初中数学 动点+最值+轨迹

初中数学专题•动点+最值+轨迹•

一、直线运动

□.定角型

1.在口力8c中，AC=8C=8,得到FC,连接。/，则点七运动过程中，。尸的最小值

2.如图，正方形ABC。的边长为2,动点石从点A出发，沿边AB向终点8运动，以DE为

边作正方形。EFG.求在点E的整个运动过程中，点F经过的路径长.

3.如图，&F8C中，AC=6,8C=8,NC=90°.点P是48边上一动点，。是AC延长

2

线上一点，且AC=CD,连接尸。，过点。作£>EJ_PO,连接PE,且tan/DP£==.则

当点尸从点A运动到8点时，点E运动的路径长为.

4.如图，在直角坐标系中，已知点A(4,0),点B为直线>=2上一动点，连接AB,以

AB为底边向下做等腰处EL48cNACB=9伊，连接。C,则OC的最小值为.

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5.如图，已知点A是第一象限内横坐标为旧的一个定点，轴

于点M,交直线y=—x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，

□APB=30°,BADPA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随

之运动.求当点P从点0运动到点N时，点B运动的路径长是

6.如图，在中，AC=6C=2,点P为AB边上一动点，

连接CP,以CP为边向下作等腰RtO4BC连接BD,则BD的最小

值为.

7.如图，正方形A8C。的边长为4,E为BC上一点、,且BE=1,F为

A8边上的一个动点，连接EF,以E/为边向右侧作等边AE/G,连

接CG,则CG的最小值为.

8.如图，已知点P(0,3),等腰直角口4BC中，口衣4c=90。，AB=AC,BC=2,8c边在x

轴上滑动时，PA+PB的最小值是

9.如图，等腰直角三角形A8C的斜边AC=8，点。、E分别是直角边AB和上的动

点，以DE为斜边在。石的左下侧(包括左侧和下侧)作等腰直角三角形OEE,连接CF,

则线段CF的长度的最小值为

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10.如图，在AABC中，zACB=90°,BC=AC=4,M为AB中点,

D是射线BC上的一动点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋

转90。得到线段AE,连接ED、ME,点D在运动过程中ME的最

小值为.

口.将军饮马&对称

1.如图，在矩形月8。中，AB=3,8c=4,在矩形内部有一动点尸满足S须=35PCD,则

动点P到点A,B两点距离之和PA+PB的最小值为

2.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点。在点C右侧)在x轴上移动，

A(0,2),B(0,4),连接4cBD,贝NC+8D的最小值为.

3.如图，正方形N8C。的边长为2,延长至E,使得4B=BE,连接P

为CE上一动点，分别连接必I、PB,贝IJRI+P8的最小值为.

4.如图，在正方形N88中，BC=2,点P,0均为Z8边上的动点，BEQCP,垂足为E,

则QD+QE的最小值为.

5.如图，点P是：UO8内任意一点，。尸=8c”点M和点N分别是射线04

和射线08上的动点，aPA/N周长的最小值是8c/n,则口的度数是

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6.如图，矩形/8C。中，AB=2,对角线ZC、8。交于点。U4OD

=120°,E为BD上任意点，P为AE中点，则PO+PB的最小值

为•

7.如图，O为坐标原点，口43。的两个顶点/(6,0),B(6,6),点。在边上，AD=

5BD,点C为的中点，点尸为边08上的动点，则使四边形尸周长最小的点尸的坐

标为.

8.如图，正方形N8E/的面积为4,口8位是等边三角形，点C在正方形/8EF外，在对角

线8尸上有一点P,使PC+PE最小，则这个最小值的平方为.

9.如图，在RtO45C中，C1C=9O。，口8=30。，点。、£分别在边4C、上，4。=14,点

P是边BC上一动点，当PD+PE的值最小时，/E=15,则BE为.

10.如图，在平面直角坐标系中，口48。的边在x轴上，口。8/=90。，^AOB=30°,AB

=3,点C是边的中点，点。在边。8上，且。。=工。8,点P为边0/上的动点，当

3

四边形PDBC周长最小时，点P的横坐标为.

11.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D

的坐标为(6.4),E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE

的周长最小，则点P的坐标应为.

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12.已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则

M4+MD+ME的最小值为.

13.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，

且EFDAC于点M,连接AF、CE,求AF+CE的最小值______.

14.如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且

AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为.

二、圆运动

J瓜豆原理（主动点与从动点问题）

1.如图，点。在线段AB上，04=1,08=3,以。为圆心，0A长为半径作。。，点M

在口。上运动，连接M3,以M3为腰作等腰RtU48C,使N/BC=90。，M,B,C三

点为逆时针顺序，连接AC,则AC长.的取值范围为.

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2.如图，已知］ABC为等腰直角三角形，［BAC=90°,AC=2,以点C为圆心，1为半径作圆，

点P为上一动点，连结AP,并绕点A顺时针旋转90。得到AP1连结CP1则CP，的取

值范围是.

3.如图，边长为2的正方形ABC。的顶点A,B在一个半径为2的圆上，顶点C,。在该圆内，

将正方形ABC。绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为

/\/\

/YC\\

4.如图，O的半径为6,AB是O的弦，将线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段CA,

当点A固定，点B在圆上运动时，则线段OC长度的最小为.

5.如图，正方形A8CD中，AB=2j5,O是8c边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,

连接OE,将线段OE绕点。逆时针旋转90。得。F,连接.求线段OR长的最小

值_______.

6.如图，ZVLBC中，A8=4,AC=2,以8c为边在AA8C外作正方形BCDE,BD,CE

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交于点o,则线段AO的最大值为.

7.如图，线段AB为的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P是。。上一

动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt^PCD,且使/DCP=60。，连接OD,则

0D长的最大值为.

8.如图，己知圆。中，QA=3,NAOB=120。，C是弧AB上的动点，以8C为边作正方形

BCDE.当息C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是.

9.如图，在RtAABC中，/。=90。,4。=6,48=10,。是8C的中点，尸为边8C上一个

动点,将线段绕点P逆时针旋转90。,点D的对应点为Q，则BQ的最小值为.

10.如图，四边形26。中，48=3,8C=2,若AC=AD^ACD=60°,则对角线8。的

长最大值为.

11.R/AABC中，zACB=90°,zABC=30°,AC=4,D为线段AB上一恒点，以BD为边

在SBC外作等边三角形BDE.若F为DE的中点，则CF的最小值为.

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□.线段中点轨迹为圆

1.如图，已知点A(3,0),C(0,—4),E1C的半径为岔，点P为UC上一动点，连接AP,若M

为AP的中点，连接0M,则0M的最大值为

2.如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(4,0),B(8,0),点M是圆P上的动点，点C是MB

的中点，则AC的最小值是

3.如图，在等腰R/AABC中，AC=8。=2正，点尸在以斜边为直径的半圆上，M为

PC的中点，当半圆从点4运动至点8时，点M运动的路径长为.

4.如图，半圆。的半径长为4,点P为直径上的一个动点.已知CP0/8,交半圆。于点

C若。为半圆。上的一动点,且8=3,点M是。的中点，则的最大小值________.

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5.如图，正方形ABC。的边长为4,E是CD边上一点，连接AE,过点8做于

点F,点G与尸关于CD对称，”为CG的中点，则A”的最小值为.

6.如图，菱形A8CO的对角线AC与BO交于点。，点E、尸分别是AC和上的动点，

且"=6,点P为ER的中点，己知AC=16,BD=12,连接3P、CP,ABPC面

积的最大值为.

□.隐圆（定线段对定角）

1.如图，AB是半口0的直径，点C在半口0上，AB=5,AC=4.D是弧BC上的一个动点，连

接AD,过点C作CE：AD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.

2.如图，在RtEMBC中，BC=4C=2,点M是ZC边上一动点，连接8M以CM为直径的□（?

交.BM干N,则线段AN的最小值为.

3.如图，半径为2,圆心角为90。的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA

引垂线PH交OA于点H,设DOPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,

内心I所经过的路径长为.

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4.如图，直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N,边长为2的正方形。A6c一个

顶点。在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点0旋转一周，则点P

到点(0,2)长度的最小值是.

5.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,

连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

6.如图，以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰1BCE,CE=BC,过E做EH:BC,

点P是RPCEH的内心，连接AP,若AB=2,则AP的最小值为.

7.如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两

点，点E为DG上一动点，CF」AE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所

经过的路径长为.

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8.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7,3）,点E在边AB

上，且AE=1,已知点P为y轴上一动点，连接EP,过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H,在

25

点P从点F（0,—）运动到原点。的过程中，点H的运动路径长为.

4

口.隐圆

（翻折类）

L如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2,

□AEQ沿EQ翻折形成口FEQ,连接PF、PD,则P/+F。的最小值是

（四点共圆）

6.在RfAABC中,AC=8,8C=7,0是8C边上一动点，OE_L于E,DF±AC于F,

EE的最小值为.

22.如图，在AABC中,AB=10,DBAC=60°,08=45°,*D是BC边上一动点，连接AD,以AD

为直径作口0交边AB、AC于点E、F,连接OE、OF、DE、DF、EF.

EF

□求力的值；

OE

□当AD运动到什么位置时,四边形OEDF是菱形，请说明理由；

□点D运动过程中,求线段EF的最小值

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(定线段)

18.如图，正方形A8CD和H/AAEE,A8=5,AE=AE=4连接8RDE.若ME/绕

点N旋转，当NABE最大时，5AA小=.

口.阿氏圆

1.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是A4O8外侧第

一象限内一动点，且NBPA=135。，求2PD+PC的最小值_________.

2.如图，AC=6,3C=8,A5=10,圆C的半径是4,点D是圆C上的动点，连接

2AD+B。的最小值是.

3.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=9,BC=12,以点C为圆心，6为半径的圆上有

一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

4.已知：扇形AOB中，□AOB=90°,OA=3,点C知分别在OAQB上,OC=2QD=DA.点P

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是AB上的一个动点。求PC+2PD的最小值是多少

5.已知菱形ABCD的边长为4,口8=60。，圆B的半径为2,点P是圆上一动点，2PD+PC

的最小值______.

6.如图，AA8C中，"©8=90。，AC=3,BC=4.圆C的半径为2,点P是圆C上一动点，

的最小值______.

2

4

7.如图，A8C。为边长为4的正方形，圆。内切于正方形，P是圆。上一动点，叵PA+PB

的最小值______.

8.如图，/?/AABC,ZACB=90°,AC=4,BC=3点D为ABC内一点，且满足CD=2,求

3AO+23。的最小值是.

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9.如图，圆半径为1,AB为直径，AC,BD分别与半圆相切。AC=1,BD=2,P为弧AB上一动

点，痣尸C+2尸。的最小值为

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w.费马点

10.在IZIMNG中，MN=6,□M=75°,MG=4也，点O是」MNG内一点，则点O到AMNG

三个顶点的距离和的最小值是

11.四边形A8C。是正方形，AAftE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意

一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.

□当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

口当AM+HM+CM的最小值为6+1时，求正方形的边长.

皿.探究题

1.已知关于X的一元二次方程一一（根—1）龙+加一3=0.

I解决问题］（1）求证：不论初取何值时，方程总有两个不相等的实数根.

（2）若直线y=（l）x+3与函数y^x2+m的图象G的一个交点的横坐标为2,求关

于X的一元二次方程/一（加一1卜+加一3=0的解.

［问题拓展］（3）在（2）的条件下，将抛物线y=/-（根一l）x+机-3绕原点旋转180P,

得到图象C2,点P为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别与图象6、。2交于

M.N两点，当线段MN的长度最小时，求点P的坐标.

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2.阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角

形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

如图1,在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：

AB2+AC2=2AD2+2BD2.小明尝试对它进行证明，部分过程如下：

解：过点A作AE1BC于点E,如图2,在RSABE中，AB2=AE2+BE2,

同理可彳导：AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,

为证明的方便，不妨设BD=CD=x,DE=y,

AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CEJ.

(1)请你完成小明剩余的证明过程；

理解运用：

(2)①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6,AC=4,BC=8,贝AD=；

②如图3,。0的半径为6点A在圆内且0A=2V2点B和点C在。O上目/BAC=90。,

点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为.

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拓展延伸：

(3外明解决上述问题后，联想到《能力训I练》上的题目如图4，已知。0的半径为5V5,

以A(-3,4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C都在0O上，D为BC的中点，求

AD长的最大值,请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值.