电路第十三章：拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换内容提要

本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理），还将介绍KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。目录§13—1拉普拉斯变换的定义§13—2拉普拉斯变换的基本性质§13—3拉普拉斯反变换的部分分式展开§13—4运算电路§13—5应用拉普拉斯变换法分析线性电路§13—1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学变换。定义：F(s)=f(t)e–stdt

0–

拉普拉斯正变换f(t)=F(S)estds2j1

+j

–j拉普拉斯反变换S=+jf(t)原函数F(s)象函数拉氏正变换拉氏反变换以一对应简写符号F(s)=L[f(t)]f(t)=L–1[F(s)]例：解：F(s)=f(t)e–stdt

0–

1.F(s)=L[(t)]=(t)e–stdt

0–

=e–stdt

0–

=1s=–

e–st1s

0–2.F(s)=L[(t)]=(t)e–stdt

0–

=(t)dt

0–0+=1计算下列原函数的象函数；1.f(t)=(t)2.f(t)=(t)3.f(t)=e–t

(t)

4.

f(t)=t(t)3.F(s)=L[e–t

(t)]=e–t

e–stdt

0–

0–=–+s1e–(+s)t=+s14.F(s)=L[t(t)]=te–stdt

0–

=–[te–st

]1s

0–

–e–stdt

0–

=1s2同理：

F(s)=L[tn

(t)]=n

Sn+1§13—2拉普拉斯变换的基本性质若：L[f1(t)]=F1(s)L[f2(t)]=F2(s)则：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)证：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=[A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt

0–

=A1f1(t)e–stdt+A2f2(t)e–stdt

0–

=A1f1(t)e–stdt+A2f2(t)e–stdt

0–

0–

=A1F1(s)+A2F2(s)一、线性性质例：计算下列原函数的象函数；1、常数U2、A(1–e–t)3、sint解：1、L[U]2、L[A(1–e–t)]

3、L[sint]=s2+

2

=L[A]–L[Ae–t]

As(s+)=AsAs+

=–=L[U(t)]Us=12j12j=L[ejt–e–jt]12js–j

1–12js+j

1=同理：L[cost]=s2+

2s二、(时域)微分性质设：L[f(t)]=F(s)则：L[f(t)]=sF(s)–f(0–)证：L[f(t)]=

0–

df(t)dte–stdt=

0–

e–stdf(t)=e–stf(t)–f(t)(–s)e–stdt

0–

0–

=–f(0–)+sf(t)e–stdt

0–

=sF(s)–f(0–)

导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以s再减去初始值的代数运算。推广：L[f(t)]=s2F(s)–sf(0–)–f

(0–)L[fn(t)]=snF(s)–sn–1f(0–)–sn–2f

(0–)……f(n–1)(0–)例：(t)RCuC求：uc(t)的冲击相应解：cducdt+uc=(t)1R等式两边进行拉普拉斯变换L[c]+L[uc]=L[(t)]ducdt1RscUC(s)–Cuc(0–)+UC(s)=11R(sc+

)UC(s)=11RUC(s)=sc+1Rsc+1=1Cs+1RC1进行拉氏反变换uc(t)=L–1[

]1Cs+1RC11C=

e–

t三、(时域)积分性质设：L[f(t)]=F(s)则：L[f(

)d(

)]=

0–tF(s)s

积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算转换为复频域中象函数除以s的代数运算。证：ddt

0–tf(

)d(

)=f(t)两边进行拉氏变换ddt

0–tf(

)d(

)L[

]=L[f(t)]根据导数性质因此：L[f(

)d(

)]=

0–tF(s)ssL[f(

)d(

)]–f(

)d(

)=F( s)

0–t

0–tt=0=0四、(时域平移)延迟性质tf(t)时域平移tf(t–t0)t0设：L[f(t)]=F(s)则：L[f(t–t0)(t–t0)]=e

F(s)–st0例：求单个正弦波的象函数。tf(t)Ttf(t

)Ttf(t

)Tf(t)=sint(t)–sin(t–T)(t–T)F(s)=L[f(t)]–e–sT=s2+

2

s2+

2

s2+

2

=(1–e–sT)五、(频域)导数性质设：L[f(t)]=F(s)则：L[tf(t)]=–dF(s)ds推广：L[tn

f(t)]=(–1)ndnF(s)dsn六、(频域)平移性质设：L[f(t)]=F(s)则：L[e–

tf(t)]=F(s+

)例：求：L[e

tsint]解：

L[tn]=n

sn+1L[tnet]=n

(s–

)n+1例：求：L[tnet]=s2+

2

解：L[sint]L[e–

tf(t)]=

(s–

)2+

2常用函数的拉氏变换表原函数f(t)象函数F(s)原函数f(t)象函数F(s)A(t)Ae–

tcos(t)s+(s+

)2+

2A(t)A/ste–t(s+

)21Ae–ts+

Ats211–e–ts(s+)

sinh(t)s2–

2

sin(t)s2+

2

cosh(t)s2–

2scos(t)s2+

2s(1–t)e–t(s+

)2ssin(t+)s2+

2ssin+cos

t221s31cos(t+)s2+

2scos+sin

tnn！

1sn+11e–

tsin(t)(s+

)2+

2

tne–tn！

1(s+

)n+11§13—3拉普拉斯反变换的部分分式展开f(t)=F(S)estds2j1

+j

–j求：L–1[

](s+

)21解：L–1[

]=ts21L–1[

]=te–t(s+

)21频域平移性质例1：例2：求：L–1[(1–2e–t+e–2t

)/s2]解：L–1[(1–2e–t+e–2t

)/s2]=L–1[–e–t+e–2t

]s21s22s21=t–2(t–

)

(t–

)+(t–2

)

(t–2

)时域平移性质部分分式展开法F(s)一般可以写成关于s的两个多项式之比。F(s)=N(s)D(s)N(s)、D(s)是关于s的多项式

=a0sm+a1sm–1+‥‥‥+am–1s+am

b0sn+b1sn–1+‥‥‥+bn–1s+bn

设：F(s)为有理式(

n>m)=(s–p1)(s–p2)‥‥‥(s–pn)N(s)对分母进行因式分解式中p1、p2、‥‥‥pn为D(s)=0的根，称为F(s)的极点。一、F(s)的极点为各不相等的实数根F(s)=(s–p1)(s–p2)‥‥‥(s–pn)N(s)p1p2

‥‥‥

pnp1、p2‥‥‥pn为实数=++‥‥‥+s–p1k1s–p2k2s–pnkn则：L–1[F(s)]=k1ept+k2ept+‥‥‥+knept1n2如何求k?用(s–p1)乘以上面等式两边(s–p2)‥‥‥(s–pn)N(s)=k1+

(s–p1)+‥‥‥+

(s–p1)s–p2k2s–pnkn令s–p1(s–p2)‥‥‥(s–pn)N(s)k1=s=p1即k1=(s–p1)F(s)s=p1k2=(s–p2)F(s)s=p2kn=(s–pn)F(s)s=pn例1:求:L–1[

]s(s+2)(s+3)S2+2s–2解:F(s)=s(s+2)(s+3)S2+2s–2=++sk1s+2k2s+3k3k1=[

]=–(s+2)(s+3)S2+2s–2S=013k2=[

]=1s(s+3)S2+2s–2S=–213k3=F(s)=–

++131ss+2113s+31L–1[F(s)]=+e–2t+e–3t1313例2:求:L–1[

]s3+6s2+15s+11s2+5s+6解:F(s)=s+1+s2+5s+64s+5=s+1++s+2k1s+3k2=s+1++s+2–3s+37L–1[F(s)]=(t)+(t)–3e–2t+7e–3t二、F(s)有共轭复极点F(s)=(s––j)(s–+j)N(s)=s––j+s–+jk1k2k1=s–+jN(s)s=+j=N(+j)j2=|k1|ej

1k2=s––jN(s)s=–j=N(–j)–j2=|k1|e–j

1k1、k2共轭L–1[F(s)]=L–1[+

]s––j|k1|ej

1s–+j|k1|e–j

1=|k1|ej

1e(+j)t+|k1|e–j

1e(–j)t=|k1|et[ej(+t)+e–j(+t)]11=2|k1|e

tcos(t+1)波形f(t)=2|k1|e

tcos(t+1)tf(t)=0>0tf(t)<0tf(t)例：求：L–1[](s2+2s+5)(s+2)s2+3解：s2+2s+5=(s+1–j2)(s+1+j2)则：=–1=2F(s)=++s+1–j2k1s+1+j2k2s+2k3k1=(s+1+j2)(s+2)s2+3s=–1+j2=–1+j25=0.45ej116.6º则：|k1|=0.45

1=116.6ºs2+2s+5s2+3k3=s=–2=1.4f(t)=0.9e–tcos(2t+116.6º)+1.4e–2t三、F(s)有重极点F(s)=F2(s)(s–p1)mN(s)=s–p1k1m+(s–p1)2k1m–1+……+(s–p1)mk11+……++……k11=[(s–p1)mF(s)]s=p1k12=[(s–p1)mF(s)]dsds=p1k13=

[(s–p1)mF(s)]ds2d2s=p112k1m=

[(s–p1)mF(s)]dsm–1dm–1s=p11(m–1)！

……例：求：L–1[]s(s+1)3s–2解：F(s)=sk1+s+1k23+(s+1)2k22+(s+1)3k21k1=(s+1)3s–2s=0=–2s=–1k21=ss–2=3ss–2k22=[]dsds=–1=s22s=–1=2s=–1k21=12dsd[]s22=2F(s)=s–2+s+12+(s+1)22+(s+1)33L–1[F(s)]=–2+2e–t+2te–t+t2e–t32L[tn]=n

sn+1部分分式展开法的一般步骤：1、若n<m，则先将F(s)化为真分式和多项式之和。2、对真分式的分母进行因式分解，求其极点。3、将真分式展开成部分分式，确定其系数。4、对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。§13—4运算电路一、元件的运算等效电路1、电阻u

iRu=iR时域电路模型两边进行拉氏变换U(s)=I(s)RRU(s)I(s)运算电路模型2、电容Cuii=Cdudt两边进行拉氏变换I(s)=sCU(s)–Cuc(0–)Cuc(0–)I(s)U(s)sC1或：初始状态引起的附加电流源U(s)=

I(s)+sC1suc(0–)–+sC1suc(0–)U(s)I(s)初始状态引起的附加电压源运算电路模型3、电感Luiu=Ldidt两边进行拉氏变换U(s)=sLI(s)–Li(0–)U(s)I(s)sL–+Li(0–)或：I(s)=

U(s)+sL1si(0–)si(0–)I(s)U(s)sL四、受控源u=

iU(s)=I(s)5、含有耦合电感的电路i1L1L2Mi2u2u1L1di1dtu1=+Mdi2dtL2di2dtu2=+Mdi1dtU1(s)=sL1I1(s)–L1i1(0–)+sMI2(s)–Mi2(0–)自感电压

自感附加电压源互感电压

互感附加电压源U2(s)=sL2I2(s)–L2i2(0–)+sMI1(s)–Mi1(0–)电路模型：U1(s)=sL1I1(s)–L1i1(0–)+sMI2(s)–Mi2(0–)U2(s)=sL2I2(s)–L2i2(0–)+sMI1(s)–Mi1(0–)sL1I1(s)U1(s)+–L1i1(0–)+–sMI2(s)+–+–+–I2(s)U2(s)sL2L2i2(0–)sMI1(s)Mi1(0–)sMI1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+–+–L2i2(0–)Mi1(0–)+–L1i1(0–)+–Mi2(0–)Mi2(0–)+–二、运算电路+–2ARCL1L2S1ViL1iL2uC

已知：电路原已达稳态，电容无储存能量，t=0时将开关S合上。试画出运算形式电路图。解：iL1(0+)=iL1(0–)=2AiL2(0+)=iL2(0–)=2AuC(0+)=uC(0–)=0AA2sV1sR+–sL1sL2sC1IL1(s)IL2(s)UC(s)例：2L1–+2L2+–三、运算形式的电路定律线性无源U(s)I(s)=Z(s)U(s)I(s)运算形式欧姆定律Z(s)运算阻抗

基尔霍夫定律的运算形式KCL:I(s)=0KVL:U(s)=0提示：电阻电路的各种分析方法及定理都可以在运算电路中应用。§13—5应用拉普拉斯变换法分析线性电路运算法1、确定iL(0–)、uC(0–)。步骤：2、对uS(t)、iS(t)进行拉普拉斯正变换。3、画出运算形式电路图。4、应用电路分析的方法求出响应的象函数。5、对象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时域解。例1：+–RLCS12(t=0)2Vei(t)2

1H12F

已知：t=0–时，iL(0–)=1A，uC(0–)=1V，t=0时将开关S从12。求：t≥0时i(t)。解：i(t)为二阶电路全响应，应用运算法。V1s2

2s+–+––+V2sI(s)RsLsC1uC(0–)sLiL(0–)s1VI(s)=2+s+s2s2+1–s1=s2+2s+2s+1i(t)=e–tcost(A)进行拉氏反变换响应为欠阻尼震荡衰减。例2：+–10VR1R2L2L1S(t=0)i(t)2

3

0.3H0.1H

已知：电路原已达稳态，求S打开后电路中的电流和电感上的电压。解：iL1(0–)=5AiL2(0–)=0AS闭合后，L1与L2串联，此时iL1(0+)=iL2(0+)，电感中的电流将发生跳变，电路仍为二阶电路，应用运算法。

注意：+––+2

0.3s3

0.1s1.5V10VsI(s)I(s)=2+0.3s+3+0.1s10s+1.5=2s+s+12.51.75+––+2

0.3s3

0.1s1.5V10VsI(s)拉氏反变换i(t)=2+1.75e–12.5tAti3.752i(t)iL1(t)电感中的电流发生跳变，说明电路中必有冲击电压。UL1(s)UL2(s)UL1(s)=0.3sI(s)–1.5=s+12.5–6.6–0.38uL1(t)=–6.6e–12.5t–0.38(t)VUL2(s)=0.1sI(s)=s+12.5–2.2+0.38uL2(t)=–2.2e–12.5t+0.38(t)ViL2(t)续例3：i(t)u(t)CLRiL已知：R=,L=0.2H,C=0.5F,uC(0–)=2V,iL(0–)=3A,i(t)=10sin5t(t)。求：u(t)3.51I(s)U(s)sLR+–+–sC1s20.6解：I(s)=L[10sin5t]=s2+2550列结点方程

(++sC)U(S)=I(s)+–sL1R1sC1s2sL0.6代入数据,整理:U(s)=(s2+25