2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第1章 第3节　等式性质与不等式性质

等式性质与不等式性质

［考试要求］

1.掌握等式的性质.

2.会比较两个数（式）的大小.

3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

［走进教材-夯实基础］回顾知识•激活技能

C>梳理•必备知识

1.两个实数比较大小的方法

方法

关系

作差法作商法

a>ba-b>0QO)或广l(a,/?<O)

a=bg—b=O£=1(注0)

a<hq—b<0]vi(a,b>0)或£>l(a,b<0)

2.等式的性质

性质1对称性：如果a=b,那么b=a；

性质2传递性：如果a=Z?,b=c,那么a=c；

性质3可力口（减）性：如果那么a±c=任c；

性质4可乘性：如果那么ac=/?c；

性质5可除性：如果cWO,那么£=£

3.不等式的性质

性质1对称性：a>b^b<a；

性质2传递性：a>b,h>c^a>c\

性质3可加性：a>h^a+c>b+c；

性质4可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

性质5同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d；

性质6同向同正可乘性：a>h>0,c>d>O0ac>bd；

性质7同正可乘方性：a>b>O=^an>bn(n^N,〃22).

提醒：同向不等式可相加，不能相减.

［常用结论］

1.倒数性质

(Da>b,M>()W；

⑵aVOVQ区；

(3)a>b>0,d>c>0=>^>^.

2.分数性质

若m>0,则

*、一，，ybb+mbb—m

(1)真分数性质：->=—加>0)；

妇意Qi公二退

(2)假分数性质：旺矍；祟V鲁图3一机>0).

R~~~b+jnRb~m

©激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若。>力，则a/Abc2.()

⑵若ac2>bc2,则a>b.()

⑶球>1,则()

(4)若a+c>b+c,则a>b.()

［答案］⑴X(2)V(3)X(4)7

二'教材习题衍生

1.若M=(X—3)2,N=(X—2)(X—4),则有()

A.M>NB.M?NC.M<ND.M&N

A［因为M-N=(X-3)2-(X-2)(X-4)=1>0,

所以M>N.］

2.设bV”，d<c,则下列不等式中一定成立的是()

A.a—c<.h-dB.ac<bd

2

C.a+c>h+dD.a+d>b+c

C［由c>d得a+c>b+d,故选C.］

3.盐水溶液的浓度公式为夕=魂箫焉（a>与，向盐水中再加入〃?克盐,

那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（）

bb+mbb+m

A.-<_r-B.->_r-

aa-vmaa-rm

b+m

A［向盐水溶液中加入加克盐，盐水的浓度变为百福，此时浓度变大，盐

h+mh

水更咸，即故选A.］

a+ma

4.已知一—3<Z?<5,则a—〃的取值范围是.

（—6,5）［V—3<b<5,A_5<—b<3,

又一1<。<2,—一

b<5.］

［细研考点・突破题啊重难解惑■直击高考

□考点一比较两个数（式）的大小帆生共研

In3In4In5.〜

［典例1］若。=亍，h=~,c=~,则（），•题乡检

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

［四字解题］

读想算思

竽-竽及竽-警的正负

作差法

,—In3In4In5转化化归

比r较亍,—,—

作商法空与1的大小

的大小

段）」丫的单调性

单调性法构造函数

B［法一：（作差法）

_In3In4_41rl3-31rl4_In81-In64

a~b=q-4=V)=r?>°，

3

In4In551n4-41n5In1024-ln625“

/?-c="^—―------20------=---------20-------->0,所以a>b>c.

法二：(作商法)

易知a,b,c都是正数，~=1^1=log8i64<1,所以。>匕；^=4hT5=lo§6251

024>1,所以8>c.即cVbVa.

法三：(单调性法)

一…InX1-Inx

对于函数)=/。)=二1，y'=—^—.

易知当x>e时，函数/(九)单调递减.

因为e<3<4<5,

所以/(3)>/(4)>/(5),即cVbVa.］

令反思领悟比较两式大小的常用方法

(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形,

常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个

式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.

(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据

函数单调性得出大小关系.

(4)特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.

［跟进训练］

1.(1)若a<0,b<0,则/?="+%与q=a+b的大小关系为()

A.p<qB.pWqC.p>qD.p2g

⑵已知a>b>0,则a"附与a%"的大小关系为

(1)B(2)aabb>ahba[(1)p—q=~+~^—a—b

2,层一炉、

=b丁—^+〒=("标比(\力1

(加一屋)(匕一〃)(A—4)2(。+〃)

abab'

因为a<0,Z?<0,所以。+。<0,ab>0.

4

又（〃一。）2?0,:・p—qWO.

综上，pWq.

又。>人>0,故齐1,a—b>0,

又abba>0,a(ihb>abha.]

考点二不等式的基本性质枷生共研

[典例2](1)已知实数〃，h,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中

正确的是()£5加

A.b-a<c-\-aB.（r<ab

C.D.\b\c<\a\c

⑵(2021•珠海模拟)若〃。<0,c>0,则下列不等式中一定成立的是()

1111

AB

/-b-y-

-Q<PQ

C.\n(b-a)>QD.

(1)D(2)D[(1)法一：(逻辑分析法)根据数轴可得cCvavO,且|c|>|句>同，

对于A:因为c<b,4V0,所以c+a<cfb—a>bf贝c+a<c<b<b—a,即c+a<b

—a9故A错误;对于B：因为c<*a<0,|。|>步|>|。],所以。2>62>。2,且比>加?，

所以。2>〃>血即血故B错误；对于C:因为从a<0,所以f，则R1

故C错误；对于D:因为|例>同，且c<0,所以以c<|a|c,故D正确.

法二：(特殊值法)不妨令c=~5,b=—4,a=~\,则c+a=—6</?一。=

—3,故A错误；c2=25>ab=4,故B错误；^=1<^=5,故C错误；\b\c=—

20<|a|c=-5,故D正确.故选D.

.,_11b—a1,“一b-a

(2)对选项A,―一7=一「因为〃<匕<0,所以。比>0,b—a>Of即方>0,

5

所以｝>］,故A错误；对选项B,.一1一,一0=4一〃+(一：=(4-5>*」，因

为。<。<0,所以。一8<0,不能判断a41间的关系，故B不正确；对选项C,因

为b-a>0,所以Ing—a)的范围为R,故C错误.

对选项D,因为。<方<0,所以F>0,->0,因为T--=~—£>0,所以亳盘，

b，a，baab，ba'

又因为c>0,所以y=f在(0,+8)为增函数，

所以母〉(匀，故D正确.故选D.］

畲反思领信判断不等式是否成立的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成

立时要特别注意前提条件.

(2)利用特殊值法排除错误答案.

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利

用指数函数、对数函数、霖函数等函数的单调性来比较.

一［跟进训练］

2.(2021•上海杨浦一模)设a>b>0,cWO,则下列不等式恒成立的是()

11,

~>Tac2>bc2

A.abB.

cc

ac>bc-

C.D.a<Tb

B［由不等式的性质易得，当a>0>0,cWO时，恒成立的是这2>儿2.故选

B.］

□考点三不等式性质的综合应用《师生共研

X

［典例3］已知l〈xV4,2VyV5,则2x-y的取值范围是________,二的取

y

值范围是.

(-3,6)2)［Vl<x<4,Z.2<2x<8.

\'2<y<5,：.-5<~y<~2,

二・一3V2尤一yV6.

V0<1<A-<4,0<!<-<|,

Jyz

6

5y」

［母题变迁］

1.将本例条件改为"一la<y<3",求x—y的取值范围.

［解］因为-14<3,一1勺<3,

所以一3v—y<l,—4<r—y<4.①

又因为x<y,所以/一y〈0,②

由①②得一4<x—y<0,

故x—y的取值范围是(一4,0).

2.将本例条件改为“已知一14一产4,2令+y<3”,求3尤+2))的取值范围.

［解］设3x+2y=2(x—y)+〃(x+y),

即3x+2y=(2+〃)龙+(//—2)y,

，+〃=3,

于是1〃T=2,解得

5

3x+2y=j(x—y)+］(x+y).

—i<x—y<492<x+y<3,

.11/、cL5I、15

・・一2<2。一了)<2,5<2(x+^)<y,

.91