信号与系统(应自炉)习题答案第3章习题解

第3章习题解求以下周期信号的基波角频率和周期。〔1〕； 〔3〕；〔2〕；〔4〕； 〔5〕；〔6〕； 〔7〕；3-2：连续时间周期信号。将其表示成复指数傅立叶级数形式，求，并画出双边幅度谱和相位谱。解：由于为连续的时间周期信号。由于题易知T=6=又即有0w21图3-2-1故又其双边幅度谱如图3-2-1所示0w0w图3-2-2相位谱易知其相位谱如图3-2-2所示0231图0231图3-3-1单边幅度谱解：由题易知图3-3-2双边幅度谱-3-2图3-3-2双边幅度谱-3-2-023w10.5其单边幅度谱如图3-3-1故双边幅度谱如图3-3-2所示0303图3-3-3相位谱故有其相位谱如图3-3-3所示3-4如题图3-4所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。解：〔a〕由于为奇函数故有=0n=2kn=2k+1=(b)=故〔c〕由于为偶函数故有=0n=2kn=2k+10n=2kn=2k+1(d)由于为偶函数故=〔e〕由于为偶函数故=〔f〕全波余弦信号为又因为为偶函数故=3－5周期信号的一个周期的前四分之一波形如题图3-5所示，就以下情况画出一个周期内完整的波形。是的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；是的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；是的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波；是的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；是的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；是的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。3-6利用信号的各种对称性，判断题图3-6所示各信号的傅里叶级数所包含的分量形式。解：(a)由于f(t)为偶函数，只含有直流分量和偶次谐波余弦分量。(b)由于f(t)为奇函数，只含有基波分量和奇次谐波正弦分量。(c)由于f(t)为偶函数，只含有基波分量和奇次谐波余弦分量。(d)由f(t)为偶函数，只含有基波分量和奇次谐波余弦分量。(e)由于f(t)为去直流后为奇函数，只含有直流分量和偶次谐波正弦分量。(f)由于f(t)为偶函数，只含有直流分量和偶次谐波余弦分量。(g)由于f(t)为偶谐函数，只含有正弦分量。(h)由于f(t)为奇谐函数，只含奇次谐波分量。3-7求如题图3-7所示信号的傅里叶变换。解：〔a〕对f(t)求一阶和二阶导数得到-A-A==-A-A=t〔b〕对f(t)求一阶与二阶导数得到：tt=t(c)对f(t)求一阶和二阶导数得到0t令0t0t0t0t0t〔d〕对f(t)求一阶和二阶导数得到3-8：设，试用表示以下各信号的频谱。〔1〕； 〔2〕〔3〕； 〔4〕；〔5〕； 〔6〕〔7〕； 〔8〕；〔9〕 〔10〕〔11〕 〔12〕；〔13〕 〔14〕〔15〕 〔16〕解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕3-9先求如题图3-9(a)所示信号的频谱的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由求出其余信号频谱的具体表达式。解：〔a〕对f(t)求一阶和二阶导数得到〔b〕由于故〔c〕(d)(e)(f)(g)利用三种方法求题图3-10所示信号的频谱。解：(a)方法一利用定义方法二利用时域微分性质对f(t)求一阶导数得到方法三利用频域微分性质〔b〕方法一利用定义方法二利用频域微分性质方法三利用时域微分性质3－11题图3-11所示余弦脉冲信号为，试用以下方法分别求频谱(1)利用傅里叶变换的定义； (2)利用微分特性；(3)，利用线性性和频域卷积性质。解：3－12三角脉冲的傅里叶变换为，求题图3-12所示信号的傅里叶变换3-13信号如题图3-13所示，设其频谱函数为，不要求，求以下各值。〔1〕；〔2〕；〔3〕(未做)3－14如题图3-14所示两门函数：.画出的图形；求的频谱函数。3.15双信号，试求其频谱。解：∵∵∵∴3.16画出以下各信号的波形，并求它们的频谱；；〔3〕解：〔1〕∵∴〔2〕∵∴〔3〕∵∴3.17，求以下各信号的频谱的具体表达式；；〔5〕解：〔1〕∵∴∴〔2〕∵∴〔3〕∵∴〔4〕∵∴〔5〕∵∴3.18用傅里叶变换的对称性，求以下各信号的频谱；；〔4〕；解：〔1〕∵∴令有∴〔2〕∵三角形脉冲∴令有即〔3〕双边指数信号∵∴〔4〕单边指数信号∵∴即3－19证明：。(未做)3.20求以下各傅里叶变换的原函数；〔3〕；解：〔1〕〔2〕〔3〕3.21求卷积解：由题3.20可知：3－22的图形如题图3-22所示，求其傅里叶反变换3.23，求反变换，并画出的波形。解：是矩形脉冲的傅里叶变换，又1/2 1/2-101 t的波形如图：3.24系统的单位冲激响应为，并设其频谱为。求证明解：〔1〕3.25信号的带宽分别为，且，则以下信号的带宽分别为多少？假设对以下信号进行理想冲激抽样，所允许的最大抽样间隔是多少？〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕〔5〕 〔6〕〔7〕 〔8〕解：(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)3－26确定以下信号的奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔〔1〕 〔2〕〔3〕3.27设，均按周期TS=(1/400)s抽样。试问哪个信号可不失真恢复原信号？并画出均匀冲激抽样信号的波形及其频谱图。解：3.28题图3-28所示三角波信号〔1〕求出其频谱〔2〕是对以等间隔进行抽样所得信号，分析并画出其频谱图〔3〕将以周期进行周期延拓构成周期信号，画出对以等间隔进行抽样所得信号的波形和频谱。解：(1)(2)频谱为的信号被冲激抽样后，得到的抽样信号的频谱为(3)由题意有角频率题图3-29所示信号的傅里叶变换为，求图示信号的傅里叶变换解：是以周期T进行延拓构成的周期信号。周期函数的傅里叶系数为：的傅里叶级数为：傅里叶变换为：3－30～3－38未做如题图3-39(a)所示电路，，输入电压为周期矩形信号，波形如题图3-39(b)所示，且，试求求该电路的频率响应。稳态时电容两端电压之直流分量、基波、三次谐波、五次谐波分量。粗略画出稳态时电容两端电压波形。解：〔1〕由图可知：〔2〕把周期电压源信号展开为傅里叶级数则展开为：有展开式可以得出：直流分量为：时，基波分量为：时，三次谐波分量为：时，五次谐波分量为：〔3〕波形图略。3-40LTI系统的输入信号，当系统的单位冲激响应分别为以下函数时系统的正弦稳态响应。〔1〕 〔2〕解：〔1〕依题意知，系统函数为，是一个低通滤波器，所以系统响应为〔2〕系统函数为FFF可知其带宽为，即所以系统响应为3-41LTI系统的频率响应如题图3-41所示，求当输入为时的输出解：由图可知该系统为低通滤波器易知，只有当频率时才能通过滤波器所以知电路如题图3-42所示，求该系统的频率响应，欲使系统无失真传输信号，确定。传输过程有无时间延迟？解：此电路的系统函数为代入L和C的数值，其幅频特性为：要求无失真传输，即为，代入得=k令两边对应项系数相等，得解方程组得3－43题图3-43所示网络能否无失真传输信号？假设能，参数应该满足什么条件？〔未做〕3.44如题图3-44所示系统，信号如题图所示，，，求响应的频谱函数。解：3.45如题图3-45所示系统，输入信号的频谱为,，试画出信号的频谱。F(w)-4-3-2F(w)-4-3-2–101234w3－46此题可能存在符号标记错误试分析题图3-46所示系统中和各点信号的频谱，并画出其频谱图。，，，。〔未做〕知一系统如题图3-47所示，并且试分别求出在下述鼓励信号作用下，输出信号的频谱。〔1〕； 〔2〕解〔1〕H1(w)-4-3-2H1(w)-4-3-2–101234w3F1(w)-4-3-2–F1(w)-4-3-2–101234w故其频谱如图F2(w)-4-3-2F2(w)-4-3-2–101234w-4-3-2–-4-3-2–101234wY(w)其频谱如图F(w)-4-3-2F(w)-4-3-2–101234w〔2〕H1(w)-4-3-2H1(w)-4-3-2–101234w3F1(w)-4-3-2F1(w)-4-3-2–101234wF2(w)-4-3-2F2(w)-4-3-2–101234wY(w)-4-3-2Y(w)-4-3-2–101234w-8-6-4-8-6-4–202468wF(w)3-48一理想低通滤波器的频率响应为F(w)假设输入，求该系统的输出。解：由-8-6-4–-8-6-4–202468wH(jw)j-j-8-6-4–-8-6-4–202468wY(w)3-49在题图3-49所示系统中，理想低通滤波器的频率响应为且，〔1〕求虚框所示系统的冲激响应〔2〕假设输入信号为，求系统输出信号〔3〕假设输入信号为，求系统输出信号。〔4〕虚框所示系统是否线性时不变系统？解：〔1〕由冲激响应的定义可知由于和是在频率为和的一个冲激。而H(w)为一