电工技术课件第6章 相量法

电工技术第6章相量法本章教学内容6.1

正弦量6.2

复数和复指数函数6.3

相量法的基础6.4

电路定律和电路元件的相量形式本章重点内容正弦量的表示、相位差正弦量的相量表示电路定律的相量形式6.1正弦量正弦量正弦电流的瞬时值表达式三要素

振幅（最大值）Im、角频率ω、初相位角频率、频率和周期之间的关系工频6.1正弦量（续1）初相位一般规定：若最大值发生在计时起点右（左）侧，则初相位小（大）于零。6.1正弦量（续2）正弦电压的瞬时值表达式正弦量的性质正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频率正弦量的代数和等运算，其结果仍为同频率的正弦量。正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。6.1正弦量（续3）同频率正弦量的相位差一般规定：同频率正弦量的相位差等于它们初相位之差。当时，称i1超前i2，或称i2滞后i1；当时，称i1滞后i2，或称i2超前i1；当时，称i1和i2反相；当时，称i1和i2同相；6.1正弦量（续4）(a)同相

(b)反相

(c)i1超前于i2(d)i1滞后于i2

6.1正弦量（续5）例1

计算下列两正弦量的相位差。解解解解

两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。

6.1正弦量（续6）正弦量的有效值当i为正弦量6.1正弦量（续7）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。6.2复数和复指数函数复数复数的概念代数形式取实部x，取虚部y共轭复数复数相等6.2复数和复指数函数（续1）复数的代数运算复数的几何表示模6.2复数和复指数函数（续2）辐角显然有辐角的主值范围复数代数和的图解法6.2复数和复指数函数（续3）复数的四种表示形式由欧拉公式，可得极坐标形式三角形式指数形式代数形式6.2复数和复指数函数（续4）设，则复数相乘时，模相乘，辐角相加。复数相除时，模相除，辐角相减。6.2复数和复指数函数（续5）旋转因子

+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。特殊旋转因子6.2复数和复指数函数（续6）例1

解：

例2

解：

6.2复数和复指数函数（续7）复指数函数复指数函数复数复指数函数的性质6.3相量法的基础正弦量用复数表示的思路：正弦量乘以常数、微分、积分，同频率正弦量代数相加，其结果仍为同频率的正弦量。故知，在单一频率的正弦稳态电路中，各支路的电压和电流（稳态响应），都是与激励同频率的正弦量。正弦量由幅值（或有效值）、频率和初相三要素决定，而在正弦稳态电路分析计算中，正弦量的频率是已知的，故求解正弦量的三要素可简化为求解二要素，即幅值（或有效值）和初相。复数也有两要素，即模和幅角，它们与正弦量的二要素有一一对应的关系。于是，正弦量可用复数表示。6.3相量法的基础（续1）相量表示正弦量的复数叫相量。为什么要用相量表示正弦量?为了简化正弦稳态电路的计算，即避免用三角函数进行运算。相量图在复平面上用以表示相量的图，称为相量图。相量法借助于相量和相量图分析正弦稳态电路，可使分析计算大为简化。这种方法称为相量法。6.3相量法的基础（续2）正弦量的相量表示振幅相量

有效值相量

本书如无特别说明，相量一般指有效值相量。

将一个正弦量转换为相量或将一个相量转换为正弦量，称为相量变换。相量正（反）变换。6.3相量法的基础（续3）

相量是一个复数，在复平面上可以用有向线段表示，其中有向线段的长度代表正弦量的有效值（或幅值），有向线段与实轴之间的夹角代表正弦量的初相。

这种表示相量的图形称为相量图。利用相量图可以将电路中的多个电压、电流相量表示在一个相量图中。各电压或电流的相量关系也可以通过相量图直接反映出来。

例如

6.3相量法的基础（续4）例1

已知

试用相量表示i,u。解：例2

已知。试写出电流的瞬时值表达式。解：6.3相量法的基础（续5）相量变换的性质线性性质证明：例3

已知，试求i1+i2。解：6.3相量法的基础（续6）微分性质证明：推广：正弦量对时间的求导运算对应于相量与的乘法运算。

运用相量变换的微分性质和线性性质可使求解常系数线性微分方程在正弦激励下的特解问题转化为复数代数方程的求解问题。

6.3相量法的基础（续7）例4

已知R=2Ω、L=4H、C=1F、。求的特解。解：6.4电路定律和电路元件的相量形式基尔霍夫定律的相量形式KCL的相量形式KVL的相量形式电路元件电压、电流关系的相量形式

设电阻、电感和电容元件的电压、电流均取关联参考方向，并且电压、电流正弦量及其对应的相量分别为

6.4电路定律和电路元件的相量形式（续1）电阻元件电阻的电压、电流关系为

两边作相量正变换，得

显然有

电阻元件电压有效值与电流有效值仍符合欧姆定律，而辐角相等，即电压与电流同相。

6.4电路定律和电路元件的相量形式（续2）

用来表示电路元件相量关系的模型，称为电路元件的相量模型。电阻元件正弦稳态关系如图所示。电感元件6.4电路定律和电路元件的相量形式（续3）电感元件电压有效值与电流有效值之间的关系类似于欧姆定律，在相位上电压超前于电流。

6.4电路定律和电路元件的相量形式（续4）电容元件

电容元件电压有效值与电流有效值之间的关系也类似于欧姆定律，在相位上电流超前于电压。

6.4电