高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A． B．C． D．【答案】B因为双曲线的一条渐近线方程为，则.①又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.2已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】D解：双曲线的渐近线为，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故选：D3已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为A. B.C. D.【答案】B由于C选项的中双曲线的渐近线方程为，不符合题意，排除C选项.将点代入A,B,D三个选项，只有B选项符合，故本题选B.4已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】C双曲线C：中，，，渐近线方程：，因，则点P在线段的中垂线：上，则P点纵坐标y0有，所以面积.故选：C5已知双曲线：，则的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C双曲线的离心率为，因为，所以，即的离心率的取值范围为.故选：C.6若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.3 D.因为为双曲线，所以，化为标准方程为：.由焦距为6可得：，解得：k=1.所以双曲线为.所以双曲线的离心率为.故选：A7已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（）A.8 B.16 C.24 D.【答案】C因为是双曲线左支上的点，所以，．在中，，即，所以，，故的面积为．故选：C．8已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若，则A.1 B.9 C.1或9 D.3或93.B由题意知，所以，所以，所以，所以点Р在双曲线C的左支上，所以，所以.故选B9如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A. B.2C. D.【答案】D连接，依题意知：，，所以.10已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（）A． B． C． D．【答案】A双曲线的焦点在轴上，则；

设，由双曲线的定义可知：，

由题意可得：，

据此可得：，又，∴，

由正弦定理有:,即所以，解得：，所以的周长为：=故选：A11已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】C双曲线C：中，，，渐近线方程：，因，则点P在线段的中垂线：上，则P点纵坐标y0有，所以面积.故选：C12双曲线与的离心率分别为，则必有（）A.B.C.D.【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（）A.双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线B.双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等C.双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等D.双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C的方程为：，则其共轭双曲线的方程为，对于A，双曲线C的准线垂直于x轴，双曲线的准线垂直于y轴，A不正确；对于B，双曲线C和双曲线的半焦距均为：，所以焦距相同，B正确；对于C，由B选项知，双曲线C的离心率为，而双曲线的离心率为，而a，b不一定等，C不正确；对于D，双曲线C和双曲线的渐近线均为，D正确.故选：BD13多选已知双曲线：的离心率为，，分别为的左右焦点，点在上，且，则（）A． B． C． D．【答案】BCD由题意有，可得，可知选项A不正确，而，因为，所以点在的右支上，由双曲线的定义有：，解得，故选项B正确，在中，有，解得，，所以，故选项C，D正确.故选：BCD.多选若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是A．若1＜t＜5，则C为椭图B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5【答案】BD14多选已知双曲线C1：的实轴长是2，右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是(▲)A．双曲线C1的离心率为2eq\r(3)B．抛物线C2的准线方程是x＝－2C．双曲线C1的渐近线方程为y＝±eq\r(3)xD.|AF|＋|BF|＝【答案】BC【解析】由题意可知对于C1：，实轴长为2a=2，即a=1，而C2：y2＝8x的焦点F为（2，0），所以c=2，则双曲线C1的方程为，则对于选项A，双曲线C1的离心率为，所以选项A错误；对于选项B，抛物线C2的准线方程是x＝－2，所以选项B正确；对于选项C，双曲线C1的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以选项C正确；对于选项D，由y2＝8x与联立可得A（3，），B（3，），所以由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝，所以选项D错误，综上答案选BC.14多选分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则（）A. B.双曲线的离心率C.双曲线的焦距为 D.的面积为【答案】ABD在正三角形中，由双曲线的对称性知，，，由双曲线定义有：，因此，，，，即半焦距，则，A正确；双曲线的离心率，B正确；双曲线的焦距，C不正确；的面积为，D正确.故选：ABD15多选已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于A、两点，若，则()A.B.双曲线的离心率C.直线的斜率为D.原点在以为圆心，为半径的圆上【答案】ABC如图：设，则，由双曲线的定义知，，即；，即，∴，即有，故选项A正确；由余弦定理知，在中，，在△中，，化简整理得，，∴离心率，故选项B正确；在△中，，，∴，∴根据双曲线的对称性可知，直线的斜率为，故选项C正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．故选：ABC．16多选已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为B.双曲线与双曲线有相同的渐近线C.若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为D.若直线与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD渐近线的方程为，因为一条渐近线过点，故即，故离心率为，故A错误.又渐近线的方程为，而双曲线的渐近线的方程为，故B正确.若到渐近线的距离为2，则，故，所以双曲线的方程为，故C正确.直线与渐近线的两个交点的坐标分别为：及，故即，而，故，，所以，所以，故焦距为，故D正确.故选：BCD.16多选已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（）A.点P到x轴的距离为 B.C.为钝角三角形 D.【答案】BC由双曲线方程得，，则，由△的面积为20，得，得，即点到轴的距离为4，故错误，将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，则，由双曲线的定义知，则，则，故正确，在△中，，则，为钝角，则△为钝角三角形，故正确，，则错误，故正确的是，故选16双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】(1)双曲线的焦点在轴上，且，渐近线方程为，故渐近线方程为；(2)由双曲线与双曲线具有相同渐近线，可设，代入有，故，化简得.17已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，若，则______.【答案】3抛物线：()的焦点，∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，，，因为，所以，，所以3故答案为：3.若双曲线：的右焦点与抛物线：的焦点重合，则实数（）A. B. C.3 D.-3【答案】D双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以双曲线方程化：，再转化为：，所以，，所以，所以，所以平方得故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，因为，所以的周长，因为的周长的最小值是，，，所以，，双曲线的方程为，当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去），故的坐标为．故答案为：，．18已知双曲线与有相同的渐近线，若的离心率为2，则的离心率为__________.【答案】双曲线的渐近线方程为，的渐近线方程为，由题意可得，由的离心率为2得：，则，所以设的离心率为，则，故，故答案为：19知双曲线，焦点，左顶点，若过左顶点的直线和圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则直线的斜率是_____，双曲线的离心率是_________.【答案】

如图，设圆的圆心为，则圆心坐标，半径为，则，设过左顶点的直线和圆相切于点，连接，则，所以，得，所以直线的斜率是；轴，由双曲线的通径可得，，又，所以，化简得，求解得.故答案为：；已知双曲线C：﹣y2＝1．（Ⅰ）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）求与C有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C：﹣y2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a＞b＞0），可得c＝2，a＝，b＝＝1，则椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m．n＞0），由题意可得m2+n2＝5，﹣＝1，解得m＝，n＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x．20已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M（，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M（，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a＝1，b＝，c＝，故离心率e＝．其渐近线方程为y＝±x；实轴长为2，焦点坐标F（，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直