基本数列通项公式的求法总结

PAGEPAGE1尚未整理完，先看着吧，有错给该过来常见数列问题的基本解题策略一、基本定义法（等差数列、等比数列）二、含有与关系式利用变量归一法即=或=三、递推数列的通项公式求法（基本思想就是转化）类型1递推关系式形如或(其中不是常数函数)此类问题要利用累加法或累乘法来求解.例1.1在数列中,解：………以上各式相加得：类型2递推关系式形如利用消常变换，转化为等比数列此类,设，带入关系式，构造关于的等比数列。例2.1．1已知数列满足求数列的通项公式.解：设，则，整理得：，令得：，这时：，，，所以：。所以：利用特征根方法x=px+q有根，则构造数列例2.2.1已知数列满足求数列的通项公式.解：递推公式对应的特征方程为，所以特征根为所以：（说明：这个关系式可以直接凑，但这种处理方式是有目的的凑）所以：所以：类型3递推关系式形如引入参数，实行转化设，,则，即于是是公比为的等比数列.其中，的位置可以互换。所以：（1）若，则，两边同除以，则转化为类型2若，则（2）（1），（2）两式相减即得的表达式利用上述思想：可得这一类型的数列通项公式若特征方程有两相异复数根、，则证明：由上述证明可得：（1）交换得：（2）（1）-（2）得：令，则若方程有两等根则其中、可由初始条件确定；若方程有两等根则（证明：由上述结论可知当时有，若，这时有递推关系式得（若，则由得：所以所以令：则有：，特别的：若特征方程有一对共扼虚根则其中、可由初始条件求出。证明：利用第一种情况中的结论（*）由可知，带入（*）得：令，，则有。已知，，，求的通项公式解法1：设，,则即：由，知：，为方程的两根，且，不妨设所以：因此由可知（1）将，互换得（2）（2）-（1）得：把，，代入得：，结合有：解法2.因为的特征方程有两个不相等的实数根，设为，由上面的结论可知：由，得：，由因为，（根的定义）所以结合（1）得：（2）解（1）（2）得：已知，，，求的通项公式解法1：设，,则，即：由，知：，为方程的两根，且，知：所以：将，代入得：，即：这就转化为等差数列。所以：，所以解法2.因为2为特征方程的两个相等的特征根，所以可设：，将，代入得：解得：，。所以已知，，，求的通项公式解：对应的特征方程有一对共轭虚数根由结论可知：把，代入得：，解得：，，所以类型4递推关系式形如、、为常数，且，思想：通过数列代换，转化为类型3设，则即：，令则此时就转化为类型3，通过即可求出。已知，，，求数列的通项公式解：作数列变换设，则，整理得：，令得：，这时：，，，，由3页例3.1可知：所以：遗留问题：时，这种情况解决不了！类型5递推关系式形如、为非零常数，若，因为，所以所以这与已知矛盾，故数列不存在若，若，假设则由知所以，由数学归纳法可知；若，且，利用取倒数的思想转化为类型2或者转化为类型10，例5.1已知，，求数列的通项公式解：因为代入得，与已知矛盾，故数列不存在例5.2已知，，求数列的通项公式解：把，故数列通项公式存在。将递推关系两边取倒数得由类型2可知：，所以：，因为，所以，所以例5.3已知，，求数列的通项公式解：把，故数列通项公式存在。将递推关系两边取倒数得由类型2可知：，所以：，因为，所以，所以（其实正是特征根，因此有；方程的另一特征根为，所以当是也有）例5.4已知，，求数列的通项公式解：把，故数列通项公式存在。且由结论可知类型6递推关系式形如、、为常数,且思想：通过数列代换，转化为类型5设，则即：令，求出特征根，则数列转化为类型5例6.1已知：，，求通项公式解：设，则即：令：得：，，取，取得：，，取倒数得：因为，所以，所以类型7递推关系式形如型递推式可构造为形如的等比数列。例7.1在数列中，，求通项公式。解：由知，（1）设：则：（2）比较（1），（2）得，所以：所以所以类型8递推关系式形如.（A、B、C为常数）型递推式，这种情况有以下两种处理方式（1）可构造为形如的等比数列。例8.1在数列中，，，求通项公式解法1.设（2）亦可变形为令则即可转化为类型2例8.2已知数列，其中，且，求通项公式an。解：因为，将取倒数得，进一步变形为，构造以为整体的数列有（其实为特征根）所以：所以：=2\*GB3②已知数列满足，且（），其中是不为0的常数，令。求证：（1）数列是等差数列。（2）求数列通项公式类型9形如型类型10递推关系式形如这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为类型2的解法.例1：已知，，求数列的通项公式解：因为，两边取倒数得：，其特征方程的特征根为1，有所以：，所以：，所以：例2：已知（或），，求数列的通项公式解：由已知（或）假设（或）则或1所以：或1例3：已知，，求数列的通项公式解：因为，两边取倒数得：，其关于的特征方程的特征根为1，有所以：，所以：，所以：类型11递推关系式形如（B）这种类型的问题处理方式是作数列变换，取适当的，作变换带入递推关系，消去分子中的常数，转化为类型3例：已知，。求解法1：去分母整理得：，令，则，即：（*）再令，则，所以，，这时（*）变为所以转化为类型三或者两边直接取倒数得：，特征根为所以：所以：所以，，所以解法2。并带入，去分母整理得：另一种处理方式就是借助特征方程进行转化（1）若首项（或,K>1）为特征根，设特征根为，则为常数列，证明：为的特征根，，由已知可知由此可见自第项开始，都是；若(K>1)，有上述证明可知自第项开始，都是，下面证明1至项也是证明：当时，由得：,即：,因为，K>1。所以。（2）若首项不是特征根，则，=1\*GB3①若特征方程只有一个特征根可构造以为整体的等差数列，然后求其通项公式证明：因为，所以，因为为它的唯一特征根所以，且由得，即由得,所以：即：故结论得证。所以：。下面在讨论n的范围若方程存在一个正整数解，由知，此时数列为有穷数列，，，。其通项公式由确定，注意：。若若方程不存在正整数解，则数列为无穷数列，其通项公式由确定，注意：。例1已知，。求例2已知，。求=2\*GB3②若特征方程有两个相异特征复数根，则为等比数列证明：由，得,所以所以所以构成首项为，且公比为的等比数列例3、已知数列满足，,求例4、已知数列满足，,求.例5、已知数列满足，,求例6、已知数列满足,求.另外这类问题亦可采用参数法解决例、设数列满足解：对等式两端同加参数得，，代入，得两式相除得即的等比数列，。例4、已知数列满足,求.四、构造等差数列法1．构造等差数列例.在数列{an}中，，求通项公式an。解：对原递推式两边同除以可得：①令②则①即为，则数列{bn}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。故所求的通项公式是2．构造等比数列法例.设在数列{an}中，，求{an}的通项公式。解：将原递推式变形为①②①/②得：，即③设④③式可化为，则数列{bn}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：＝，解得为所求。3．函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。例.在数列中，，求通项公式an。分析：首先考虑所给递推式与公式的联系。解：设，则同理，，…。即，猜想。下面用数学归纳法加以证明（证明略）。由于即，解得，于是为所求。以上转化，会用是基本要求，能够知道为何这样建模才是培养数学能力的根本！四、综合应用1、数列的前n项和为，，，（n>=1）=1\*GB2⑴求数列的通项公式=2\*GB2⑵若数列满足，证明：数列是等差数列2、（06上海）已知有整数列共有项（整数），首项，前n项和为，且（n=1,2,3,4,…2k-1）,其中常数a1=1\*GB2⑴求证：数列是等比数列=2\*GB2⑵若，数列满足，（n=1,2,3,4,…2k），求数列的通项公式=3\*GB2⑶若=2\*GB2⑵的数列满足不等式，求的值3、（05重庆）数列满足，且，，记（）=1\*GB2⑴求，，，的值=2\*GB2⑵求的通项公式及数列的前项和4、设数列的首项，=1\*GB2⑴求数列的通项公式=2\*GB2⑵设，求证为单调递减数列5、（07山东）．设数列满足，=1\*GB2⑴求数列的通项公式=2\*GB2⑵设，求数列的前项和五、温馨081、（08辽宁）（本小题满分12分）在数列、中，a1=2,b1=4，且成等差数列，成等比数列（）(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：2、（08全国）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和3、(08山东)(本小题满分12分)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2aa4aa7a……………记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1（n≥2）.(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.4、（08四川理）设数列的前项为，已知．（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式．5、（08四川文）（本小题满分12分）已知数列的前n项和(Ⅰ)求；(Ⅱ)证明：数列是一个等比数列。(Ⅲ)求的通项公式。6、（08天津理）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设.证明：.7、（08重庆理）设各项均为正数的数列{an}满足，.（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想的值（不需证明）；（Ⅱ）记，若对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.例1．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3．已知数列满足性质：对于且求的通项公式.即例4．已知数