新教材适用2024版高考物理二轮总复习第1部分核心主干复习专题专题1力与运动第5讲万有引力与天体运动题型1天体质量和密度的计算教师用书

第5讲万有引力与天体运动必备知识”解读卫星的发射、运行在地面附近静止忽略自转：Geq\f(Mm,R2)＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式)考虑自转两极：Geq\f(Mm,R2)＝mg赤道：Geq\f(Mm,R2)＝mg0＋mω2R卫星的发射第一宇宙速度：v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s(天体)卫星在圆轨道上运行Geq\f(Mm,r2)＝Fn＝越高越慢，只有T与r变化一致“关键能力”构建1.处理变轨问题的两类观点力学观点：从半径小的轨道Ⅰ变轨到半径大的轨道Ⅱ，卫星需要向运动的反方向喷气，加速离心；从半径大的轨道Ⅱ变轨到半径小的轨道Ⅰ，卫星需要向运动的方向喷气，减速近心。能量观点：在半径小的轨道Ⅰ上运行时的机械能比在半径大的轨道Ⅱ上运行时的机械能小．在同一轨道上运动卫星的机械能守恒，若动能增加则引力势能减小。2.双星问题(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。题型1天体质量和密度的计算〔对点训练〕1.(2023·四川统考二模)中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为h，运行周期为T，地球半径为R，引力常量为G，由此可得到地球的平均密度为(C)A.eq\f(3π,GT2) B．eq\f(4π,GT2)C.eq\f(3πR＋h3,GT2R3) D．eq\f(3π2R－h3,GT2R3)【解析】中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)；可求得地球的质量M＝eq\f(4πR＋h3,GT2)；地球可近似看作球体，根据密度的定义式得ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R＋h3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)，故选C。2.(2023·安徽统考二模)2022年11月3日，随着空间站梦天实验舱顺利完成转位，中国空间站天和核心舱、问天实验舱与其相拥，标志着中国空间站“T”字基本构型在轨组装完成。已知空间站绕地球做匀速圆周运动周期为T，空间站中某宇航员质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响。下列说法中正确的是(B)A．宇航员在空间站中所受的重力大小为mgB．空间站绕地球转动的线速度大小v＝eq\r(3,\f(2πgR2,T))C．空间站离地面的高度h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))D．地球的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT2)【解析】地球表面重力加速度为g，对地球表面的物体，则有Geq\f(Mm′,R2)＝m′g；GM＝gR2；已知空间站绕地球做匀速圆周运动周期为T，设空间站距离地球表面的高度为h，对空间站中的宇航员，由万有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)；(R＋h)3＝eq\f(GMT2,4π2)＝eq\f(gR2T2,4π2)；则有宇航员在空间站中所受的重力大小为F＝Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(gR2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(gR2T2,4π2))))2)＝mgR2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(4π2,gR2T2))))2，A错误；空间站绕地球转动的线速度大小为v＝ω(R＋h)＝eq\f(2π,T)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))＝eq\r(3,\f(2πgR2,T))，B正确；由(R＋h)＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))；可得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，C错误；由GM＝gR2；可得M＝eq\f(gR2,G)；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(gR2,G\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，D错误。3.(2023·辽宁朝阳二模)地球密度分布并不均匀，以地核和地幔分界面为界，可认为内外两部分密度均匀，地核的平均密度约为地幔平均密度的3倍，核幔分界面近似在地表下eq\f(R,2)处，R为地球半径。已知质量均匀分布的球壳对内部引力处处为0，地表附近重力加速度为g。核幔分界面处重力加速度约为(C)A．0.6g B．0.9gC．1.2g D．1.8g【解析】在核幔分界面处，根据万有引力等于重力Geq\f(M1m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝mg1；其中M1＝ρ1eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3；联立可得g1＝Geq\f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(ρ1\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)在地球表面处，根据万有引力等于重力Geq\f(M1＋M2m,R2)＝mg；其中M1＋M2＝ρ1eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3＋ρ2eq\f(4,3)πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(R3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3))联立可得g＝Geq\f(M1＋M2,R2)＝Geq\f(ρ1\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3＋ρ2