【高中物理竞赛大全】竞赛3电磁学50题竞赛真题强化训练解析版

【高中物理竞赛专题大全】

竞赛专题3电磁学

50题竞赛真题强化训练

一、填空题

1.（2019•全国•高三竞赛）如图所示是电台发出的无线电信号的接收电路图（P为耳

机），图中少画了一个元件，请用惯用的符号把这个元件补画在电路图中—.图中电

容器G起着的作用，电容器G起着的作用.

【答案】选台（或调频）的作用通高频，阻低频,

使音频信号通过耳机P

【解析】

【详解】

接收电路有一个检波过程，而检波是通过二极管来完成的.补画的元件如图所示.

电路中G的作用是通过改变其大小，改变接收回路的固有频率，达到选台（或调频）

的作用；而G的作用是通高频，阻低频，使音频信号通过耳机P.

2.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在水平面内有一个光滑匀质圆环，圆环总电阻为

Ro,半径为r,质量为团，初速度也向右，右半空间有均匀的稳定的垂直于面的磁

场，大小为及结果圆环进入磁场后恰好静止。整个过程中圆环中通过的电量大小

。尸。如果保持圆环单位长度的质量和电阻大小不变，但是把半径变为原来两

倍,为了使得圆环进入磁场后仍然恰好静止，则用应当变为原来倍。

【答案】喈2

【解析】

【详解】

[1]电量可以通过考查电流得到

⑵最终我们约去了时间，安培力作为阻力的冲量

式中/为导线在磁场交界面所截的宽度，X为向内的位移，实际我们不用计算这个积

分，能够通过观察看出

/OC/

动量

我们知道质量和电阻都与r成正比关系

则

故而我们知道为J'满足题设的运动条件，初速度也需要变成两倍

3.（2019•全国•高三竞赛）如图（a）所示，在一个立方体的网格中，每边上有一个大

小为ic的电阻，在"和M边上还有iv的电池，求时两点的电压差4-q,

=。调整一下连接方式如图（b）所示，把一个电池改加在ae上，求加两点的

电压差U'a-=o

【答案】|v|v

【解析】

【详解】

川我们将电路变形为平面的电路，如图所示

其中中间五个的电阻为g。，左右两边的为1C，分别计算两个电源在加上产生的电流

〃与/2,左边电源：

I=11=5

1+3+1〃2-2+212A

2225

右边电源根据并联电路分流关系有

j_

,571

2

第一空可知

u=£-afR=9

⑵在第二空中我们改换变形方式，并口根据对称性可知有两条棱上没有电流，我们将

它们移除出电路

此时ba上的电流

/=;=1=5

2+3Z/2吊8A

5

电压

3

U'=£-/R=—V

8

4.（2019•全国•高三竞赛）两个点电荷电量分别为+/质量均为〃?，间距为/,在静电

作用下，绕着共同的质心以相同的角速度做匀速圆周运动。静电常量为K,不考虑相

对论和电磁辐射，求绕质心运动的角速度。若/变为原来的两倍，仍然保持匀

速圆周运动，则两个电荷在质心处产生的磁场大小变为原来的倍。

【答案】4（或写0,和无法比较）

Vml

【解析】

【详解】

库仑力提供向心力，列方程

取正根为解

磁场强度由毕奥萨伐尔定律推导

可知结果，由于两个电荷各自产生磁场为原来2t，而总磁场为两者之和为0,因此变

化前后总磁场为0,因此如果理解为总磁场则结果为0/0,无意义或写例］

5.（2020•全国•高三竞赛）如图，导电物质为电子的霍尔元件长方体样品置于磁场中，

其上下表面均与磁场方向垂直，其中的1、2、3、4是霍尔元件上的四个接线端。若开

关Si处于断开状态、开关S2处于闭合状态，电压表示数为0；当开关Si、S2闭合后，

三个电表都有明显示数。已知由于温度非均匀性等因素引起的其它效应可忽略，则接

线端2的电势一（填“低于”、“等于”或“高于“）接线端4的电势；若将电源用、心均

反向接入电路，电压表的示数—（填“正负号改变，大小不变”、"正负号和大小都不

变”或“正负号不变，大小改变

【答案】低于正负号和大小都不变

【解析】

【详解】

开关Si接通以后，产生的磁场方向由上到下，霍尔元件中的电流方向由1到2,

因此电子的运动方向由2到1,则由左手定则可知电子向2方向偏转，因此2—面的

电势低，当电源曰和E2反向，则磁场方向和电子移动方向均反向，因此电子的偏转

方向不变，电压表的正负号不变，磁场的强度不变，电流的大小不变，电子的移动速

度不变，因此

可知电压表示数不变。

二、解答题

6.（2019•全国•高三竞赛）一电流秤如图所示，它的一臂下面建有一个矩形线圈，共有

〃匝，这线圈的下部悬在磁感强度为5的均匀外磁场内，下边长为/的一段与8垂

直.当线圈的导线中通有电流/时，调节祛码使两臂达到平衡；然后使电流反向，但

大小仍为/,这时需要在一臂上加质量为，”的祛码，才能使两臂再达到平衡.试求磁

感强度的大小B,并计算当/=10.0加，/=O.IOOA,〃?=8.78g,〃=9时B的值

【答案】B=0.479T

【解析】

【详解】

如图所示，线圈下边的水平部分所受的安培力方向向下，其大小为

F=11B.

电流/反向后，安培力的大小仍为上式，但方向则向上.矩形线圈两边的竖直部分所

受的安培力都在水平方向，而且大小相等，方向相反，对电流秤没有影响，于是按题

意得

mg=2xnllB=2nllB,所以，8=些.

2nll

代入数值得3=4.79T.

从知识点的要求与难度上讲，电流秤的原理及应用在常规教学领域都是应该熟练掌握

的，属于安培力的基本应用题.当然，本题亦有一些变式，如引入线圈的质量等.

7.（2019•全国•高三竞赛）如图甲所示，经U=1000V电压加速的电子（加速前电子静

止）从电子枪T射出，其初速沿直线a的方向.若要求电子能击中在。=60。方向飞、

与枪口相距”=5.0c7〃的靶M,试求在以下两种情形，所需的匀强磁场的磁感应强度8

的大小：

（1）磁场B垂直于由直线a和靶M所确定的平面；

（2）磁场B平行于枪口T向靶M所引的直线7M

【答案】（1）8=3.7xl（r3T（2）B=«X6.7X10-3T，〃=1，2,3,...

【解析】

【详解】

设电子从枪口T射出的速度为叭则故v陛,

2Vm

式中加，e分别为电子的质量、电量（绝对值）.

（1）如图乙所示，为了击中靶/，电子圆轨道的半径R与d及。应满足关系：

d

sine

又，圆半径R与磁场B的关系为汽=、.

由上两式，为了击中靶，8的大小应为B="皿值”.

aye

把已知数据代入得：8=3.7X10-3T.

（2）时，电子作等距螺旋线运动，如图内所示，电子以Vp=ucos夕沿力以做

匀速直线运动，到达M点所需时间为，=一^一,同时，电子以巳=vsine在垂直于8

NCOS夕

的平面内做匀速圆周运动，绕一整圈的时间即周期7=空.为了能够击中M点，要

eB

求t=”T（〃=1,2,3,L）,故要求5为B=四臂上£（〃=I,2,3,L）.

把有关数据代入，得B=〃X6.7X1（T3T.

本题中的问题（1）是粒子在平面内的运动，两问题（2）则是空间的螺旋运动.在阅

读问题（2）的解答时，应知道图中的虚线实际上是一条空间螺旋线，而不是平面曲

线.

即使粒子是平面运动，其研究过程也无法避开空间问题，因为粒子的运动方向、受力

方向、磁场的方向本身就是以空间形态呈现给我们的，如果粒子的运动轨迹再以空间

形态出现，其难度可想而知.

空间问题的处理能力，是参与物理竞赛的学生必须具备的能力，而且该能力在各种能

力要求中处于特别突出的位置.

8.（2019•全国•高三竞赛）近代的材料生产和微加工技术，可制造出一种使电子的运动

限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一

样飞行，不受杂质原子散射的影响.这种特点可望有新的应用价值.图甲所示为四端

十字形.二维电子气半导体，当电流从1端进入时，通过控制磁场的作用，可使电流

从2,3或4端流出.对下面模拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体

中的流动.在图乙中，。、b.c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得

很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间

（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸内.以B表示磁感应强度的大

小.一个质量为机、电荷量为9的带正电的粒子，在纸面内以速度%沿与。都相切

的方向由缝1射入磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞

时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用.试求B为何值时，该粒

子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出？

【答案】8=篝

3qR

【解析】

【详解】

在图中纸面内取xOy坐标（如图内所示），原点在狭缝1处，X轴过缝1和缝3.粒子

从缝1进入磁场，在洛仑兹力作用下做圆周运动，圆轨道在原点与X轴相切，故其圆

心必在y轴上.若以r表示此圆的半径，则圆方程为必+（），_厂）2=/.

根据题目要求和对称性可知，粒子在磁场中做圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4

间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为

x=2/?-/?sin45°,y=R-Rcos45。，解得〃=3R.

由洛仑兹力和牛顿定律有9匕出=〃2,，所以，B=端.

本题是第26届全国中学生物理竞赛预赛试题.

带电粒子在磁场中的运动是常规教学中训练最多的题型之一.解答此类问题，要求答

题者具备较强的几何认知能力，对带电粒子的各种圆轨迹的形态、边界、圆心位置的

确定、半径的计算等，能做到熟练应对.

遗憾的是，在常规教学中对轨迹的讨论几乎都局限在平面内进行，而在竞赛中往往又

会出现空间特性，要求更高.

9.（2019•全国•高三竞赛）如图所示为一两端无限延伸的电阻网络，设每小段电阻丝电

阻均为1。，试问：A、8间等效电阻R,为多少？（结果保留三位有效数字）

xl

【答案】-7=0.4650

A+A

【解析】

【详解】

将该网络压扁，如图1所示，除A8，BC,CD,OA间各边电阻为1C外，其余电阻

为:。

现在我们讨论MNPQ的内部电阻

我们将RS7Z的内部电阻等效为图2所示电路，其中“，匕为待定值,由于RS7L与

MNPQ全等,则有如图所示的等价关系，此等价关系即广。］肥照

下标的1代表图3,2代表图4

（1）区”的分析

（金+甘

①心心由对称性，去掉NS,SL,小得“号/

②心,由对称性,去掉阳’得R—k'

解得金x/3-l

4+82

（2）尺版的分析

①RMQ,.如图5所示，取回路MNPQM,MRLQM,RSTLR,RLTR.QLTPQ得

6帅+7〃+2仍+16+迎

a

2。+5

2a+4Z?+8+8/＞

7,-3/3+/4=0

____________«_/

/-//「/"一叫=02=2a+56

c,cri，6b

lab+3。+78+6+一

Z5-3Z2+3/5+4/6-Z4=0解得

36

a/5-a(/2-/5-/6)-W6=02。+5

512+a(，2_，5-5)_］，3=02a+2+—

14=--------4

2a+56

313b

3b+-+——

22。J

5--2a+5：25

_|A6ab+7a+2g+I6”+16

CI

故RM。，＞+…

\6ab+24a+64b+—+60

a

②号如图6所示，由回路MNP0M,MQPM得

.a+3h.

*"kA

/7-(3/9-/8)«=0

解得

a/7-Wg-a/g=0rJ+b

92a8

的R_叫一(a+3〃)a

故'叫―/,+/8+/9.4a+4。

6"+7“+2g+呦+16

(a+3b)a

a___⑧___

4Q+4Z?16帅+24〃+64H迎+60

于是有＜a

⑨

a+b2

令x=g,由⑨得\=(6T)-X⑩

由⑩代入⑧化简有*2-2*-1=0.则x=l土夜

a=（夜_1）Q

又a>0,则x>0,所以，x=0+l，所以，《，厂r-\

Z>=（V3+V2）Q

于是ABC。如图7所示，同上步骤可得：

（

<=18.93//./；=14.55/；，I；=7.191；，/；=2.64/；，/5=10.57//.

/'xl

则必产丁七~；=0.465Q

A+，2+，3

10.（2019•全国•高三竞赛）两平行导线中电流方向相反时，它们便互相排斥，有一种

磁悬浮列车便是利用这种排斥力使列车悬浮在车轨上运行的.设想两个相同的共轴圆

线圈，半径都是R,匝数都是N,相距为>载有相反的电流/,如图所示.假定一个

线圈中的电流在另一线圈处产生的磁感强度的大小可近似当作8=空”.试估算在

r=10cm,R=1.0加时，要使排斥力为尸=10吨力，所需的安匝数N/

【答案】M=8.8xlO4A•匝

【解析】

【详解】

排斥力为F=NUB=NI-2nR-幺网='

2兀厂r

।旦=8.8x107.匝.

故所求的安W.数为N/=

4＞尺

本题是有关安培力的基本计算题，本身难度不大，但本题也给我们提供了思考的空

间，要使得磁悬浮达到实用，需足够大的安匝数，而要将这样大的安匝数的功率八/?

限制在实际可能的范围内，只有采用超导材料制成的线圈才行，于是，本题提供的基

本模型便有了延伸的空间.

11.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于纸面向内随

时间均匀增加的磁场”=力.在与圆心。距离为d的位置P处有一个钉子，钉住了一

根长度为/，质量为加的均匀绝缘棒的中心，绝缘棒能在平面内自由无摩擦地自由转

动.绝缘棒上半截均匀带正电，电量为。，下半截均匀带负电，电量为-Q.初始时刻

绝缘棒垂直于OP

（1）计算在P点处钉子受到的压力

（2）若绝缘棒受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽

略），求证此运动是简谐振动，并计算周期.（绝缘棒绕质心的转动惯量为/=上，"尸）

【答案】⑴半⑵7=2兀唇2加晶

【解析】

【详解】

设由变化的磁场产生的涡旋电场大小为E,则有EW詈

得到E=方向垂直于与。的连线.

kk

则杆上场强分量为纥=---y，E=--d.

22

（1）由于上下电量相反，》方向的场强为定值，故钉子在方向不受力.

在X方向上，其所受电场力（考虑到上下对称）为尸=2x1-，2t.y.条dy]=平.

（Jo2Z/2）4

故钉子压力为半.（由于电场和y坐标成正比，因而也可以使用平均电场计算电场

4

力）

（2）设绝缘棒转过一微小角度。，此时，y方向的电场力会提供回转力矩.（由于力

臂是一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小量，忽略二阶以上小量，因

而不必计算电场力改变量产生的力矩.由于电场几乎是均匀的，所以正电荷受力的合

力力臂为少!）

4

M=--d-Q-0-=-^-0,而河=/',则0+^^（9=O.

2444/

这是简谐方程，故绝缘棒的运动是简谐运动，其周期为7=2%但=2兀,£旦.

12.（2019•全国•高三竞赛）（1）一维电磁驻波E（x）=Asin化x）在x方向限制在“0

和x=a之间.在两个端点处驻波消失，求上的可能值.

（2）弦理论认为物理空间多于三维，多出的隐藏维空间像细圆柱的表面一样卷了起

来，如图中y坐标所示，设圆柱的半径为在圆柱面上电磁波的形式为

E（x,y）=Asin化x）cos化y）,其中y是绕圆柱的折叠空间的坐标.求心的可能值.

（3）光子能量卬=/#；+片,其中％=1239（eVx/w〃），W表示1电子伏特，

等于IO-〃入目前人类能产生的最高能量的光子大约为1.0义10口eV.如果该能量能够

产生一个折叠空间的光子，匕的值满足什么条件？

〃兀727

【答案】（1）h=—,〃=1,2,3,...（2）ky=—,zn=1,2,3,...（3）

1239

b>----xi0'2nm2x10l0/7z?z

2兀

【解析】

【详解】

（1）要使得电磁波在两端形成驻波，则长度应是半波长的整数倍，相位满足：

kxa=nn,即《=—,n=\,2,3,....

（2）要使得电磁波在V方向上的形式稳定为E（x,y）=Asin的x）cos（"）,则圆柱的

m

周长应为波长的整数倍，相位满足：田2瓶=2机兀，即号=丁，m=\,2,3,....

）b

编由哈祟国得啜佰而=心

所以，吧也竺<10;即6>也2x10*”,〃,2x10-1°〃,〃

271b2兀

13.（2019•全国•高三竞赛）在图1所示的二极管电路中，从A端输入图2所示波形的

电压，若各电容器最初都没有充电，试画出8、0两点在三个周期内的电压变化.将

三极管当作理想开关，B点电压的极限是多少？

【答案】2U。

【解析】

【详解】

将过程分为三个阶段，记为a、B、丫.

在第一个!周期内，力增加，UA>Ul）>0,因此二极管2截止；又因"加20,二极

管"保持导通，等效电路如图1所示，在此阶段U"=U"=UJ2,记为a

然后以开始减小，但力。保持不变，最初仍然大于零，因此，2依然截止.不过

S,正在逐渐减小，所以R截止.由于电容上的电荷无处可走，/保持不变，Ug也

保持不变.这个阶段一直持续到U"=0,这一过程等效电路如图2所示，记为夕.

不过，4<0是不可能的，所以。“=0直至力=-[.这一过程等效电路如答图3所

示，记为九

下面力又从-U。开始增加，然后又保持在-U。不变（再次处于夕阶段），而

力〉〃停留在4/2,直到〃升至当〃=力时/阶段结束.

而后新的a阶段又开始了.

每个周期均按的次序通过各个阶段，但是电路并不是随时间周期变化的,

这可以从图4中看出.%等比地趋近于2U。，即是说3-3U。，3

248

—U,....

16a

这个电路称为电压倍增器

14.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，一电容器由一圆形平行金属板构成，金属板的

半径为R,间距为d,现有一点P,在两金属板的中位面（即平行于两板，且平分两

极板所夹区域的平面）上，尸到两中心。的距离为R+r（r>0）R,已知极板所带的面

电荷密度为土且试求尸点的场强大小E尸

■.ITO'Cl

【答案】Ep'----

2兀£（/

【解析】

【详解】

我们用磁场来类比，引入假想的磁荷心,、4叫，口定义

尸=，=半,，且乜=2=4冬L

4兀〃0/q也4兀〃。r

下面我们通过磁偶极子与环电流找到联系：

对于一士心的磁偶极子，磁矩P.,=qj,而对于一个电流为/的线圈，磁矩

p,；=Ws.当p”,=p/时.有q”J=〃。/s.

对于此题，我们认为上、下两极板带磁荷面密度为土e“，则对于AS面积中的上、下磁

荷，我们看作磁偶极子，则若用环电流代替，有41Asd=4/AS,

所以，丁餐

于是，该两带电磁荷板可等效为许多小电流元的叠加，而这样的电流源会在内部抵

消，最后只剩下最外层-大圆，且/二色」.

在P点处的磁场强度，由于R?r,故可认为由一距P距离为〃的无限长通电导线所产

__BIad

生，且其中的电流为/，则”「=-=「=丁乙.

An2兀厂2兀7年

由于电、磁场在引入磁荷后，在形式上完全一样，则与=/-

2Tt£Qr

15.（2019•全国•高三竞赛）在一环形铁芯上绕有N匝外表绝缘的导线，导线两端接到

电动势为£的交流电源上，一电阻为R、自感可略去不计的均匀细圆环套在这环形铁

芯上，细圆环上。、6两点间的环长（劣弧）为细圆环长度的将电阻为r的交流电

流计G接在〃、b两点，有两种接法，分别如图1、图2所示，试分别求这两种接法时

通过G的电流

【看枭】租"-

【解析】

【详解】

解法（1）：细圆环中的电动势为

细圆环上油段的电阻为

劣弧也等.

如题图1中接上G后，G的电阻，与此”并联，然后再与《；串联，这时总电阻便为

6=旦_+必，=旦+创业.

r+&b（nr+Rn

J_^R_£_______1_______

于是，总电流（通过优弧扁；的电流）为广五=।（〃—l）h.

〃r+Rn

（请读者自行推导此式）

则通过G的电流为彳=U

Knr+R1%[(〃-1)/?+〃2厂]

—+r

n

（请读者自行推导此式）

解法（2）：如题图2中接上G后，G的电阻〃与此；并联，然后再与H面串联，这时总

电阻便为

[_^R_£_______1_______

于是，总电流（通过劣弧治的电流）为2一瓦一刀（〃一1）次上R,

----------7----------7-------1------

〃r+(〃-l)Rn

n(n-l)£

则通过G的电流为，2=

N[(〃-I)R+岛]

16.（2019•全国•高三竞赛）表面绝缘的细导线绕成一个半径为R的平面圆盘，一头在

盘中心，一头在盘边缘，沿半径每单位长度为"匝，如图所示.当导线中载有电流/

时，将每匝电流都当作圆电流，试求圆盘轴线上离盘心为,处P点的磁感强度8

【答案】，In----------------r7—■,方向沿轴线向右

2[（「Jy/r2+R2_

【解析】

【详解】

由毕奥-萨伐尔定律和对称性可知，半径为R的圆电流J在轴线上离圆心为『处产生的

磁感强度B沿/的右旋进方向，其大小为

„r/z/d/sin9O°./LI1-2nRR网内

B=o——rysinQ=Q

y4兀（尸+R-）4K（r2+7?2）J产+R22（产+/?2户

D氏IN

所以'-2（尸⑵

式中，为电流/的右旋进方向（即图中沿轴线向右）的单位矢量.

图中沿半价dR氏度上的匝数为“dR,其电流为d/=〃/dR.由式②,，这电流在尸点产

生的磁感强度为

2

pi}nIRdR

dB=2（户+对24.③

积分便得所求的磁感强度为

2r

17.（2019•全国•高三竞赛）一载有电流/的导线弯成椭圆形，椭圆的方程为

22

马+马=1,a>h,如图所示，试求/在椭圆中心。产生的磁感强度综

a~h

【答案】幽

7Tb

【解析】

【详解】

根据毕奥-萨伐尔定律，椭圆上的电流元也在椭圆中心。产生的磁感强度为

4”

式中〃是电流元/出到。的矢量，有

dZxr=（d/）rsin（pex,②

式中，为垂直于纸面向外的单位矢量，由图乙可见

(d/)=sine=2。.③

将式②③代入式①便得

为了积分，换成用极坐标表示，以椭圆中心。为极点，》轴为极轴，如图所示，便有

x=rcos0,y=rcos0.⑤

代入椭圆方程得

E+a，⑥

a-b1

得出1=，\lb2cos2^+a2sin29.⑦

rab

代入式④得所求的磁感强度为

112222

Bu=^'\\lbcos^+asin0d0et.⑧

这个积分是一种椭圆积分，为了化成标准形式，作如下变换:

所以，b2cos20+a2sin20=b2sin2(1)+a'cos2(/)

=cr-^a2-b2>jsin2</>.⑩

代入式⑧，并由任彳7询/可是。的以兀为周期的函数，使得

=等「,正6。2加四1,@

式中，e是椭圆的离心率，

式⑪中的积分叫作第二类全椭圆积分，其值为

E=J：-sin2(d。=]135

2-4.6

于是得所求的磁感强度为

本题从练习功能上讲，与上题有相似之处，特别是在积分技巧方面，肯定是需要中学

生特别注意并加以训练的.

既然竞赛不再回避积分运算，那么二次函数的积分一定是竞赛生需要掌握的内容，希

望本章中的相关练习题对读者有所帮助.

18.(2019•全国•高三竞赛)电流/沿双曲线流动，双曲线方程为1,如图所

CTb2

示.试求/在焦点/产生的磁感强度

【答案】禁

【解析】

【详解】

本题用平面极坐标求解较方便，以焦点F为极点，x轴为极轴，如图所示，将双曲线

方程用平面极坐标表示为

r=①

1-ecos。

式中〃和e与题给的参数〃和〃的关系如下：

h2b2

p~=-I—②

Cyla2+h2

五2+6号③

代入式①得

a-yja2+b?cos。

由毕奥-萨伐尔定律，有

吟应学.⑤

4兀厂

由图可知，焦点的磁感强度耳垂直于纸面向外，于是得

吗="娱丝"，⑥

4疗

式中9是出与r(d/到焦点尸的矢量)之间的夹角，。是垂直于纸面向外的单位矢

量.

由图可见

(d/)sinQ=2,.⑦

代入式⑥得

皿=组峥,⑧

4兀厂

将式④代入式⑧得

(\BF=(CLA/CJ+b2cos6)d6C1.(9)

枳分得J?,,=-7f（a-Jer+厅coso\dOei

4nrb'Jo\'

=坐不⑩

2b2'

本题与上题一样，也是有关二次函数的积分，其难度体现在积分计算的技巧上，供大

家练习、巩固.

19.（2019•全国•高三竞赛）导体杆水平挂在两根柔软导线上，放入磁感强度3=17的

竖直向下的磁场中（如图所示）.杆长/=0.2①，质量枕=10g,导线长《=0.1，“电容

C=100X10-6F,电容器充电到电压U=100V,接到导线的固定点上.求：

（1）当电容器放电后（可以认为在很短时间内放完电），系统离开平衡位置的最大偏

角为多少？

（2）如果当电容C°=10xl（）Y,F的电容器充电到相同电压再接入系统时，系统最大偏

角4=2。，那么当接上另一个电容器并且也充电到相同电压再接入系统时，系统最大

偏角4=3。，则该电容器的电容G为多少？

【答案】（1）a®12（2）C,=15xl0^F

【解析】

【详解】

（1）当电容器接通时电流i开始通过杆，由此受到安培力作用:

F=Bli.

电流随时间从最大值平稳地减小到零，所以安培力与时间有关.

由于电容器放电时间加很短，可以认为在加时间内杆离开平衡位置位移小并且杆在水

平方向获得动量丸将时间加分成大量元段，其间每一元段的安培力可以认为是恒定

的，根据动量定理列出方程

BlYiAt=Blq,及v=B=旦q.

mtn

式中q为通过杆的电荷.到电容器放电完毕时，有。=（^/,

BICU

所以，v=-----.

m

根据机械能守恒定律，有g，/=〃?g/|（］_cosa）.

由此得ia）警挛

2gli2glM-

但是1-cosa=2sin2—,

2

B1CU

及a=2arcsin=2arcsin0.1«12°

2m向

.%BIU「.qBIU>

⑵因为即彳=两以刖万=嬴密G,

.a

sin—x

所以，G=—~c。.

sin&

2

考虑到粤和g均为小角,所以，sin等一争，singag,

222222

结果得到G=26=15x10-6-

«<>

首先，本题解答过程中的P=2F&=Bl^iAt=Blq是计算安培力的冲量的典型方

法，其结论可作为推论进行应用，这一推论不论是在常规教学还是在竞赛中都有极为

广泛的应用；

其次，基于现阶段的知识掌握，题目设置了电容器“可以认为在很短的时间内放完电”

这一条件，忽略放电结束时剩余电荷的存在，这实际上是基于学生没有学习电磁感应

的种近似.因为，当电容器放电结束时，由于金属杆在磁场中的运动，必然会产生

感生电动势，亦即电容器两端还会有一定的电压，则电容器上的电荷也就不可能全部

放完.

20.（2019•全国•高三竞赛）台式或墙式电流计是一种很灵敏的电流计，它的矩形线圈

由金属丝悬挂在圆柱形铁芯和永磁铁之间的狭缝里，这狭缝里的磁场线是辐射状的；

金属丝上固定了一个小反光镜，镜前有照明光源和圆弧形标尺（圆弧的中心在线圈的

转轴上），如图所示.当线圈内有电流/通过时，线圈便受力而转动.已知线圈是由表

面绝缘的细导线密绕而成的，长为。，宽为共有N匝，金属丝的扭转系数为3磁

感强度为8,弧尺的半径为R.

（1）试求电流为/时，磁场作用在线圈上的力矩M和线圈的偏转角度风

（2）当弧尺上的光点偏转为/（/《R）时，通过电流计的电流是多少？

・依八NIabB，八kO

【答案】（1）0=---（2）/r=——

kNabB

【解析】

【详解】

（1）由于线圈所在处的磁场呈辐射状，故磁场作用在线圈上的安培力矩的大小为

M=NIabB.

当线圈偏转的角度为。时，便有姐=河，所以，。=

k

（2）由图可见，弧尺上的光点偏转/（/《/?）时，线圈的偏转角为

磁电式电流表的内部结构中，指针偏转平衡是通电线圈产生的磁力矩与扭转弹簧（或

金属丝）间构成的平衡，在这一平衡中，一方面磁力矩的大小与线圈中的电流/成正

比，另一方面是弹簧的扭转力矩与扭转的角度。成正比，于是有08/,这也是磁电式

电表刻度均匀的原因.

本题中金属丝上的反光系统起到了放大扭转特性的作用，在很多微小的扭转装置中均

有应用.

21.（2019•全国•高三竞赛）距地面〃高处水平放置距离为L的两条光滑金属导轨，跟

导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为£的电池，电容为C的电容器及质量为

机的金属杆，如图所示，单刀双掷开关S先接触头1,再扳过接触头2,由于空间有竖

直向下的强度为B的匀强磁场，金属杆水平向右飞出做平抛运动.测得其水平射程为

5,问：电容器最终的带电量是多少？

【答案】Q=Ce-

【解析】

【详解】

先由电池向电容器充电，充得电量2>=C£,之后电容器通过金属杆放电，放电电流是

变化电流，安培力厂也是变力，我们选取一个微元时间进行研究，根据动量定理有

FNt=BLiZ,BPBL\q=m\v.

对上式两边求和有8%=,ms其中4是电容器所放电量.

综合得v=s舟所以，

电容器最终带电量为

本题与第10题属同一类型的试题，都是电容器放电时，对放电电流产生的冲量效果的

研究.

根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果，实际上就是寻找电量和导体动量变化的

关系.

本题所给的模型，实际上就是电磁炮的雏形，有很大的拓展空间，读者可对电容器的

放电情形及相关模型进行归类训练.

22.(2019•全国•高三竞赛)如图所示，设在讨论的空间范围内有磁感强度为8、方向

垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面上有一长度为〃的光滑绝缘空心细管MN,在其M

端内有一质量为加、电量为+4的小球4,管的N端外侧有另一不带电的小球尸开

始时《相对管静止，管带着＜以垂直管方向的速度K向右运动，鸟则以巴的速度向反

方向运动.如果B从N端离开后最终能与2相碰，试求匕的值.设B、h、m、q、

匕均已知，且管的质量远大于〃?，并忽略重力的作用

【解析】

【详解】

粒子《在图中水平被空心细管带着向右匀速运动，则会产生一个竖直向上的洛仑兹

力，其大小恒为Bqw，因此粒子在该方向上做匀加速运动，粒子［的整体运动为一类

平抛运动.

粒子片离开细管后，做匀速圆周运动，且=L="理

qBYq2B-

xV.

,,।.tan0'=-----=L=——=tan0

又由图有竺1v,,

%B

所以，巴轨迹圆心。在细管出发位置正上方.aWv2(r,+r2)=x,

其中芍=仃一多7在一夕］卷(&=1,2,3,L),

27tIit)qB

且6=arctan—=arctan

'v.hqB

2m==(上=1,2,3,L).

进而可得彩=7

皿+E-arctan2qBh'

201Vlmvy

带电粒子在电场与磁场中的运动类问题，其多以多过程的拼接为特点，粒子可以是在

不同的磁场中运动，可以是在电场与磁场中交替运动，也可以是同一种粒子分别在两

种场中运动，然后进行对比性研究，通过增加过程、增加信息量的方式来增加试题的

难度.而解答此类试题的要点便是根据粒子的运动过程，逐步分析、研究并运用规

律，一步一步解答问题.

23.（2019•全国•高三竞赛）质量为机、电量为4的粒子以垂直x轴方向的初速度%,

飞入磁感强度3=or（x>0）的非均匀磁场中（如图所示）.求粒子沿x轴的最大位移.

【答案】皿

Vaq

【解析】

【详解】

磁场对粒子产生洛仑兹力作用.该力垂直速度，只改变速度方向.但是在非均匀磁场

中速度将增加，这就引起轨道曲率半径减小，所以粒子轨道将不是圆弧.

注意，洛仑兹力在y轴分力改变粒子相应的分速度，有关系式尸,=机包二

■\t

这分力与粒子分速度匕有关：4=”（6匕.

由此得到煞=第3匕.

上式两边同乘以时间增量，得到=匕&.

由于8（x）=ax,所以，Avv=—A-AX.

m

我们得到微分比例.当粒子在X轴分速度减少到零时，粒子沿X轴位移达到最大值.这

时粒子在y轴分速度达到零.对于这种情况，有△匕=%且％

m2

由此得到所求的粒子位移：%=」皿.

当物体的受力大小与速率成正比时，我们在很多场合下都会提及动量定理的应用，其

中自然会涉及Ar=议”这一关系式的应用，只是在洛仑兹力这一背景下，x与v是两个

正交方向上的量.经验表明，很多答题者会沿用阻力与速度成正比的情形进行讨论，

即将x与v用同一方向上的量进行计算，结果导致不必要的错误.

24.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在半径为R的圆筒形真空管中有两个隔板，将

管内分为三个区域，两隔板中央各有小孔A和4,两孔间距为L.在左边的区域/中

有加速电场，在中间的区域II中有沿管轴方向的匀强磁场8,在右边的区域III中既无

电场也无磁场，区域I中的阴极K连续发射的电子经其中的电场加速后，使穿过小孔

A的电子形成发射束进入区域II.设穿过小孔A的这些电子的速度沿管轴方向的分量

均为“设电子之间的相互作用可以忽略.当将区域H中沿管轴方向的磁感应强度的

大小调到某值时，从小孔A进入区域H的电子便能穿过小孔4射出，把这些磁场的最

小值记为线.取从A到4的方向为正方向，区域H中的磁场B随时间变化的曲线如图

乙所示，即从1=0起8沿正方向，每经（时间8反向一次，T是B的变化周期.从

1=0开始，电子束连续地从小孔A进入区域H,设凡遇管壁的电子均被管壁吸收.

（1）为使从小孔A进入区域H的电子能穿过小孔A到达区域HI,试求磁场8变化周期

的最小值”.

（2）若取磁场变化周期7=27；,试在