．主要考查三角形内角和定理的应用和计算，找到∠A所在的三角形是关键．同时对邻补角的定义和四边形的内角和360°都有所涉及，对学生的推演能力有一定要求．14．如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为60°．【答案】见试题解答内容【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【解析】解：如图∵∠1+∠4＝180°，∠1＝120°，∴∠4＝60°，∵∠3＝∠2+∠4，∴∠3﹣∠2＝∠4＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．15．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝m22022【答案】m2【分析】根据角平分线的性质可得∠A1CD=12∠ACD，∠A1BD=12∠ABC，再根据外角的性质可得∠A1=12【解析】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BD=1∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD=12∠ACD∠-12∠ABC同理可得∠A2=12∠A1=(1∴∠A2022=(12)∵∠A＝m°，∴∠A2022=m故答案为：m2【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出∠A1和∠A之间的规律是解题的关键．16．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+12α；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=60°+23α；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1，O2，…，On﹣1，如图（3），则∠【答案】(n-1)αn【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB），在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解析】解：在△ABC中，∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵On﹣1B和On﹣1C分别是∠B、∠C的n等分线，∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=n-1n（∠ABC+∠ACB）=n-1n（∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°-n-1n（180°﹣α）故答案为：(n-1)αn【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．如图，D、E、F、G是△ABC边上的点，DE∥BC，∠1＝∠2．求证：DG∥FC．【答案】见解析．【分析】先由DE∥BC得∠AED＝∠ACB，再利用三角形的外角性质证明∠AGD＝∠ACF即可．【解析】证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠AGD＝∠AED﹣∠1，∠ACF＝∠ACB﹣∠2，∠1＝∠2，∴∠AGD＝∠ACF，∴DG∥FC．【点评】本题主要考查了平行线的性质及判定、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．18．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠2＝35°，∠4＝65°，求∠ADB的度数．【答案】解析见解答，结果为105°．【分析】首先利用角平分线的性质求出∠1与∠BAC的关系，然后利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠1，最后利用三角形的内角和定理即可求出结果．【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠DAC=12∠∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∠2＝35°，∠4＝65°，∴∠BAC＝80°，∴∠1＝40°，∴∠ADB＝180﹣∠1﹣∠2＝105°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，同时也利用了角平分线的性质，比较简单．19．如图，点A、B、C、D是平面内四个点．连接AB、AC、BD、CD．（1）如图1，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如图2，若BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，求∠A的度数．（用m，n表示）【答案】（1）证明：∠BDC＝∠A+∠B+∠C，见解析；（2）2n°﹣m°．【分析】（1）由三角形的外角性质，即可证明；（2）由（1）的结论，即可求解．【解析】（1）证明：延长BD交AC于E，∵∠DEC＝∠A+∠B，∠BDC＝∠DEC+∠C，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，（2）解：∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠DBG＝∠ABF，∠DCG＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BGC+∠DBG+∠DCG，∴∠DBG+∠DCG＝∠BDC﹣∠BGC＝m°﹣n°，∴∠ABF+∠ACE＝∠DBG+∠DCG＝m°﹣n°，∵∠BGC＝∠A+∠ABF+∠ACE，∴∠A＝∠BGC﹣（∠ABF+∠ACE），∴∠A＝n°﹣（m°﹣n°）＝2n°﹣m°．【点评】本题考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．探究题（1）如图1，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）把图1中△ABC沿DE折叠，得到图2，填空：∠1+∠2＝∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝30°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝300°．（3）如图2，是由图1的△ABC沿DB折叠得到的，如果∠A＝40°，则∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝80°，猜想：∠BDA+∠CEA与∠A有什么关系？为什么？【答案】（1）见解析；（2）＝，300°；（3）80°，∠BDA+∠CEA＝2∠A．【分析】（1）根据三角形的内角和定理可知∠1+∠2＝∠B+∠C．（2）利用三角形内角和定理解决问题即可．（3）如图，延长BD交CE的延长线于A′．利用三角形的外角的性质证明即可得出结论：∠BDA+∠CEA＝2∠A．【解析】解：（1）结论：∠1+∠2＝∠B+∠C．理由：根据三角形内角是180°，可知：∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝∠B+∠C．（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED＝∠B+∠C+∠BDE+∠CED＝360°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C；当∠A＝30°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝150×2＝300°；（3）∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°﹣2×140°＝80°，如图，延长BD交CE的延长线于A′．∵∠BDA＝∠DA′A+∠DAA′，∠AEC＝∠EA′A+∠EAA′，∠DA′E＝∠DAE，∴∠BDA+∠AEC＝2∠DAE，∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA＝2∠A．故答案为：（2）＝，300°；（3）80°．∠BDA+∠CEA＝2∠A．【点评】本题考查图形的翻折变换和三角形，四边形内角和定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．21．探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于CA.90°B.135℃.270°D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝220°（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是∠1+∠2＝180°+∠A（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．【解析】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案为：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．22．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【答案】（1）15°；（2）12（β﹣α【分析】（1）首先利用已知条件求出∠ADE的度数，然后利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）首先利用已知条件求出∠ADE的度数，然后利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．【解析】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-12（α+∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°-12（α+∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=12（β﹣【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．23．旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝50°；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°-12∠A拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．【解析】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=12（180°在△PBC中，∠P＝180°-12（180°+∠A）＝90°-1即∠P＝90°-12∠故答案为：50°，∠P＝90°-12∠（4）延长BA、CD于Q，则∠P＝90°-12∠∴∠Q＝180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，＝180°+180°﹣2∠P，＝360°﹣2∠P．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相