【高考数学试卷解析】2022全国甲卷理科数学详细解析版

2022全国甲卷理科数学解析版

选填答案速递版

12345678910111213141516

CBDBABI.)BCACA6

百V3-1

11V35

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2022甲理1）已知复数z=-l+6i，则二一=（）

ZZ—1

1n1八

A.-1+V3zB.-1-V3zC.-—+—/D.------z

3333

【思路引导】由共轨复数的概念及复数的运算即可得解.

【参考解析】因为2=-1+，^,所以它=（一1）2+的1=4,

ZZ

所以+—故选C.

ZZ-1333

【复数小公式】zz=a12+3b2

2.（2022甲理2）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解

讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾

分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%

90%

裕85%

营80%*讲座前

周75%•讲座后

70%..............*........

65%....*..................*

60%*.........亦..................................

0III1II1I1

12345678910

居民编号

则

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【思路引导】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【参考解析】

175%

讲座前问卷答题的正确率的中位数等于=72.5%,故A错；

2

显然讲座后问卷答题的正确率只有一个低于85%,且为80%,而别的都大于等于

85%,只需要拿一个来95%抵消80%,显然显然讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

85%,不用计算即可选B,进入下一题.

【考后分析】

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后

正确率的标准差，所以C错;

讲座后问卷答题的正确率的极差为1()0%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.

3.(2022甲理3)己知全集。={-2,—1,0,1,2,3},A={-1,2},B=卜|/一以+3=()},

则Q(AUB)=

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【思路引导】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【参考解析】选D

4.（2022甲理4）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形

的边长为1，则该多面体的体积为

【思路引导】由三视图还原几何体，再套体积公式即可得解.

【参考解析】易知由一个正方体和一个三棱柱组成，如图:

所以V=2x2x2+'x2x2x2=12,故选B.

2

5.（2022甲理5）函数片仗-37卜osx在区间-工，工的图像大致为

v'22

【思路引导】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【参考解析1】显然是奇函数（y=3'-3T为奇函数，y=cosx是偶函数，奇乘偶等

于奇），故排除BD,/图>0,故排除C,选A.

【参考解析2】显然是奇函数，故排除BD,当xf0+时，f（x）f0+,故排除C,选

A.

6.(2022甲理6)当x=l时，函数/(x)=alnx+2取得最大值—2,则/<2)=

X

A.—1B.C.—D.1

22

【思路引导】根据题意可知/（1）=-2,r（i）=o即可解得。,人，再根据/‘（X）即可解出.

【参考解析】

易知/'（x）=0—3，

XX

/⑴=-2b=-2

依题有<

r⑴=。a-b=0=

所以尸（X）=，+=，所以r（2）='+±=—故选B.

x厂242

7.（2022甲理7）在长方体ABCO-Aq中，已知耳。与平面A3C。和平

面所成的角均为30。.则

A.AB^2ADB.A3与平面ABC。所成的角为30°

c.AC=CBiD.耳。与平面BBCC所成的角为45。

【参考解析】

由线面角的角度关系知，上图所示，易知AB=AD,故A错;

A3与平面A4G。所成的角为45°,故B错；

AC=岛,CB、=区,故C错；

综上，选D.

【思路引导2】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【参考解析2】

如图所示：

不妨设===c,依题以及长方体的结构特征可知，自。与平面ABC。所

cb

成角为NBQB,耳。与平面446乃所成角为所以sin30°=苒有二有项，即

4unjj

b=c,8Q=2c=，？+/+/,解得4=血,.

对于A,AB=a,AD=b,AB=6AD.A错误；

对于B,过B作于£,易知8£_L平面AgCQ,所以A5与平面AgG。所成

角为4BAE，因为tanNBAE=£=立，所以NBAEH3()0，B错误；

a2

对于C，AC=+/?2CBI=J。?+c、2=J5c，ACwCB],C错误；

对于D,g。与平面8月。。所成角为/。4。，sinZDB,C=-^=—=—,而

BQ2c2

0<ZDBlC<90\所以NO8C=45°.D正确.

故选：D.

8.(2022甲理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了

计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB是以。为圆心，为半径的圆弧，。是

AB的中点，。在AB上，。。，48.''会圆术''给出48的弧长的近似值5的计算

CD2

公式：s=AB+上2.当。4=2,NAO8=60P时，s=

OA

【思路引导】连接OC,分别求出AB,OC,CD,再根据题中公式即可得出答案.

【参考解析】

D

连接OC,则BC=1,AB=2,CO=BCD=2-73,

所以s=AB+空=2+但二垃=上迪，故选B

OA22

9.(2022甲理9)已知两个圆锥的母线长相等，展开侧面图的圆心角之和为2不，两个圆锥

的侧面积分别为S甲，S乙，体积分别为%,%,若^^=2,则氏=()

s乙v乙

A.75B.272C.屈D.8U.

4

【思路引导】设母线长为/,甲圆锥底面半径为彳，乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧

面积公式可得4=2弓，再结合圆心角之和可将弓，弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求

出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【参考解析】

分别设两个圆锥的半径为缶弓，设母线长为/,

所以2町=/4=出，

同理。2=2^，依题有a+。2=彳~+2^2=2乃=6+弓=/，①

又因为县=2,所以皿=2=4=2G，②

S27TT2l

21I

联立①②解得4

X.2

所以

%乱为

故选c.

22

%

10.（2022甲理10）已知椭圆C：『+乒=1（a>b>0）的左顶点为A,P,Q均在C上,

且关于y轴对称，若直线AP,AQ的斜率之积为：，则椭圆的离心率为（）

V3V2八1c1

A.一B.一c.-D.-

2223

根据斜率公式结合题意可得，再

【思路引导】设尸（司，y）,则Q（—七,乂）H

根据工+工=1,将弘用为表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

ab-

【参考解析】

又是课上推导过的结论，-=l-e2=>e=—.

42

但是不会推导你自然对秒杀二级结论记忆不牢，所以猴哥还是建议大家学学推导过程

吧！只学秒杀最终害的是你自己哦.

设A（-a,O）,尸（王，弘），则。（一

所以加以=在

_2I___2L_①

2

a—x}a-x}

r2..2r2222

②

a2b2a2b21b2

将②代入①得：［与］2

KP-kAQ=-AT=y：•=^=\-e.

a"-x,yay}Ja

所以工=1一/=>e=.

42

【细节纠错】

11.（2022甲理11）已知/（x）=sin[3X+?J（（y>0）在（0,7）上恰有三个极值点，两个零

点，则实数切的取值范围为（）

【参考解析】

由图知，万+工43%=U<啰<号.故选c

2363

3111

12.(2022甲理12)己知。=一，b-cos—,c=4sin—,贝(I()

3244

A.c>h>aB.h>a>cC.a>h>cD.a>c>h

【参考解析1]

3111

比较”=上，〃=cos上，c=4sin上的大小关系.

3244

同样由上面的切线放缩知x<tan0<x<1)

,-1

r4smi]i

而一二----^=4tan—>4x—=1,所以

b144

cos-

4

x

由上面的切线放缩知，1------<cosx,

2

令x=则有1-lx」-Kcos工，所以b〉a,

42164

综上，c>h>a.

【参考解析2】

3111

比较a='，b^cos-,c=4sin上的大小关系.

3244

由三角函数线易知:tanx>x>sinX0<x<—

【2

.1

g“人111SU141A-]1,

所以令x=—=>tan—>—=>----^>—=>4sin—>cos—=>c>h,

444cos1444

4

而cosx=l-2sin2±>1-二，

22

w2

令工=工1，则有'cos’1〉1一141二卫,所以。>Q,

44232

综上，c>h>a.

【参考解析3】

()

St:b-a:/(x)=cos.v-I-sfrrx+x>0,X€0.1

=f(x)=/(x)>，((T)=0=b>a;

1(M.V>

$3:'->x9xe，吟))neb;

4

S”>1xu/(x)・9加“一上+；上3>0

F(x)«wsx-1+1x:,F(x)--siwx+3x>-x+3x>0=>F(x)/.F(x)>尸'(0*)=0

=F(x)Z,/rCv)>F(0*)=0=>c>n;

【濡港】泰勒/itsinx,coxx

【反思与总结】详细证明过程见视频解说哦.当然也可以直接用泰勒展开，但是作为高中生,

还是多学学证明过程哦.

13.（2022甲理13）已知向量2,B的夹角的余弦值为:，同=1,恸=3,则

（2a+BB.

【思路引导】设£与B的夹角为。，依题意可得cos6=；,再根据数量积的定义求出7B，

最后根据数量积的运算律计算可得.

【参考解析】仿+B）石=21石+户=2同1层+9=11.

14.（2022甲理14）已知双曲线F__=1（机〉0）的渐近线与圆/+/一4>+3=（）相切，

则加=.

【思路引导】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标

与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

【参考解析】

x=±my=>±my-x=0,

而圆为x2+（y-2）2=1,所以圆心为（0,2）,半径为1,

因为相切，所以,2/77=in;心,°〃=片.

Vm2+13

【反思与总结】注意双曲线的焦点是上下的情况哦.

15.（2022甲理15）从正方体8个顶点中任取4个，则这4个点在同一个平面的概率为

【思路引导】根据古典概型的概率公式即可求出.

【参考解析】

首先总的取法为C；=70种，

①正方体有6个面，故此时共面的取法有6种；

②正方体有12条棱，如下图一样，两两组队，则此时共面的取法也有6种;

m,八126

所以P=—=—

7035

16.（2022甲理16）在AABC中，点。为BC上一点，若乙4。3=120°,4。=2,

CD=2BD,当空取得最小值时，BD=

AB

【参考解析1】

余弦定理、平方法、分离常数法、换元法、基本不等式

由上图所示，

在AACD中，由余弦定理由AC?=4产+4—4人

在△A5D中，由余弦定理由=产+4+21,

AC~.t~+\—t广+2r+4—3f—3._t+\

所r以r——-=4x----------=4x----------------------=4xl-3x

AB~广+2f+4广+2f+4（/+2r+4

AC?_4r+44r_（4〃+8f+16）—127—12._才+1

或=4-12x-----------

*+2/+4/+2f+4t+2t+4

令，+1=〃，则令，=力一1,

所以

hh

/（/z）=4-12x=4-12x=4-12x—1—>4-12x—L

（A-l）2+2（/z-l）+4A2+3〃+°2g

h

当且仅当〃=』，即〃=百，所以如=，=当一1

h

【参考解析2】余弦定理、暴力求导法

由上图所示,

在AACD中,由余弦定理由AC?=4/+4—4b

在澳⑶。中,由余弦定理由A*=〃+4+2f,

AC2=4xJ+1T令外八="+1T

所以

AB2产+2f+4『+2f+4

2

则外）t+l-t3\r+2t-2

2

产+21+4（t+2t+4f'

令/。=（）=>t=-1+V5或/=-1-V5（舍）.

所以3。=/=6一1

【参考解析3】余弦定理、万能K法与判别式法、方达定理

由上图所示，

在AACD中，由余弦定理由AC2=4〃+4—4人

在ZSABD中，由余弦定理由AB2=*+4+2/，

AC2t2+l-t

所以=4x

7B7产+27+4

r+1—/r+l-t

令左二；（此处也可以整体把令2=4x）,

t-+2t+4f+2t+4

则（左一1）2+（2后+1>+4%一1=0,

故A=（2女+1）2—4（女一1、4%—l）NOn^^〈女,

所以益做=心叵，此时由韦达定理知2/=—竺担—1

m，n2k-\

所以8。=，=百一1.

【参考解析4】双勾股定理

如图所示，可以不用余弦定理，在两个直角三角形中用勾股定理也可以算出相应的AC-

与AB?，后面解析同.

【参考解析5】建系法1

如图，可以这样建系后用两点的距离公式来算AC?与A3,

易知B（T,O）,C⑵,0）,A（1,V3）,

..AC~（2/—1+3

所以——7=）————，・.面解析同

AB2（Z+1）2+3

【参考解析6】建系法2

如图，还可以这样建系后用两点的距离公式来算AC2与AB2,

易知3（—f—1,0）,C⑵—1,0）,A（0,g），

WAC~（2z—1）+3J/.jj,r-l=）

所以--=-7~——，后血解析同.

AB-（Z+l）2+3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

（一）必考题：共60分.

2c

17.（2022甲理17）记5“为数列｛/｝的前〃项和.已知—+〃=24+1；

n

（1）证明：｛%｝为等差数列；

（2）若4，%，。9成等比数列，求s“的最小值.

【答案速递】（1）证明见解析；（2）-78.

【思路引导I]

（5],〃=1

（1）依题意可得25“+〃2=2〃4+〃，根据4=｛1力作差即可得到

电-“,”之2

a「a,i1,从而得证;

(2)由(1)及等比中项的性质求出%,即可得到｛4｝的通项公式与前〃项和，再根据二

次函数的性质计算可得.

【参考解析1】

2S

(1)因为一-+n=2a+1=>2S+n2=2na+n,①

nnnn

"I"22时，2S“_1+(〃—1)~=2(〃—+〃—1,(5)

①减②得,2an+2n-l=2nan-2(n-+1,

整理化简得2(〃-1)=2(〃-1>„-2(〃-1>„,1,

因为刀之2,所以有

在①中，令〃=2化简的出一％=1，

所以｛4｝为等差数列，且公差为1.

(2)因为。4，。7，。9成等比数列，

所以片=a4a<)=(4+6d1=(4+34如+8")=4=-12,

因为〃GN*,所以当〃=12或N=13,

S”取得最小值，且最小值为—78.

【思路引导2】

(1)依题意可得2S“+〃2=2〃4“+〃，递增写一项，作差即可得到a,用一%=1,故得证;

(2)令a“=0n〃=13,所以可求最小值.

【参考解析2】

2v

(1)因为——-+/1=2a+1=>2S-\-rr—2na+n,①

nnnn

所以2szi+i+(n+Ip=2(〃+用+力+1,②

②减①得,2aw+1+2〃+1=2(〃+1,用-2nan+1,

整理化简得2n=2nan+｝-2nan,

因为〃HO,所以有为+]—%=1，

所以｛%｝为等差数列，且公差为1.

(2)因为成等比数列，

所以d=a4a9=(〃i+6d)2=(4+3d)(4+8d)=>4=-12,

所以a〃=4+(〃一l)d=〃-13,

令。〃=0=>〃=13,

因为〃cN”,所以当力=12或〃=13,

S„取得最小值，且最小值为。3=（。节3.13=_

78

【细节纠错】快手：nice思

18.（2022甲理18）在四棱锥P—ABCD中，PDX.底面ABCD,

CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

P

B

A

（1）证明

（2）求P。与平面所成的角的正弦值.

【答案速递】（1）证明见解析；（2）好.

5

【思路引导】

(1)作DELAB于E，。尸，4夕于尸，利用勾股定理证明AD，80,根据线面垂直

性质可得尸D_LBD，从而可得80J■平面B4£),再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【参考解析】

(1)

证明1：在四边形ABCD中，作。E_LM于E，CF_LA5于尸，

因为CD//A8,AO=Cr>=CB=l,AB=2,所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以AE=BF=；，故。6=卓，BD=NDE?+BE?=存

所以+=A8?，所以AD_L8D，

因为PD_L平面ABCD,8E>u平面ABC。，所以P£>_LM，

又PDcAD=D，所以BOJ_平面240，

又因Q4u平面PAD,所以BD1.Q4；

证明2：

如上图所示，所示，取A3的中点为E,连接OE,

因为CZ)〃AB,4D=£)C=CB=1,A8=2,

所以易知CD//EB,所以四边形。CBE是平行四边形,

所以。E=CB=—AB,又因为E是43的中点，

2

所以NAOB=90。，即BD1.D4,

又因为底面ABC。，且BDu平面A3CD,所以5£>_LFD,

而ZM，P£）=。且ZM、PDu平面PAD,

所以BO_L平面PA。,

又因为P4u平面PA。，所以PA.

（2）由（1）及题目条件易知，DA,DB,0P两两互相垂直,

故可建立如上图所示的空间直角坐标系。-孙z.

易知BD=ylAB2-Ab1=V3,

所以"（）,（）,0），£>（0,0,0）,A（l,0,0）,B（0,V3,0）,

所以说（3,73,-73）,

设平面PA6的一个法向量用=（x,y,z）,

m-PA^Ox-V3z=0

则有■令x=6,则有沅=（6u）,

m•PB-0V3x-V3z=0

设P。与平面P43所成的角为6,

PDmV5

则sin®=cos,PD,m

V

所以PD与平面P45所成的角的正弦值为里.

19.（2022甲理19）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项

目胜方得1（）分，负方得（）分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校

获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目

的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案速递】（1）0.6；⑵分布列见解析，E（X）=13.

【思路引导】

(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项

目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

(2)依题可知，X的可能取值为0/0,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，

即可求出期望.

【参考解析】

(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为所以甲学校获得冠军的概率为

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.()4=0.6.

(2)易知X可取()，10,20,30,

因为各项目的比赛结果相互独立，

所以所(x=o)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=(1-0.5)X0.4X0.8+0.5x(l-0.4)x0.8+0.5x0.4x(1-0.8)=0.44,

P(X=20)=(1-0.5)x(l-0.4)x0.8+(l-0.5)x0.4x(l-0.8)+0.5x(l-0.4)x(l-0.8)=0.34

p(X=30)=(l-0.5)x(l-0.4)x(l-0.8)=0.06,

所以X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

所以E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13,

所以X的期望是13.

20.(2022甲理20)设抛物线C:y2=2pM0>0)的焦点为八点O(p,0),过户的

直线交。于M，N两点.当直线MO垂直于x轴时，耳=3.

(1)求。的方程;

(2)设直线MO,ND与。的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的

倾斜角分别为a，夕.当a-月取得最大值时，求直线A3的方程.

【参考解析】

(1)

解法1：因为直线垂直于x轴，所以“的横坐标=〃，

又抛物线的定义知月=p+^,

又因为|M^=3,所以“+5=3=〃=2,

所以C的方程为y2=4x.

解法2：

因为直线”。垂直于》轴，所以在V=2px中，令》=2，则有式,=2p2,

易知产(§0),因为画=3,所以+蟾=3，

解得p=2,所以C的方程为：/=4%.

(2)

解法1：

设N(x2,y2),A-,%)，M%%)，

显然过尸的直线斜率不为零，故可设为：x=my+l,

若机=1,则由对称性易知&=力=90°,所以止匕时a—6=0.

V2=4%

联立｛7消x得/一4,2一4=0,

x=my+l

显然△>()恒成立，

由韦达定理得%%=4m，=-4.

而tana=kMN==七-八2=-"-=—，

々一XA_2L%+Mm

44

同理tan夕=kAB=-------

另一方面，因为M,A,。三点贡献,

M_y4f

所以由——zy4

kMD=kAD=>22ny”=一8,

Xj—2%-2M)>4,

----乙------乙

44

同理可得y2y3=-8，

所以tan/?=--=一一=—

+2(y+%)2m

X%

若加<(),则tana<tan£<0,由正切函数的单调性知。一万<0,故不是最大情况》

下面分析加>0,

此时tan(a-⑶='anaTan.=q二勺=—L-

l+tanatan〃l+l.±2m+-

m2mm

所以tan(a—/)=——，-

2m~\——

m

5

当且仅当工=2m，即加=注时取得等号,

m2

所以tan,=—,

设AB的中点为G,则:^二内卫=？/］，%=矢■丛=8,

所以直线A8的方程为：y=3(x—8)+2j5

即y=-yx-2V2或x--4=0.

所以当。一〃最大时，心8=白，设直线45:1=血丁+〃，

代入抛物线方程可得丁一4夜y-4n=0,

△>0,y3y4=-4/?=4=-16,所以〃=4,

所以直线AB的方程为丁=e-%-2五或x-痣y-4=0.

解法2：(湖南叶和纳老师提供)

7。当直线MN的斜率不存在时，此时48斜率也不存在，

7T

放MN/AB、此时a=£=s，故a—£=0.

②当直线MV的斜率存在时，

设直线MV：4x-G]+y2)y+y\y2=0,直线4B：4A-(y3+y4)y+y3y4=0.

设直线M4：4x-(y[+为),+]仍=0,直线ND：4.x-+y4)y+»加=0.

因为直线MV过F，所以串户=一4,2=」—.

•M+必

因为直线MA,ND过。，所以)\y3=-8,,必=-8,

目r以VjI4=-16,,3=—，v*4=­,

'>1%

421

所以直线HB：4x-2(>1+v2)y-16=0,所以上好=—--=—^—=±k如.

'2(“+乃)乂+以2•

此时直线MN与直线4的倾斜方向相同，且|a-向<],设kg,=k,

所以tan(a-0=>^^=~^=-^=4s-V，

l+tanatan£\+2+K三十上2^2

2k

当且仅当7=k，即上=应时等号成立，所以必+乃=20,

故直线AB：x--^2y-4=0.

【点睛点评】解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标问

的关系.

21.(2022甲理21)己知/(x)=^——lnx+x-a.

x

(1)若/(x)2O,求实数4的取值范围：

(2)若函数/(x)有两个不同的零点七，x2,求证：x,x2<1.

【答案速递】(1)(-8,e+l]；(2)证明见的解析

【思路引导】

(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

【参考解析】

(1)

因为/(x)=x+x-a，定义域尤>0，

x

所以;(6=±1]纪+1],

令广(x)>0nx>l,f\x)<0=>0<x<1,

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增,

所以/(x)mm=A1)=e+l—a,

因为/(x)20,所以e+1—a2()=aWe+1,

故实数a的取值范围是(一应e+1]

(2)

解法1：(思路由湖南郴州李昕提供，沐师提供了对数平均不等式的思路，但考虑了下，没

加详细过程了，感兴趣的自己去做下即可)

由(1)易知/(城e11=/11)=6+1-。，

所以要使得函数/(X)有两个不同的零点X1,x2,则有/(l)<0=>a>e+l.

不妨设0<%<1<々，要证玉*2<1，只需证用<一，此时有0<X|<」-<1，

x2x2

由(1)知/(x)在(0,1)上单调递减,

所以只需证/(x,)>,/(—

<=>

\X2.\X2

故令"(x)=/(x)—/□x>\,

下面先证明一个引理：当x>l,e'>ex,

令Mx）="-0，所以“（x）=/-e〉0恒成立，

故〃（x）在（LW）单调递增，所以Mx）〉Mi）=o,故引理得证.

|/1A

所以当%>1时，ex-xex>ex-xex=xe-ex>0,S.x-\>0

\/

故H\x）20在（1/）。）上恒成立，

所以“（尤）=/（*在（1,口）上单调递增，故"（x）〉〃⑴=0,

所以A：］/<1.

【思路引导2】利用分析法，转化要证明条件为上一万「-2-，）>0,再利

x［_2\x）_

用导数即可得证.

解法2：（由玩转高中数学研讨提供）

由题知，/（X）一个零点小于1L个零点大于1,不妨设0<%<1<々

要证不工2<1，只需证此时有0<%<1-<1,

々x2

由（1）知/（X）在（0,1）上单调递减，

所以只需证/（%）>_/（,］。/（工2）>/［工］=/（工2）—/（2］>0，

\X1))\X2J

X]

即证----Inx+x-xex-Inx——>0,xe(1,-K。).

XX

即证^——xe^-2Inx-->0,

x[_2vx)_

ex-1(;)<0-

下面证明1>1时，----xex>0,Inx——x--

x2v

x-

设g(zx)x=-e--xex,x>\,

X

则

则g'(x)=^~~--——ex,设9(x)=J(x>1),”(x)=3pe'>0,

x)xX

I

所以夕(x)>9(l)=e,而

ex-/、

所以J—>0,所以g'(x)>0,

x

x

所以g(x)在(1,48)上单调递增，即g(X)>g(l)=0,所以幺-x>>0.

令Mx)=In1,则/7'仁)=1).<0,

2(X)_」2x,z

所以MH在(1,400)上单调递减，所以Inx-g(x-g)<o,

综上，-----2Inx—fx—]>0,

x2^x)_

所以A：]/<1,

【点睛点评】本题极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式

1(1、

//(x)=lnx--x--这个函数经常出现，需要掌握

21X)

解法3：对数均值不等式，感兴趣的自己写哈

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则

按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.(2022甲理22)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方