专题1.5二元一次方程组精讲精练（9大核心考点深度导练例题9道变式45道）-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】（原卷版）

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.5二元一次方程组精讲精练（9大核心考点深度导练，9道例题+45道变式）【知识梳理】二元一次方程：（1）二元一次方程的定义

含有未知数，并且含有未知数的的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是方程．②方程中共含有未知数．③所有未知的次数都是次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．（3）二元一次方程有．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．2.二元一次方程组的定义：（1）二元一次方程组的定义：

由一次方程组成，并含有未知数的方程组叫做二元一次方程组．

（2）二元一次方程组也满足三个条件：

①方程组中的两个方程都是方程．

②方程组中共含有未知数．

③每个方程都是方程．3.二元一次方程组的解法：（1）用法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

（2）用法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．4.二元一次方程组的应用（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．

（4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．【典例剖析】考点1二元一次方程（组）的定义【例1】若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（）A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2【变式训练】1．（2022春•慈溪市校级期中）下列方程中属于二元一次方程的是（）A．3π+x＝2y B．xy＝2 C．x2﹣3x＝y D．x+2＝y﹣12．（2022春•单县期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．x+y=1y+z=2 B．x+y=6C．xy=4x+y=1 D．3．（2022春•兴文县期中）已知关于x，y的方程组(m-3)x=2x-A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣34．（2023春•岱岳区校级月考）已知方程：（n﹣3）x|n|﹣2+y＝3为二元一次方程，则n的值为．5．（2022秋•清河区校级期末）若关于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，则mn的值是．考点2二元一次方程（组）的解【例2】已知x=-2y=1是方程组x-2y=2mA．4 B．﹣4 C．0 D．不能确定【变式训练】6．（2023春•东城区校级月考）已知x=2y=-1是二元一次方程y﹣kx＝7的解，则kA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．（2023•建湖县一模）已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（）A．x＝﹣4，y＝4 B．x＝4，y＝﹣4 C．x＝3，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝38．（2023•青龙县一模）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（）xmm+2ynn﹣3t5pA．17 B．18 C．19 D．209．（2023春•秀英区校级月考）若某个二元一次方程组的解是x=2y=1，则这个方程可以是10．（2023春•朝阳区校级月考）如果方程组x+y=⊗2x+y=16的解为x=6y=⊗，那么被“⊗”遮住的数是考点3解二元一次方程组【例3】解方程组：（1）x+2y=7x-2y=9；（2）x+y【变式训练】11．（2023春•任城区校级月考）方程组6x+2y=4①3x-3y=-6②，下列步骤可以消去未知数A．①×2+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×212．（2023春•襄都区校级月考）在解二元一次方程组6x+my=3①2x-ny=-6②时，若①﹣②可直接消去未知数y，则m和A．m＝n B．mn＝1 C．m+n＝0 D．m+n＝113．（2023春•南岗区校级月考）解下列方程组：（1）5x-y=1109y-x=110；（214．（2023春•南岗区校级月考）小李、小张两位同学同时解方程组ax+by=2mx-7y=-8，小李解对了，得：x=-2y=3，小张抄错了m，得：15．（2022春•偃师市校级期中）规定acbd=ad﹣bc，如2-130=2×（1）-235x+1（2）若3-2nm=1，32m考点4二元一次方程组的含参问题【例4】方程组x+2y=k，2x+y=1的解满足x+y＝3，则A．k＝﹣8 B．k＝2 C．k＝8 D．k＝﹣2【变式训练】16．（2023春•南岗区校级月考）若方程组4x+3y=7ax+(a-1)y=3的解x与y相等，则aA．0 B．﹣1 C．1 D．217．（2023春•原阳县月考）如果方程组x=3ax+by=5的解与方程组y=4bx+ay=2的解相同，则a、A．a=1b=2 B．a=-1b=2 C．a=118．（2023春•汨罗市月考）已知关于x，y的方程组x+3y=4-①x=5y=-1②当a＝2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x﹣2y＝3的解；④x，y间的数量关系是x+y＝4﹣a．其中正确的是（）A．②③ B．①②③ C．①③ D．①③④19．（2023春•杭州月考）已知关于x，y的方程组x+3y=7x-3y+mx+3=0（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．20．（2023春•朝阳区校级月考）已知，关于x，y的二元一次方程组3x-5y=36bx+ay=-8（1）求这两个方程组的相同解：（2）求（2a+b）2023的值．考点5利用整体思想解二元一次方程组【例5】若关于x、y的二元一次方程组3x-my=52x+ny=6，的解是x=1y=3，则关于a、b的二元一次方程组3(a+b)-【变式训练】21．（2023•泗阳县校级一模）已知二元一次方程组3a+2b=52a+3b=4，则a﹣b＝22．（2023•宁阳县校级一模）关于xy的方程组x+y=m-13x+5y=2m+3，则x+3y的值等于23．（2022秋•顺德区期末）关于x、y的方程组x+2y=k-（1）当k＝1时，解方程组；（2）若方程组的解满足x+y＝5，求k的值．24．（2023春•原阳县月考）阅读理解：在数学课上，李老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组x+3y=-13x+y=5，求x小红：把方程组解出来，再求x+y的值．小刚：把两个方程直接相加得4x+4y＝4方程两边同时除以4解得x+y＝1．李老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小刚”同学的思路体现了数学中【整体思想】的运用．请你参考小红或小刚同学的做法，解决下面的问题．（1）已知关于x、y的方程组2x+y=2a+1x+2y=5-5a的解满足x+y＝﹣3，求a（2）运用【整体思想】解答：若方程组ax+y=bx-by=a的解是x=1y=1，求25．（2023春•沙坪坝区校级月考）阅读探索：材料一：解方程组(a-1)+2(b+2)=6解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为x+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即a-材料二：解方程组4x+10y=6①解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：x=4y=-1根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：(a（2）若关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2（3）已知x、y、z，满足3x-2z+12y=47①考点6解三元一次方程组【例6】方程组x+y-z=7x+y=32x-y-z=4的解为【变式训练】26．若方程组x+4=y2x-y=2z中x是y的2倍，则zA．﹣9 B．8 C．﹣7 D．﹣627．（2022春•通道县期中）已知方程组x+y=4y+z=-6z+x=8，则x+y+A．3 B．4 C．5 D．628．（2022春•荷塘区校级期中）已知代数式ax2+bx+c，当x＝﹣1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（）A．4 B．8 C．62 D．5229．（2022春•秀英区校级期中）三元一次方程组2x+y=10x-y+z=43x-y-z=0的解是30．（2022春•西峡县期中）解方程组x+y=-考点7由实际问题抽象二元一次方程组【例7】程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有x人，小和尚有y人，那么根据题意可列方程组为．【变式训练】31．（2023•铁西区模拟）小明与小新共读一本书，小明4天里阅读的总页数比小新5天里阅读的总页数少100页，小新平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页．若小明、小新平均每天分别阅读x页、y页，则所列方程组为．32．（2023•余姚市校级模拟）“鸡兔同笼”是我国古代算术名著《孙子算经》中的第31题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则可以列出关于x、y的二元一次方程组为．33．（2023春•吉林月考）《孙子算经》中记载：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人元持钱各几何？”题目大意是：“甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48钱；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48钱．问甲、乙两人各带了多少钱？”设甲带了x钱，乙带了y钱，则可列方程组为34．（2022春•雄县期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和第一个方程，并求解这道应用题．应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得■■■■①0.8x+2(y-400)=7200②被墨水污染的条件是：．被墨水污染的第一个方程是：．35．（2023春•内乡县月考）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为3x+2y=19x+4y=23（1）任务一：图2所表示的方程组为．（2）任务二：请解你所列的方程组．（3）任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组．考点8二元一次方程的应用【例8】把60个乒乓球分别装在两种不同型号的盒子里，大盒装6个，小盒装4个，当把乒乓球都装完的时候恰好把盒子都装满，那么不同的装球方法有（）A．2种 B．4种 C．6种 D．8种【变式训练】36．（2023春•沙坪坝区校级月考）把一根长15m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有种．37．（2022秋•平度市期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种．38．（2022秋•莱州市期末）一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多9，这样的两位数的个数有个．39．（2022春•绵阳期中）面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．根据以上信息，解答下列问题：（1）恰好需要甲，乙布料各多少平方米？（2）在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．40．（2022春•岳麓区校级期末）已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如下表：A型车（辆）B型车（辆）共运货（吨）32172318某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．考点9二元一次方程组的实际问题【例9】某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：甲原料/m3乙原料/kg售价/元每百张A型纸124每百张B型纸1.235（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？【变式训练】41．（2022秋•成都期末）列方程组解应用题：为了丰富学生的课外体育活动，八年级2班需要购买排球和跳绳．根据下列对话，求出肖雨所购买的排球和跳绳的单价．42．（2022秋•于洪区期末）列方程组解