线性代数习题全解

第六周习题解答习题2.3(A)1.计算下面4阶方阵的行列式的值解按第一行展开2.计算下列行列式解(加边法)习题2.3(B)1.计算下列方阵的行列式解2.用Laplace定理计算下列行列式解按第1,2行展开习题3.1(A)3.已知n阶方阵A满足A3=0，试证E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。第八周习题解答习题3.2(A)2(2).解矩阵方程解,,,8.设矩阵A满足AB=A+2B,且求矩阵B.解由AB=A+2B,得(A-2E)B=A,,11.设P-1AP=,其中求A11.解第十周习题解答习题4.1(A)2.问,取何值时，齐次线性方程组有非零解。解当=1或=0时,A=0,齐次线性方程组有非零解。3.问取何值时，非齐次线性方程组1)有惟一解；2)无解；3)有无穷多解。解当≠1且≠-2时,A≠0,方程组有惟一解.当=-2时,R(A)=2,R((A,b))=3,方程组无解;当=1时,R(A)=R((A,b))=1<3,方程组有无穷多解;另解当=1时,R(A)=R((A,b))=1<3,方程组有无穷多解;当≠1时,习题4.2(A)2.设其中求.解由得4.设向量线性相关，求t的值。解：线性相关，有非零解，(原版)9.设向量若向量组线性无关，证明向量组线性无关。证设，即若向量组线性无关，则所以向量组线性无关。(新版)9.设是一组n维向量,已知n维基本向量能由它们线性表示，试证线性无关。证能由线性表示,即有即∴∴向量组线性无关.第九周习题解答习题3.3(A)5.求矩阵A的秩解(1)当a=-8,b=-2时,R(A)=2;(2)当a=-8,b≠-2时,R(A)=3;(3)当a≠-8,b=-2时,R(A)=3;(4)当a≠-8,b≠-2时,R(A)=4;第十一周习题解答习题4.3(A)2.利用初等变换求下列矩阵的秩和行向量组的一个极大无关组(2)解:所以R(A)=3,矩阵A的行向量组的一个极大无关组为(注:也是一个极大无关组)3.求下列向量组的秩，并求一个极大无关组解所以向量组的秩是2,一个极大无关组为4.求向量组的秩和一个极大无关组，并将该极大无关组以外的向量表成极大无关组的线性组合。解所以向量组的秩是3,一个极大无关组为第十二周习题解答习题4.4(A)1.求下列齐次线性方程组的基础解系,并写出通解(1)解:原方程可化为令5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知1,2,3是它的三个解向量,求该方程组的通解.解:四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,对应的齐次线性方程组的基础解系含4-3=1个解向量,已知1,2,3是非齐次线性方程组的三个解向量,可知对应的齐次线性方程组有解向量所以非齐次线性方程组的通解为即6.求解下列非齐次线性方程组,并写出它的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系解增广矩阵原方程组可化为令它的一个解是对应的齐次线性方程组的基础解系是(2)增广矩阵原方程组可化为令它的一个解是对应的齐次线性方程组的基础解系是第十四周习题解答习题5.2(A)在实数域上,求下列矩阵的特征值与特征向量,解:1)得A的特征值为1=2=2，3=-2，对1=2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0方程组可化为得基础解系所以,矩阵A对应于1=2的全部特征向量是是不同时为零的任意常数.对3=-2，解齐次线性方程组(-2E-A)x=0方程组可化为得基础解系所以,矩阵A对应于2=-2的全部特征向量是是不为零的任意常数.3)得A的特征值为=4，对=4，解齐次线性方程组(4E-A)x=0方程组可化为得基础解系所以,矩阵A对应于=4的全部特征向量是是不为零的任意常数.3.证明：A与AT的特征多项式相同，从而特征值完全相同。证:，即A与AT的特征多项式相同，从而特征值完全相同。8.已知向量是矩阵对应于特征值的特征向量，试求a和的值。解:由得习题5.3(A)2.证明:相似矩阵的迹相同.证:设矩阵A与B相似,依性质6知A与B有相同的特征多项式,故有相同的迹.4.设,利用A的相似于对角矩阵来求A10.解:得A的特征值为1=1，2=2，对1=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0得基础解系对2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0得基础解系令则6.设证明：若是方阵A对应于0的特征向量，则是方阵B对应于0的特征向量.证:若是方阵A对应于0的特征向量，则由得所以是方阵B对应于0的特征向量.第十五周习题解答习题5.4(A)5.求齐次线性方程组的单位正交基础解系.解:令得得齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的单位正交基础解系为注:若齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的单位正交基础解系为8.证明:若A,B都是n阶正交矩阵,则AB也为正交矩阵.证:若A,B都是n阶正交矩阵,则A-1=AT,B-1=BT,(AB)-1=B-1A-1=BTAT=(AB)T故AB也为正交矩阵.另证:若A,B都是n阶正交矩阵,则ATA=E,BTB=E,(AB)TAB=BTATAB=E,故AB也为正交矩阵.9.证明：正交矩阵的行列式值只能为1或-1.证:设矩阵A为正交矩阵，则故习题5.5(A)1.对下列实对称矩阵A,求正交矩阵Q及对角矩阵,使(1)解:得A的特征值为1=2=1，3=10，对1=2=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0得基础解系对3=10，解齐次线性方程组(10E-A)x=0得基础解系故或:对1=2=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0得基础解系对3=10，解齐次线性方程组(10E-A)x=0得基础解系故2.已知三阶实对称矩阵A的特征值为分别是A的对应于的特征向量，试求正交矩阵Q及,使为对角矩阵。解：设是A的对应于的特征向量，则解的即故第十六周习题解答习题6.1(A)1.写出下列二次型的矩阵解:1)二次型的矩阵2)二次型的矩阵3)二次型的矩阵5.证明:实对称矩阵A,B,如果A～B,则A～B.证:实n阶对称矩阵A,B,如果A～B,则矩阵A,B有相同的特征值:依定理5.3,存在n阶正交矩阵Q1,Q2,使即A～.B～.故A～B.第十七周习题解答习题6.3(A)2.用合同变换将下列实二次型为规范型,并求出所用的可逆线性变换.解:3.设四阶对称矩阵A的特征值为-2,3,3,0,试给出实二次型的实规范型.解:依题设知实