河南省固始县重点中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷（含答案）

固始重点中学2023-2024学年度高二第二次月考试题卷数学试题考试时间：120分钟分数：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，总分40分）1．己知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（）A．B．0C．2D．42．如图所示，在平行六面体中，是的中点，N是线段上的点，且,用表示向量的结果是（）A．B．C．D．3．已知椭圆的左、右焦点分别是为C上一点，且是线段的中点，O为坐标原点，则（）A．2B．4C．6D．84．直线,则“”是“”的（）条件A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直线,圆,若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．C．D．6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线l与C的左支交于A，B两点，,且,则C的离心率为（）A．B．C．D．7．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有,若正四面体的棱长为2，则下列结论不正确的是（）图1图2A．B．C．D．8．设双曲线的左右焦点分别为,圆与双曲线C在第一象限的交点为A,若的周长为,则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多选题（每小题5分，选不全且无错2分，总分20分）9．有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A．A与B互斥B．C与D对立C．B与C相互独立D．B与D相互独立10．下列说法正确的有（）A．直线的斜率越大，倾斜角越大B．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为D．直线和以为端点的线段相交，则实数k的范围为或11．已知点A是椭圆上一点，B是圆上一点，则（）A．椭圆C的离心率为B．圆P的圆心坐标为C．圆P上所有的点都在椭圆C的内部D．的最小值为12．已知棱长为1的正方体中，P为正方体内及表面上一点，且,其中，则下列说法正确的是（）A．当时，与平面所成角的最大值为B．当时，恒成立C．存在，对任意与平面平行恒成立D．当时，的最小值为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，总分20分）13．向量的夹角为__________．14．己知直线与平行，且两条直线均不与坐标轴平行，则与之间的距离为__________．15．已知，则曲线为椭圆的概率是__________．16．设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值__________．四、解答题（17题10分，其余题目12分，要有必要的步骤和文字说明，总分70分）17．已知直线．（1）若l不经过第三象限，求a的取值范围；（2）求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程．18．某出租车公司购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国纯电动汽车按续航里程数R（单位：千米）分为3类，即A类：类：类：．该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型A类B类C类已行驶总里程不超过10万千米的车辆数104030已行驶总里程超过10万千米的车辆数202020（1）从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；（2）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车①求n的值；②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率．19．如图，在四棱锥中，面,且为的中点．（1）求证：平面平面;（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．20．已知,动点C满足，直线．（1）求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；（2）若直线l与动点C的轨迹交于两点，且,求实数m的值．21．在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点,且有一条倾斜角为的渐近线，直线与C相交于两点．（1）求C的标准方程；（2）若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求的长度．22．在平面直角坐标系中，己知椭圆的左、右焦点分别为，E为C上一点，的面积最大值为2．（1）求C的方程；（2）在直线上任取一点,直线与直线交于点Q，与椭圆C交于两点，若对任意恒成立，求m的值．参考答案：1．C【分析】两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程，进而求截距，【详解】直线l的斜率为，∴直线l的方程为,即,故直线l在y轴上的截距为2．故选：C2．A【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果【详解】由题意可得，，．故选：A．3．A【分析】根据椭圆的定义，结合题意，求得,再由为的中位线，即可求解．【详解】由椭圆的方程,可得,根据椭圆的定义得,因为,可得,又因为Q是的中点，O是的中点，所以为的中位线，可得．故选：A．4．C【分析】利用直线与直线平行时，斜率相等且截距不相等的性质分别讨论充分性和必要性即可．【详解】解：①充分性：当时，,所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；②必要性：,当时，则,解得：或,当时，两直线重合，所以舍去，当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要，所以“”是“”的充要条件故选：C．5．D【分析】根据圆的性质，得到直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，结合点到直线的距离公式和圆的切线长公式，即可求解．【详解】由圆的性质，可得当直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，因为圆,可得圆心,半径为,则圆心到直线的距离为，即,所以切线长的最小值为．故选：D．6．A【分析】设,由双曲线的定义求得,结合,利用,列出方程求得,再由,求得a,c的关系式，结合离心率的定义，即可求解．【详解】因为,设，则,又由双曲线的定义，得,所以,又因为,可得,即,解得,由，即,可得,双曲线C的离心率为．故选：A．7．D【分析】由题意得E是正四面体外接球的球心．设点O是顶点A在底面的射影，取的中点的中点F,求得,可判断C;求得,结合,，可判断B；由可判断A；求出,进而求得，可判断D．【详解】由题意得E是正四面体外接球的球心．设点O是顶点A在底面的射影，则是正四面体的高，是的外接圆半径，对于A,因为底面底面,所以,所以,故A正确；取的中点的中点F,连接,则O在上，设中点为M,因为，则在等腰中，,则，同理，在等腰中，,则M为外接球的球心，即M与E重合，则E在上，因为，则，因为,即,则,解得．故C正确；对于B，，所以，则,又,则,所以,故B正确；对于D,因为,所以，成D错误．故选：D8．C【分析】由三角形周长和双曲线定义把用a,c表示，再由圆的半径得出a,c关系，从而可求得得渐近线方程．【详解】由题意,又,所以，而是圆半径，A是圆上点，所以,所以,渐近线方程为．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是找到关于的等式．涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常应用双曲线的定义进行求解．9．BCD【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可．【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的基本事件有：共12个，事件A发生包含的基本事件有：有3个，事件B发生包含的基本事件有：有6个，事件C发生包含的基本事件：有4个，事件D发生包含的基本事件：有8个，显然当出现，时事件同时发生，故事件A与B不互斥，故A错误；事件C与D不可能同时发生，即事件C与D互斥，又事件C与D包含所有的结果，所以C与D对立，故B正确；又，所以,所以事件B与C相互独立，故C正确；又，所以,所以事件B与D相互独立，故D正确．故选：BCD．10．BD【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A,由直线的斜截式即可判断B,当直线过原点时，即可判断C,求得,即可判断D．【详解】对于A,在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；对于B,若直线经过第一、二、四象限，则,所以点在第二象限，选项B正确；对于C,当直线过原点时，直线方程为,故C错误；对于D,直线可化为,所以直线恒过定点,，直线与线段相交，所以或，故D正确．故选：BD．11．BCD【分析】对于A,可先将椭圆化为标准式，再由参数关系可直接求离心率；对于B,可先将圆化为标准式，可直接得到圆心：对于C,取圆上的一些特殊点判断其与特殊点的位置关系，再联立椭圆与圆的方程判断有无交点，两者结合即可判定椭圆与圆的位置关系；对于D,可先求的最值，再通过圆上的点B的常用几何结论，来求的最小值．【详解】对于A,椭圆C的方程可化为，则半焦距,所以离心率,故A错误；对于B,圆P的方程可化为,则圆心为,故B正确；对于C，圆P上的点显然在椭圆C内，联立可得,而，所以椭圆C与圆P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆P在椭圆C内部，故C正确；对于D,设，则则，所以时，取得最小值,又B是圆上一点，即可得,所以，即的最小值为，故D正确．故选：BCD．12．BC【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断．【详解】由题意得：以点D为坐标原点，所在直线为所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图：则：，,得：对于A项：当时，，平面的一个法向量为：,设与平面所成的角为,所以：因为：,所以：，所以：当时，有最大值，此时：，故A项错误；对于B项：则：,所以：,所以：,故B项正确；对于C项：由题意知平面的一个法向量为：,所以：当时，,即：,且不在平面内，此时：对于任意与平面平行恒成立，故C项正确；对于D项：当时，得：,，当时，有最小值，故D项错误．故选：BC．13．/【分析】利用空间向量夹角运算公式直接求解即可．【详解】因为向量所以，所以两向量夹角大小为．故答案为：14．【分析】根据两直线平行，求得,再结合两平行线间的距离公式，即可求解．【详解】由直线与,因为与平行，可得,且,即且，解得,当时，直线,此时两平行直线之间的距离为．故答案为：．15．8【分析】根据椭圆的标准方程的形式，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意知，，可得共有8种不同情况，其中满足“曲线为椭圆”的有，共3种情况，由古典概型的概率公式可得，所求概率．故答案为：．16．9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线过定点,直线可化为,令，可得,又,所以两动直线互相垂直，且交点为P,所以,因为,所以，当且仅当时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点．17．（1）（2）;或【分析】（1）将直线方程转化为斜截式，从而得到关于a的不等式组，解之即可得解；（2）利用点线距离公式，结合基本不等式即可得解．【详解】（1）直线l的方程可化为，要使直线l不经过第三象限，则必须有,解得，故a的取值范围是．（2）设原点O到直线l的距离为d,则，当且仅当,即时，等号成立，所以原点O到直线l的距离的最小值为，此时直线l的方程为或．18．（1）；（2）①5；②【分析】（1）根据题意，由频率即可估计出概率；（2）①根据分层抽样，由题意，可直接计算出n的值；②先由题意，确定5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a,b,c;5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m,n;用列举法，分别写出总的基本事件，以及满足题意的基本事件，基本事件个数比即为所求概率．【详解】（1）由题意，从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为．（2）①依题意．②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a,b,c;5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m,n．“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：．“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：,则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率．【点晴】本题主要考查分层抽样求样本个数，以及求古典概型的概率，属于基础题型．19．（1）详见解析；（2）．【分析】（1）在直角梯形中，由条件可得,即．再由面,得,利用线面垂直的判定可得平面,进一步得到平面平面;（2）由（1）知，,则为二面角的平面角为，求得．以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面的一个法向量，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，，可得,过A作,垂足为E,则,求得,则．面,,又平面,平面,∴平面平面;（2）解：由（1）知，,则为二面角的平面角为，则．以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，．设平面的一个法向量为,由，取，得．∴直线与平面所成角的正弦值为：．【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法．20．（1）,动点C的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（2）【分析】（1）根据题意，设,由两点间距离公式列出方程，代入计算，化简，即可得到结果；（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合弦长公式，列出方程，代入计算，即可得到