2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第15讲 等边三角形（练习）(含详解)

第15讲等边三角形（练习）

夯实基础

一、单选题

1.（2021•上海浦东新区•七年级期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折

断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）.

A.6米；B.9米；C.12米；D.15米.

2.（2019•上海浦东新区•七年级月考）下列语句中错误的是.

A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

B.连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形：

C.三角形的外角和为360°

D.等腰三角形的对称轴是顶角平分线

二、填空题

3.（2020•上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）如图，己知0是等边△ABC内

一点，。是线段3。延长线上一点，且,408=120°,那么N8OC=

4.（2018•华东理工大学附属中学七年级月考）AABC中，NA=NB=60°,AB=3,那么

BC=.

5.（2021•上海浦东新区•七年级期末）若把一个边长为2厘米的等边△A3C向右平移a

厘米，则平移后所得三角形的周长为厘米.

6.（2020•上海闵行区•七年级期末）如图，将边长为2c机的等边A43c沿边向右平

移1.5。%得到△£>"'，则四边形ABED的周长为.

AD

7.（2018•上海市闵行区上虹中学七年级月考）如图，已知aABC是等边三角形,BC=BD,/

CBD=90°,则N1的度数是

8.（2019•上海长宁区•七年级期末）如图，已知AABC是等边三角形，点B、C、D、E在

同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则NE=度.

三、解答题

9.（2020•上海市建平中学七年级期末）如图,点E是等边AABC外一点，点。是

8c边上一点，AD=BE，NCAD=NCBE,联结E£＞、EC.试判断ADCE的形状,

并说明理由.

能力提升

一、单选题

1.（2020•上海市第十中学七年级月考）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三

角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是

这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.正确的

命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.（2019•上海长宁区•七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）

A.含60°角的两个直角三角形B.腰对应相等的两个等腰三角形

C.边长均为5厘米的两个等边三角形D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形

二、填空题

3.（2021•上海浦东新区•七年级期末）在以△力比'中，NO=90°,将这个三角形折叠，

使点夕与点4重合，折痕交边四于点也交房于点儿如果以-2AG那么

度.

4.（2019•上海浦东新区•七年级期末）已知NAO3=30°,点尸在NAO8的内部，点

片与点尸关于06对称，点外与点P关于Q4对称，若OP=5,则

5.（2019•上海市民办新竹园中学七年级期中）在△?1比中，N小60°,BC=6,AC=4,AD

是高，将必沿着4〃翻折，点。落在点£上，那么龙的长是；

6.（2018•华东理工大学附属中学七年级月考）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和

EDF如图放置（NC=60°,/F=45°）,其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则

ZCGF=".

7.（2018•上海金山区•七年级期末）如图，已知A/SC是等边三角形，〃为宛延长线上

一点，龙平分NACD,CE=BD,AD=7,那么］£的长度是.

A

三、解答题

8.（2019•上海七年级月考）如图，已知AABC和aBDE都是等边三角形，试说明:

BD+DC=AD.

9.（2019•上海市东华大学附属实验学校七年级课时练习）如图，在等边△ABC中，D是边

AC上一点，连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED.若BC=10,

BD=9,求AAED的周长。

B

10.（2017•上海虹口区•七年级期末）说理填空：如图，点£1是〃C的中点，EOEB,Z

物=120°,DF//BE,且〃F平分/物，若△颇1的周长为18cm,求〃C的长.

解：因为办1平分巩（己知）

所以/乃仁.（_）

2

因为/物=120°,（已知）所以NF浚.

因为勿7/9（已知）

所以NFDC=N_________=60°.（）

又因为陷眼（已知）

所以45位为等边三角形.（）

因为△>?（方的周长为18cm,（已知）所以够Q叱6cm.

因为点£是勿的中点，（已知）所以a>2或M2cm.

11.（2019•上海普陀区•七年级期末）如图，已知,分别以15、AC为边在AABC

的外部作等边三角形/I劭和等边三角形力"联结DC、试说明戊三比'的理由.

12.(2019•上海普陀区•七年级期末)如图，已知△ABC中，点2、V是a'边上两

点，且AD=AE,2BA叵/CAD=90°,

(1)试说明旗与全等的理由；

(2)如果AMD,试判断的形状，并说明理由.

13.(2020•上海市第十中学七年级月考)如图，点C为线段AB上一点，△ACM、ACBN

都是等边三角形，AN、MC交于点E,BM、CN交于点P

(1)说明AN=MB的理由

(2)ACEF是什么三角形？为什么？

14.(2020•上海市建平中学七年级期末)如图，将两个完全相同的三角形纸片A8C,

DEC重合放置,其中NC=9(y，NB=NE=30.

（1）操作发现:

如图2，固定AA3C,使ADEC绕点、C旋转,当点。恰好落在AB边上时，填空:

①线段OE与AC的位置关系是；

②设的面积为5，AAEC的面积为邑，则S?与邑的数量关系是—

（2）猜想论证:

当ADEC绕点。旋转到如图3位置时，猜想（1）中邑与邑的数量关系是否还成立？请说

明理由.

第15讲等边三角形（练习）

夯实基础

一、单选题

1.（2021•上海浦东新区•七年级期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折

断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）.

A.6米；B.9米；C.12米；D.15米.

【答案】B

【分析】根据直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，

再加上离地面的距离就是折断前树的高度.

【详解】解：如图，根据题意BC=3米，

VZBAC=30°,ZACB=90°,

；.AB=2BC=2X3=6米，

，BC+AB=3+6=9（米）.

故选B

【点进】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关

键.

2.（2019•上海浦东新区♦七年级月考）下列语句中错误的是.

A.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；

B.连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形：

C.三角形的外角和为360°

1）.等腰三角形的对称轴是顶角平分线

【答案】D

【分析】分别利用等边三角形的判定方法对AB进行判断，利用三角形外角和对C进行判

断，利用对称轴是直线对D进行判断后，即可得到结论.

【详解】解：A、根据等边三角形的判定得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角

形，故A正确；

B、顺次连接三角形三边的中点所成的线段，根据中位线的性质可知都是对应边的一半，所

以所构成的三角形也是等边三角形，故B正确；

C、根据三角形的外角和等于360°可知，故C正确：

。、沿某等腰三角形的顶角平分线所在直线翻折后左右能够重合，而顶角平分线是线段不

是直线，故D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形性质及三角形外

角和定理，解题的关键是熟悉对称轴是直线而三角形角平分线是线段以及等边三角形的判

定定理.

二、填空题

3.（2020•上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）如图，已知0是等边△ABC内

一点，。是线段B。延长线上一点，且。。=Q4,NAOB=120°,那么=

【答案】60°

【分析】山NAO5的度数利用邻补角互补可得出NAOD=60°,结合0。=。4可得出

A48为等边三角形，而根据旋转全等模型由S4S易证出AB40MAe4。，根据全等三角

形的性质可得出ZADC=ZAOB=120°,再根据/8£9=//4£心一/90即可求出/8。。

的度数.

【详解】解：:AABC为等边三角形，

AB=AC.ZR4C=60°.

QZAO8=120°,ZAOD+ZAOB=180°,

.•.NAOD=60。.

又QOD=OA,

：.AAQD为等边三角形，

AO=AD,AOAD=60°,ZADO=60°.

ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD=60°,

,-.ZBAO=ZCAD.

在ABAO和ACAO中，

'AB=AC

«ZBAO=NCAD,

AO^AD

:.ABAO=ACAD（SAS）,

ZADC=ZAOB=120°,

/.ZBDC=ZADC-ZADO=60°.

故答案为：60.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，

通过证明ABAO^ACAD,找出Z4Z）C=NAQ8=120。是解题的关键.

4.（2018•华东理工大学附属中学七年级月考）AABC中，NA=NB=60°,AB=3,那么

BC=.

【答案】3

【分析】由AABC中，ZA=ZB=60°,即可证得AABC是等边三角形，又由AB=3,即可求

得BC的长.

【详解】解：:△ABC中，ZA=ZB=60°

,,.ZA=ZB=ZC=60°

••.△ABC等边三角形

.,..BC=AB=3

故答案为3.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，此题比较简单，解题的关键是等边三角形

的判定.

5.（2021•上海浦东新区•七年级期末）若把一个边长为2厘米的等边4A3c向右平移a

厘米，则平移后所得三角形的周长为__________厘米.

【答案】6

【分析】平移不改变三角形的周长，求出原来的周长即可.

【详解】解：原三角形的周长是：2+2+2=65,

平移后的三角形周长不变，还是6cm.

故答案是：6.

【点睛】本题考查图形的平行，解题的关键是掌握图形平移的性质.

6.（2020•上海闵行区•七年级期末）如图，将边长为2cm的等边AA3C沿边8C向右平

移1.5cm得至U\DEF,则四边形ABFD的周长为.

【答案】9cm

【分析】由将边长为2cm的等边AABC沿边BC向右平移1.5cm得到△DEF,根据平移的性

质得至|JBE=AD=1.5cm,EF=BC=2cm,DF=AC=2cm,然后利用周长的定义可计算出四边

形ABFD的周长.

【详解】：将边长为2cm的等边AABC沿边BC向右平移1cm得到ADEF,

.'.BE=AD=1,5cm,EF=BC=2cm,DF=AC=2cm,

四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+EF+FD=L5+2+1.5+2+2=9（cm）.

故答案为：9cm.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平移的性质：平移不改变图象的大小和形状；平

移后的线段与原线段平行（或在同一直线上）且相等；对应点的连线段等于平移的距离.

7.（2018•上海市闵行区上虹中学七年级月考）如图，已知AABC是等边三角形,BC=BD,Z

CBD=90°,则N1的度数是.

【分析】利用等边三角形性质先得到NABC=60°,BD=BC可得到AABD是等腰三角形，然后

根据等腰三角形性质得到NADB,再通过三角形内角和计算出N1的对顶角度数即可

【详解】因为AABC是等边三角形，

所以AB=BC,ZABC=60°

因为BD=BC,所以AB=BD

所以NBAD=NBDA

在AABD中，因为NCBD=90°,ZABC=60°

所以/ADB=(180°-90°-60°)4-2=15°

所以Nl=180°-ZCBD-ZADB=180°-90°-15°=75°

故填75°

【点睛】本题结合了等边三角形性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练运用内

角和定理是解题关键

8.（2019•上海长宁区•七年级期末）如图，已知aABC是等边三角形，点B、C、I）、E在

同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则NE=度.

【答案】:

【分析】根据等边三角形三个角相等，可知NACB=60°,根据等腰三角形底角相等即可得

出/E的度数.

【详解】解：♦.•△ABC是等边三角形，

ZACB=60°,ZACD=120",

：CG=CD,

ZCDG=30°,ZFDE=150°,

VDF=DE,

：.ZE=15°.

故答案为15.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.

三、解答题

9.（2020•上海市建平中学七年级期末）如图，点E是等边A48C外一点，点D是

8c边上一点，AD=BE，ZCAD=ZCBE,联结。、EC.试判断AOCE的形状,

并说明理由.

【答案】AOCE是等边三角形，理山见解析

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC,ZACB=60°,然后利用SAS即可证出八48

学ABCE,从而得出CD=CE,ZBCE=ZACD=60°,最后利用等边三角形的判定定理即可得

出结论.

【详解】解：AOCE是等边三角形，理由如下

,/AABC为等边三角形

.,.AC=BC,ZACB=60°

在八48和ABCE中

AC=BC

<ZCAD=4CBE

AD=BE

：.^ACD^^BCE

.\CD=CE,ZBCE=ZACD=60°

AOCE是等边三角形.

【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握等边三

角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解题关键.

能力提升

一、单选题

1.（2020•上海市第十中学七年级月考）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三

角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是

这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.正确的

命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角

形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解

答本题.

【详解】解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°,已知有一个外角是120。，即是

有一个内角是60°,有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形.该结论正确：

②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不

能确定该三角形是等边三角形.该结论错误；

③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该

三角形是等边三角形.该结论错误；

④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，

正确的命题有2个，

故选：C.

【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解

决问题.

2.（2019•上海长宁区•七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）

A.含60°角的两个直角三角形B.腰对应相等的两个等腰三角形

C.边长均为5厘米的两个等边三角形D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形

【答案】C

【分析】综合运用判定方法判断.根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证.

【详解】解：A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；

B.腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形；

C.等边三角形的每个内角都等于60°,所以边长均为5厘米的两个等边三角形，各条边

相等，各个角也相等，是全等三角形；

I）.一个钝角相等的两个等腰三角形.缺少对应边相等，不是全等形.

故选：C

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边

的参与，还要找准对应关系.

二、填空题

3.（2021•上海浦东新区•七年级期末）在股△/比1中，ZC=90°,将这个三角形折叠，

使点8与点4重合，折痕交边四于点M交比1于点M如果曲-2.AW那么/4%三

度.

【答案】30

【分析】根据折叠的性质得到=胡=八%,求出牝‘=60°,再利用三角形的外角

定理得N2=2N8然后根据直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：如图，

B

•••将这个三角形折叠，使点方与点/重合，折痕交4?于点也交6c于点A；

,•.Z1=Z5,NA=NB,

■:B42NC,

-2NC,

VZC^90o,

：.ZCAN=^°,

...NW=60°,

VZ2=2Z5,

Z.ZB=30°,

故答案为：30.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即得到对应角相等，对应线段相

等.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.

4.（2019•上海浦东新区•七年级期末）已知NAOB=30°,点尸在NAO8的内部，点

6与点P关于。5对称，点丹与点P关于Q4对称，若OP=5,则《鸟=.

【答案】5

【分析】连接0P,根据轴对称的性质可得0PF0P=0P2,ZB0P=ZB0P,,ZA0P=ZA0P2,然后

求出NPQP2=2NA0B=60°,再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定.

【详解】解：如图，连接OP,

：Pi与P关于0B对称，P?与P关于0A对称,

，OP|=OP=OP2,ZBOP=ZBOPI（ZA0P=ZA0P2,

r.OP产PO2,

ZPI0P2=ZB0P+ZB0P,+ZA0P+ZA0P2=2ZB0P+2ZA0P=2ZA0B,

VZA0B=30°,

/.ZPIOP2=6O°,

...△PQPz是等边三角形.

.".PR=OP?=OP=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握轴对称的性质求

出△PQP?的两边相等且有一个角是60°是解题的关键，作出图形更形象直观.

5.（2019•上海市民办新竹园中学七年级期中）在△46C中，ZC=60°,BC=6,4,AD

是高，将沿着4?翻折，点C落在点右上，那么庞1的长是；

【答案】2

【分析】先解直角AACD,得出CD=2,再根据翻折的性质得到DE=CD=2,那么由BE=BOCD-

DE即可求解.

【详解】如图，在直角4ACD中，

VZADC=90°,/C=60°,

ZDAC=30",

.\CD=-AC=-X4=2.

22

,/将△ACD沿着AD翻折，点C落在点E上,

；.DE=CD=2,

VBC=6,

BE=BC-CD-DE=6-2-2=2.

故答案是：2.

【点睛】考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也考

查了直角三角形的性质.

6.（2018•华东理工大学附属中学七年级月考）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和

EDF如图放置（NC=60°,NF=45°）,其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则

NCGF=°.

【答案】15°

【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明AADC是等边三角形，得ZEAG=12

0°,在AAEG中求出NAGE=15°即可解题.

【详解】解：由题得：AD是直角三角形斜边中点，

.•.AD=』BC=CD=BD

2

ZC=60°,NF=45°,

.'.△ADC是等边三角形，

.,.ZDAC=60°,

.,.ZEAG=125°,

.,.ZCGF=ZAGE=15°.

【点睛】本题考查了特殊的直角三角形,斜边中线的性质，属于简单题，证明AADC是等边三

角形是解题关键.

7.（2018•上海金山区•七年级期末）如图，已知AABC是等边三角形，〃为常延长线上

一点，龙平分NACO,CE=BD,4）=7,那么的长度是

【答案】7

【分析】先利用等边三角形的性质得力炉/GN庐/1%=60°,再根据角平分线的定义得

到N/上60°,然后根据“SAS”判断电△力宙从而得到4斤4）=7.

【详解】8c为等边三角形，:.A炉AC,/4/AC斤60°,.,.ZJG?=120o.

"：CE平分匕ACD,：.ZAC^~ZJGP=60o.

2

在△4劭和中，

AB=AC

V\ZB=ZACE,：.^\ABD^/\ACE,J.AE^Ab=7.

BD=CE

故答案为7.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性

质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.也

考查了等边三角形的性质.

三、解答题

8.（2019・上海七年级月考）如图，已知AABC和4BDE都是等边三角形，试说明：

BD+DC=AD.

【分析】首先证明AABE/aCBD,进而得到DC=AE,再由AD=AE+ED利用等量代换AD=BD+CD

【详解】•.'△ABC和ABDE都是等边三角形，

,,.AB=AC,EB=DB=ED,ZABC=ZEBD=60°

ZABC-ZEBC=ZEBD-ZEBC

BPZABE=ZCBD

在AABE和△0»中

AB-BC

■ZABE=NCBD

BD=BE

.,.△ABE^ACBD(SAS),

ADC=AE

/.AD=AE+ED

；.AD=BD+CD

【点睛】此题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键在于证明二:角

形全等

9.（2019•上海市东华大学附属实验学校七年级课时练习）如图，在等边AABC中，D是边

AC上一点,连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED.若BC=10,

BD=9,求AAED的周长。

【答案】19.

【分析】先由ZiABC是等边三角形得出AC=AB=BC=10,根据图形旋转的性质得出AE=CD,

BD=BE,故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10,由NEBD=60°,BE=BD即可判断出4BDE是等边三

角形，故l）E=BD=9,故AAED的周长=AE+AD+1）E=AC+BD=19.

【详解】••.△ABC是等边三角形，

.,.AC=AB=BC=10,

「△BAE由aBCD逆时针旋旋转60°得出，

.•.AE=CD,BD=BE,ZEBD=60°,

.,.AE+AD=AD+CD=AC=10,

VZEBD=60",BE=BD,

/.△BDE是等边三角形，

；.DE=BD=9,

AAAED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.

故答案为：19.

【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于得到ABDE是等

边三角形.

10.（2017•上海虹口区•七年级期末）说理填空：如图，点£是"的中点，E（=EB,Z

6X14=120°,DF//BE,且如平分/如，若△况Z1的周长为18cm,求m'的长.

A'

B

DEC

解：因为加'平分NG巩（已知）

所以/功小1/_________.（_____________________）

2

因为/物=120°,（已知）所以N/7右°.

因为阳/阳（已知）

所以NF。e/=60°.（）

又因为陷即（已知）

所以48四为等边三角形.（）

因为△仇君的周长为18cm,（已知）所以梦叱叱6cm.

因为点£是〃。的中点，（己知）所以叱2&M2cm.

【答案】ADC；角平分线意义；60；BEC；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等

腰三角形是等边三角形

【分析】利用角平分线的性质得出NFDC的度数，再利用平行线的性质得出/BEC的度数，

进而得出4BCE为等边三角形.

【详解】...DF平分NCDA,（己知）

；./FDC二,NADC.（角平分线意义）

2

；NCDA=120°,（已知）

.,.ZFDC=60°.

VDF/7BE,（已知）

ZFDC=ZBEC=60°.（两直线平行,同位角相等）

又：EC=EB,（已知）

...△BCE为等边三角形.（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

「△BCE的周长为18cln,（已知）

/.BE=EC=BC=6cm.

•・,点E是DC的中点，（已知）

DC=2EC=12cm.

【点睛】考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出NFDC=NBEC

是解题关键.

11.（2019•上海普陀区•七年级期末）如图，已知△4%1,分别以AB、AC为边在△?1比

的外部作等边三角形4切和等边三角形4四联结DC、BE试说明戊三期的理由.

【分析】由等边三角形/即和等边三角形ACE得到NBAD=ZCAE,AD=AB,AC=AE,证

得AADC^AABE,即可得到l）C=BE.

【详解】是等边三角形（已知），

：.AD=AB,ZBAD=60°（等边三角形的性质），

同理AC=AE,ACAE=60°,

ABAD=ACAE（等量代换），

ABAD+Z.BAC=ACAE+ZBAC（等式性质）,

即/%C=NBAE.

在aADC和^ABE中

AD=AB

<4DAC=NBAE,

AC=AE

.•.△ADC^AABE（SAS）,

：.DC=BE（全等三角形的对应边相等）.

【点睛】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，依据等边三角形得到

线段及角的等量关系，由此证得三角形全等，从而得到DC=BE.

12.（2019•上海普陀区•七年级期末）如图，已知△ABC中，点、D、E是BC边上两

点，且AI）=AE,2BA-CAD=90°,

（1）试说明△/班•与全等的理由；

（2）如果AD=BD,试判断△力场的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）△ADE是等边三角形.理由见解析.

【分析】⑴由AD=AE得到NAED=ZADE,再由NBAE=NCAD=90°即可得到AABE

ACD；

（2）由AD=BD得到/BAD=ZB,依据三角形内角和求得/AED=60°可得到4ADE是等

边三角形.

【详解】（1）VAl）=AE（已知），；.NAED=ZADE（等边对等角）.

ZBAE^ZCAD

在AABE和4ACD中《AE=AO,AAABEACD（ASA）；

ZAEB^ZADC

（2）Z\ADE是等边三角形.理由：VAD=BD,

.,.ZBAD=ZB（等边对等角）.

设NB的度数为x,则NBAD的度数为x.

VZADE=ZB+ZBAD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,

AZADE=ZAED=2x.

VZB+ZAEB+ZBAE=180°（三角形的内角和等于180°）,

/.x+2x+90°=180°,

解得x=30°,

.,.ZAED=60°.

VAD=AE（已知），

.'.△ADE是等边三角形（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定，（1）中根据AD=AE证

得NAED=ZADE,得到三角形全等；（2）中依据三角形内角和求得NAED=60°可得到△

ADE是等边三角形.

13.（2020•上海市第十中学七年级月考）如图，点C为线段AB上一点，ZXACM、ACBN

都是等边三角形，AN、MC交于点E,BM、CN交于点F

（1）说明AN=MB的理由

（2）ACEF是什么三角形？为什么？

【答案】（1）见详解；（2）△QF是等边三角形，理由见详解.

【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△力△机右两边及其夹角分别对应相等，两个

三角形全等，得出线段4V与线段相等.

（2）平角的定义得出/胱¥=60°,通过证明吐得出小三0；根据等边三角形

的判定得出△呼的形状.

【详解】（1）证明：与△*¥都是等边三角形，

：.AC=MC,CN=CB,/ACQ4BCN=6Q°.

AMCN=180°一/ACM—乙BCN=60",/ACM+4MCN=NBCN+4MCN,

即：Z.ACN=Z.MCB,

在和△，讹B中

AC=MC

<乙ACN=4MCB,

NC=BM

:.AAC哙AMCB（S4S）.

:.A4BM.

（2）解：△即是等边三角形，理由如下：

VZ/IGI/-600,N,必¥=60°,

:.NACQ/MCN,

'：/\AC.^^MCB,

:.NCAE=ZCMB.

在四和△然不中

NCAE=NCMF

<AC=MC

/ACE=NFCM

XAC跆△捐CFqASA）.

:.CE=CF.

又