2023学年陕西省西安市高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若两个非零向量入B满足伍+B）・仅-B）=o,且归+q=2归一%则£与B夹角的余弦值为（）

D.±_

一2

2.双曲线G：「—与=1（«＞（）,。＞0）的一个焦点为/（c,。）（c＞0）,且双曲线G的两条渐近线与圆C：

crb2

（尤-。）2+丁=£1均相切，则双曲线孰的渐近线方程为（）

4

A.x±y/3y=0B.y/3x±y=0C.y/5x±y=0D.x±\/5y-0

3.已知函数/(x)=lnx+l,g(x)=2e*T，若/(m)=g(〃)成立，贝梅-”的最小值是()

A.—bln2B.C-2C.In2---D.y/c--

222

2020

4.著名的斐波那契数列｛4｝：1,1,2,3,5,8,…，满足4=4=1，。“+2=%+1+4，〃eN*,若q=£。2,1，

“=1

贝！I4=()

A.2020B.4038C.4039D.4040

'x+y<2

5.若变量满足＜2x-3y＜9,则犬+产的最大值为（)

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

6.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

d4—2BO

正视图侧视图俯视图

A.一兀B.二4C.27rD.37r

22

7.已知集合4={划卜—l|43,xeZ},8={xeZ|2，eA},则集合8=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

-TT

8.如图，四面体ABCD中，面曲和面BC。都是等腰直角三角形，AB=g，ZBAD=ZCBD=-,且二面角

2

2笈

4一3。-。的大小为丁，若四面体ABCO的顶点都在球。上，则球。的表面积为（）

___2_________1___

9.如图，在AA3C中，AN=-NC,P是8N上一点，若=f入耳+-印。，则实数f的值为（）

33

10.已知向量万=(1,2),5=(2,-2),c=(A,-l),若评(21+6),则丸=()

11.如图，已知直线/：y=%（x+l）（左＞0）与抛物线C：V=4x相交于A,B两点,且4、8两点在抛物线准线上的

投影分别是M,N,若|AM|=2怛N|,则Z的值是()

2叵

D.2万

12.如图，抛物线M：丁=8》的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线/交于A,B两点,若直线/与以尸为圆心,

线段O尸(。为坐标原点)长为半径的圆交于C,D两点,则关于值的说法正确的是()

A.等于4B.大于4C.小于4D.不确定

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列｛4｝的前”项和为S“，4=9,今一区=-4,则％=.

14.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀

率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；

③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是

15.函数=-匕(e为自然对数的底数，beR),若函数g(x)=/(/(x)-g)恰有4个零点，则实数〃的

取值范围为.

X

16.已知函数/'(x)=2"'(e)lnx-一，则函数〃幻的极大值为

e

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|2x-l|+|x+I|

(1)解不等式/(元)23；

(2)若a、b、c均为正实数，且满足a+力+c=m,加为/(力的最小值，求证：-+—+—

abc2

18.(12分)设F为抛物线C：V=4x的焦点，P,。为抛物线。上的两个动点，0为坐标原点.

(I)若点/在线段上，求|PQ|的最小值；

(H)当OPLPQ时，求点。纵坐标的取值范围.

19.(12分)已知〃x)=|2x+3]-|2x-l|.

(1)求不等式/(》)<2的解集；

(2)若存在xeR,使得/(x)>|3a-2|成立，求实数”的取值范围

20.(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,3(X)]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数61418272510

(D从空气质量指数属于[0,50],(50,1(X)]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

0,0M100,

(2)已知某企业每天的经济损失》(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y=220,100<%,250,,试估计该

1480,250<%,300,

企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.

21.(12分)已知数列伍“｝的前〃项和为S”，且满足S"=2a“T("eN*).

(I)求数列｛%｝的通项公式；

白14

(II)证明：E—<7.

&=i4J

22.(10分)如图，在四棱锥产一ABC。中，底面ABCD为矩形，侧面Q46，底面ABCD,”为棱AB的中点，E

为棱DC上任意一点，且不与。点、C点重合.AB=2,AD=PA=1,PH=近.

p

(1)求证：平面A/£_L平面ABC。；

(2)是否存在点E使得平面APE与平面所成的角的余弦值为逅？若存在，求出点E的位置；若不存在，请

3

说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

设平面向量4与区的夹角为6,由已知条件得出口=M，在等式,+q=2忖-q两边平方，利用平面向量数量积的运

算律可求得cos。的值，即为所求.

【详解】

设平面向量.与石的夹角为8,'-(a+b)-(a-b)=a-b=0,可得口=收，

在等式归+q=2,-©两边平方得片+27丛片=4/一87B+4不，化简得cos6=|.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

2.A

【解析】

he

根据题意得到“=f,化简得到42=3〃，得到答案.

yJa2+b2

【详解】

八、b»bec

根据题意知：焦点b(c,0)到渐近线y=上X的距离为d=],,=-,

ayJa+b~2

故「2=3",故渐近线为尤±6y=().

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3.A

【解析】

分析：设/(M>=g(")=f,贝h>0,把人〃用/表示，然后令/7(f)=根一雇，由导数求得〃«)的最小值.

详解：设/(m)=g(〃)=，，贝！I/>0,m-el]f〃=ln—I—=InZ—In2d—,

222

:.m—n=d"—lnr+ln2——,令-ef~x-lnZ+ln2--,

22

则〃=/2"(f)=e'T+!>0,是(0,+8)上的增函数，

tr

又"(1)=0,.•.当fe(O,l)时，〃Q)<0,当，e(l,+oo)时，//⑴>0,

即〃(。在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增，/D是极小值也是最小值，

/?(1)=L+In2,.,.机的最小值是，+ln2.

22

故选A.

点睛：本题易错选B,利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求人-。的最小值问题，通过构造新函数,

转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错.

4.D

【解析】

计算«,+a,=%，代入等式，根据4+2=+4化简得到答案.

【详解】

%=1,a,=2,4=3,故4+%=%，

2020

=4+“3+…+“4039=%+%+%+…+。4039=%+%+…+。4039=…=。4040，

〃=1

故攵=4040.

故选：D.

【点睛】

本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5.D

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.

【详解】

'x+y<2

解：画出满足条件2x-3y«9的平面区域，如图示：

x>0

如图点坐标分别为A(0,-3),3(3,-1),。(0,2),

目标函数f+,2的几何意义为，可行域内点(乂)，)与坐标原点(0,0)的距离的平方，由图可知3(3,-1)到原点的距离

最大，故32+(-1)2=io.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题.

6.B

【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.

【详解】

根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，

把1该几何体补成如下图所示的圆柱，

其体积为万x「x3,故原几何体的体积为。万.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关

系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.

7.D

【解析】

弄清集合8的含义，它的元素x来自于集合4,且2,也是集合A的元素.

【详解】

HI%-1|<3,所以一2WxW4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,TeA，则x=(M,2,

故集合8={0』,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

8.B

【解析】

分别取8。、CD的中点M、N,连接AM、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A—30—C的平面角为

2万

NAMN=—,然后分别过点M作平面A班）的垂线与过点N作平面8CQ的垂线交于点。，在R/AOMN中计算出

3

OM,再利用勾股定理计算出04,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示，

分别取8。、CO的中点M、N,连接AM、MN、AN,

由于是以NfiM）为直角等腰直角三角形，”为8D的中点，

vZCBD=-,且加、N分别为BD、CO的中点，所以，MN//BC,所以，MNA.BD,所以二面角A—80—C

2

2万

的平面角为NAMN=T，

AB=AD=e，则BD=NAB。+,且BC=2，所以，AM=^BD=\,MN=^BC=1,

•.•A的是以/朋Q为直角的等腰直角三角形，所以，AABD的外心为点A7,同理可知，ABCD的外心为点N,

分别过点"作平面曲的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，则点。在平面AMN内，如下图所示，

27r7T7T

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO^—--=-

326

r-2MN2G

MN\J3.OM——市~=----

在RtAOMN中,=cosNOMN=——»Ji3>

OM2'

2

所以，OA=VOM2+AM2=

3

所以，球。的半径为R=亘，因此，球。的表面积为4万R2=4万xj也T|=也.

3I3J3

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

9.C

【解析】

—.2―-

由题意，可根据向量运算法则得到（1-/«）而，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出

f的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+〃?（A/V-A8）=mAN,

又，AN=-NC,所以4河=^比，AAP=-mAC+（1-m）AB，

\-m-t

一1一51

又经=/48+彳4。，所以21，解得，〃=:，f=：，

3-m=-66

153

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

10.A

【解析】

根据向量坐标运算求得21+日，由平行关系构造方程可求得结果.

【详解】

^=（2,-2）;.25+5=（4,2）

-/c//（2a+b）.•.22=4解得：4=一2

故选：A

【点睛】

本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则

%%一%2%=°・

11.c

【解析】

直线丁=左(1+1)(%>0)恒过定点。(—1,()),由此推导出|0川=；|A耳，由此能求出点3的坐标，从而能求出攵的值.

【详解】

设抛物线C：V=4x的准线为/：x=—l,

直线y=k(x+1)仕>0)恒过定点P(-LO),

如图过4、8分别作于M,BN11于N,

由|AM|=2忸N|,则|E4|=2|FB|,

点B为A尸的中点、连接08,则|0同=；同目，

：.\O^\=\BF\,点8的横坐标为;，

.•.点B的坐标为呜,把吗㈤代入直线-i)(z>o),

解得普

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属

于中档题.

12.A

【解析】

r2

利用厂的坐标为(2,0),设直线/的方程为x-〃少-2=0,然后联立方程得)’=A,最后利用韦达定理求解即

my=x-2

可

【详解】

据题意，得点尸的坐标为(2,0).设直线/的方程为x-冲-2=0,点A,3的坐标分别为(％，X),伍，＞2)•讨论：

y2—

当加=0时，xl=x2=2•当相。()时，据,,得九2—+4)尤+4=0,所以引工2=4,所以

my=x-2

|AC|.|BE)|=(|AF|-2)-(|BF|-2)=(^+2-2)-(^+2-2)=X1X2=4.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.—2M4-11

【解析】

利用,-m=-4求出公差d,结合等差数列的通项公式可求凡.

【详解】

设公差为d,因为费一今=T,所以4d—2d=-4,即d=-2.

所以a“=%+(n-1)J=9-2(n-1)=-2n+11.

故答案为：—2n+11

【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核

心素养.

14.翻)

【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女

生成绩的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关

系，故③正确.

故答案为：(2X3).

【点睛】

本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.

15.+In2J

【解析】

令"x)—g=f，则/。)=0，：恰有四个解.由/'(x)=e'—l判断函数增减性，求出最小值，列出相应

不等式求解得出。的取值范围.

【详解】

解：令/(同一:=/,则/(/)=0,/(》)=，+；恰有四个解.

/(/)=()有两个解，由/'(x)=e'-l,可得在(-8,0)上单调递减，在(0,+力)上单调递增，

则/(》僵"(。)=1—。<。，可得〃>L

设/(。=。的负根为，〃，

由题意知，—>\—bm>b

2929

-“〉0,则

1,

••b7<—FIn2n.

2

he[l,；+ln2)

故答案为：9,g+In2).

【点睛】

本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.

16.21n2

【解析】

对函数求导，通过赋值，求得r(e),再对函数单调性进行分析，求得极大值.

【详解】

r(x)=3£B_l,故八e)=H®_L

xeee

解得/'(e)=Lf{x}=2Inx--,f\x)=---

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函数在(O,2e)单调递增，在(2e,田)单调递减，

故的极大值为〃2e)=2Iri2e-2=21n2

故答案为：21n2.

【点睛】

本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量/'(e).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){x|x,-1或x.l}(2)证明见解析

【解析】

(1)将/(X)写成分段函数的形式，由此求得不等式/(X)23的解集.

(2)由(1)求得/W最小值加，由此利用基本不等式，证得不等式成立.

【详解】

—3元,xv—1,

(1)/(》)=,-x+2,-1KxW―,

2

3x,x>-.

2

当x<—l时，/(x)..3恒成立，解得X<-1；

当-啜kg时，由/(x)..3,解得x=—l

当x>，时，由/(x)..3解得乂.1

2

所以/(x)..3的解集为{x|x,-1或

33

(2)由(1)可求得/*)最小值为一，即a+b+c=〃2=-

22

3

因为a,。,c均为正实数，S.a+h+c=-

2

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.

18.（I）4（II）（f,—8]U[8,”）

【解析】

⑴由抛物线的性质，当PQLi-轴时，|P。最小;⑵设点P（%,y）,。（/，必），分别代入抛物线方程和丽•丽=0

得到三个方程，消去得到关于月的一元二次方程，利用判别式即可求出力的范围.

【详解】

解：（1）由抛物线的标准方程，〃=2,根据抛物线的性质，当轴时，|PQ|最小，最小值为2p,即为4.

（2）由题意，设点打冷凹），。（％2，%），其中y|必力。，y尸%.

则y=4尤］,①y>2—

4X2,②

因为。P_LPQ,OP=（3,y）,PQ=（X2-百,必一>|），

所以OPPQ=芯（w一须）+y（%—yj=0•③

由①②③，得y；+%乂+16=0,

由弘€及，且%#0,得公=£-6420,

解不等式，得点Q纵坐标内的范围为（-8,-8]U[8,+8）.

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.

19.(1)(-℃,0).

（2）（—―,2）.

【解析】

试题分析：（I）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；

（II）求出f（X）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可.

试题解析：

[3[3,,1

⑴不等式f（x）<2等价于｛2或12一一2

—（2x+3）+（2x-l）<2（2x+3）+（2x-l）<2

f1

或1x>2-,解得x<-二3或—23<x<0,

（2x+3）-（2x-l）<222

所以不等式<2的解集是（-8,0）；

⑵",-/（x）<|（2x+3）-（2x-l）|=4,.,./（x）max=4,

.•.|3a-2|<4,解得实数”的取值范围是（一|,2）.

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是

运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函

数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.

23

20.（1）---（2）9060兀

114

【解析】

（1）根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，分别求出

P（X=0）,P（X=220）,P（X=1480）,进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.

【详解】

解：（1）设4为选取的3天中空气质量为优的天数，则

C2Cl23

。(。.2)=尸《=2)+尸(。=3)=-^1+言=而

（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0,220,1480,

701

P（X=O）=P（（M100）=^=-,

707

P（X=220）=尸（100〈工,250）=—=—,

P（X=1480）=P（250<%,300）=需=*,

171

所以EX=0X2+220X，+1480X-!-=302（元），

51010

故该企业一个月的经济损失的数学期望为30£X=9060（元）.

【点睛】

本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.

21.(I)«„=2nl,“wN*.(II)见解析

【解析】

（1）由〃〉2,分"=1和”22两种情况，即可求得数列｛为｝的通项公式;

（2）由题，得*=三亍=击=€）-',利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.

【详解】

（I）解：由题，得

当〃=1时，a(=Si=2a1-1,得q=l；

当〃..2时，an=Sn-S„_l=2an-l-2a„_l+