辽宁省六校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省六校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知：.故选：D.2.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得且，所以且，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B.3.某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（）A.100台 B.200台 C.300台 D.400台【答案】B【解析】由题意，，当且仅当，即时，等号成立，所以应购买台，使得每台设备的平均成本最低.故选：B.4.已知的定义域为，则的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，的定义域为，由得，则，解得，所以的定义域为.故选：D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.6.已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（）A. B.C D.【答案】A【解析】定义在R上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减，且，故，函数在和上满足，在和上满足，，当时，，即；当时，，即，综上所述：.故选：A.7.已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A.4 B. C.2 D.1【答案】C【解析】由题意关于x的不等式的解集为，其中，可知，且为的两根，且，即，即，所以，当且仅当时取等号，故选：C.8.对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得，由可得，所以根据题意得，即，做出函数的图像如图，当时，开口向下，对称轴为，所以当时，函数的最大值为，函数的图像和直线有三个不同的交点，可得的取值范围是.故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，漏选得2分，共20分.）9.已知是奇函数，是偶函数，且，则（）A.是奇函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数【答案】CD【解析】是奇函数，；是偶函数，；对于A，，不是奇函数，A错误；对于B，，不是奇函数，B错误；对于C，，是奇函数，C正确；对于D，，是奇函数，D正确.故选：CD.10.下列命题正确的是（）A.设，不等式的一个必要不充分条件是B.“”是“”的充分不必要条件C.设则“”是“”的必要不充分条件D.命题“”是真命题的实数的取值范围为【答案】BD【解析】A选项，由得，所以是的充分不必要条件，所以A选项错误；B选项，，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B选项正确；C选项，若“”，则，若，则可能，不能得到，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C选项错误；D选项，“”是真命题，即在区间上恒成立，所以，解得，所以D选项正确.故选：BD.11.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为6C.若，则的最小值为D.若，，则的最小值为2【答案】ACD【解析】对于A项，易知，当且仅当，即时取得等号，故A正确；对于B项，设，且，所以，当且仅当时取得等号，故B错误；对于C项，由，当且仅当时取得等号，故C正确；对于D项，令，则，当且仅当，即，时取得等号，故D正确.故选：ACD.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（）A.在上是增函数 B.是奇函数C.的值域是 D.的值域是【答案】BC【解析】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数的值域为__________．【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，所以.故值域为：．14.已知函数是一次函数，满足，则___________.【答案】或【解析】设，则，，所以，解得，或，所以或.故答案为：或.15.已知实数，，且，则的最小值是___________.【答案】【解析】依题意，由整理得，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.16.已知函数，为常数，若有最大值，则的取值范围是___________.【答案】【解析】画出的图象，如下图所示，由解得或，当时，；当时，，①对于二次函数，函数的图象开口向下，对称轴，当时，；②对于指数型函数，当时，，对于函数，当时，，当时，，当时，没有最大值，综上所述，的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.）17.计算：（1）；（2）.解：（1）原式（2）原式.18.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，解得：，所以，当时，，.（2）因为，所以，由第一问可知，当时，，解得：，当时，要满足题意需，解之得：，综上：实数的取值范围为.19已知二次函数.（1）若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围；（2）若，存在使不等式成立，求实数的取值范围.解：（1）若，则，，因为不等式对一切实数x恒成立，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.（2）若，不等式即为：，当时，可变形为：，即，又，当且仅当，即时，等号成立，，即，实数的取值范围是：.20.已知，是关于x的方程的两个实数根．（1）若，求m的值；（2）求的最小值．解：（1）因为，是关于x的方程的两个实数根，所以，即，所以，所以，整理得，解得（舍去）或，所以.（2）由（1）可得，令，因为在区间上单调递减，所以，当时，取得最小值.21.已知．（1）判断函数的奇偶性和单调性（不必证明）；（2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为定义域为，所以，所以为奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，即函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数．（2）因为是R上的奇函数且为严格增函数，所以由，可得，即对一切恒成立，令，，设，所以，即，解得．22.已知函数是定义域上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．解：（1），且是奇函数，，，解得，，函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，，且，则，，且，，，∴，，即，函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调