安徽省宣城二中2021-2022学年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

V-v

1.已知椭圆讶+齐=1（。>6>0）的左、右焦点分别为月、F2,过点耳的直线与椭圆交于P、。两点.若AP石。的

内切圆与线段尸工在其中点处相切，与PQ相切于点匕，则椭圆的离心率为（）

A后R石06

A.-----B.-----C.-----D.-----

2233

2.在正方体ABC。-44G。中，E,尸分别为cq,OR的中点，则异面直线。石所成角的余弦值为（）

A1R屈「2#1

A.—B.-------C・------nD.—

4455

3.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形

A8C的斜边8C,直角边AC.已知以直角边AC,A6为直径的半圆的面积之比为［，记NABC=a,贝！|sin2a=

4

（）

4.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={xlx2-x+2>0],则Ap|8=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

5.已知集合4={—2,—1,0,1},B={x\x2<a2,aeN^,若A=B,则。的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

6.由实数组成的等比数列{%}的前"项和为S”则“访>0”是“S9>S8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知八x)=±L是定义在K上的奇函数，则不等式#x-3)勺(9-/)的解集为()

ex+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

22________

8.已知点P是双曲线-3=l(a>0/>0,c=寿)上一点，若点P到双曲线C•的两条渐近线的距离之积

ab

1、

为一CL则双曲线。的离心率为()

4

A.0B.手C.&D,2

9.在钝角AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,8为钝角，若acosA=〃sinA,则sinA+sinC的最大值

为

97

夜CD

8-8-

10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数(即质数)的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是()

113

A.—B.—C.—D.以上都不对

141228

11.20世纪产生了著名的“3x+l”猜想：任给一个正整数x,如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘

3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“3x+l”猜想的一个程序框图，若输入正整

数m的值为40，则输出的〃的值是()

12.设双曲线。：二―二=1(a＞0力＞0)的左右焦点分别为Ft,F2,点£(0,。(「＞0).已知动点P在双曲线C的右

ab~

支上，且点R民工不共线.若APEFz的周长的最小值为劭，则双曲线。的离心率右的取值范围是()

A.[¥^,+8B.1，¥^C.[瓜+8)D.0,6]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设S“为数列｛《,｝的前〃项和，若2s“=54-7,则《,=—

14.已知函数/(x)=/+bx2+ex,若关于x的不等式/(x)V0的解集是(-8,-1)u((),2),则"£的值为.

a

15.已知数列｛《,｝递增的等比数列，若的+%=12,%g=27,则4=.

16.如图，在AA6c中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=120°,。为边8C的中点.若CE_LA。，垂足为E,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数八x)=|x-2|—|x+l|.

(I)解不等式

(U)当x>0时，若函数g(x)=竺二卫)(0>())的最小值恒大于/(X),求实数。的取值范围.

X

18.(12分)已知函数/(%)=|4%-1|一,+2|.

(1)解不等式〃x)>2；

⑵记函数y=/(x)+5|x+2］的最小值为3正实数“、b^a+6b=-,求证：变屋2瓜

9Vab

19.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的

销售数据按照［15,25］,(25,35］,(35,45］,(45,55］分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.

(1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；

(2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发

成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱

(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(45,55］时看作销量为5()瓶).

①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量丫，

求X和丫的分布列和数学期望；

②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？

注：销售额=销量x定价；利润=销售额一批发成本.

20.(12分)如图1,在等腰HAABC中，NC=9()°,D,E分别为AC,AB的中点，尸为CO的中点，G在线

段8C上，且BG=3CG。将AAD石沿OE折起，使点A到A的位置(如图2所示)，且

A

图1BCG图2

(1)证明：BE//平面4FG；

(2)求平面A/G与平面4BE所成锐二面角的余弦值

21.(12分)已知函数f(力='吧，g(x)=x-cosx-sinx.

(I)判断函数g(x)在区间(0,3〃)上零点的个数，并证明；

(II)函数/(x)在区间(0,3〃)上的极值点从小到大分别为用，x,证明：

2/(A,)+/(X2)<0

22.(10分)已知e(0,+oo),且满足%+9+再=3%々看，证明：^2+x2x3>3.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

可设△PEQ的内切圆的圆心为/，设归用=加，俨周=〃，可得〃2+〃=2。，由切线的性质：切线长相等推得〃2=%,

解得，〃、〃，并设I。周=人求得/的值，推得“名。为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所

求值.

【详解】

可设APQQ的内切圆的圆心为/，加为切点，且为PQ中点，二归耳|=|nw|=|%|，

设归国=加，归可=〃，则m=g〃，且有/〃+〃=2a,解得，"=与，〃=与，

设|明=?，|。闾=2a-r,设圆/切。耳于点N,则朋|=|姐|号，|QN|=|QK|=r,

由2a—=|。用=|QN|+|Ng|=f+?,解得/=彳，.•.|尸口=加+/=¥，

「IP61=1。61=?,所以△尸鸟。为等边三角形,

所以，2。=立•相，解得£=立.

23a3

因此，该椭圆的离心率为3.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属

于中档题.

2.D

【解析】

连接BE,BD,因为BE//AF,所以NBE。为异面直线AE与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取的中点为G,连接EG,在等腰ABED中，求出cosN8EG=&@=噌，在利用

BEV5

二倍角公式，求出COS/3ED,即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为8E7/A尸，所以N5E。为异面直线AE与。石所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则5£：=。5=行，BD=26，

在等腰ABED中，取3。的中点为G,连接EG,

则EG=J5—2=V3，cosNBEG=----=，

BE75

所以cosZBED=cos2NBEG=2cos2ZBEG-1,

31

即：cosNBED=2x——1=—,

55

所以异面直线AE,OE所成角的余弦值为、

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

3.D

【解析】

由半圆面积之比，可求出两个直角边AB,AC的长度之比，从而可知tan。=二上=7,结合同角三角函数的基本关

AB2

系，即可求出sina,cosa,由二倍角公式即可求出sin2a.

【详解】

解：由题意知,以A3为直径的半圆面积耳=g》］等

2

以AC为直径的半圆面积S,=」万AC\nIS2AC1anAC1

'则§=新="即3a

22AB2

.垂＞

sin2a+cos2a=lsina=—厂厂

5,所以sin2a=2sinacosa=2x避冬工=3

由＜sina1，得＜

tana2d5555

cosa2cosa-------

5

故选:D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.

4.D

【解析】

先求出集合5,再与集合A求交集即可.

【详解】

17

由已知，X2-X+2=(X--)2+->0,故8=R,所以AD8={-2,—1,0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

5.B

【解析】

解出%2<分别代入选项中a的值进行验证.

【详解】

解：..._a«xWa.当。=1时,8={—1,0,1},此时A13不成立.

当。=2时,8={-2,—1,0,1,2},此时Au8成立，符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.

6.C

【解析】

根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解:若{斯}是等比数列，则S9-58=。9=4/应/0，

若4>0,则$9-S8=%=qd>0,即S9>$8成立，

若Sg〉》成立，则$9-S8=%=a4>0,即4〉0,

故“4>0”是“Sg>Ss”的充要条件，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.

7.C

【解析】

由奇函数的性质可得进而可知/（X）在R上为增函数，转化条件得X-3<9-/,解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为=是定义在R上的奇函数，所以+1）=0,

e+。

1-1

P—\_i7

即——+4一=0,解得4=1,即/（x）=3■二=1一一—,

e+a!+“v）e'+lex+\

e

易知在R上为增函数.

又/（%-3）</（9-f）,所以*_3<9—解得-4<x<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

8.A

【解析】

设点P的坐标为（加,〃），代入椭圆方程可得〃机2一然后分别求出点p到两条渐近线的距离，由距离之

积为一并结合〃机2一。2〃2=。202,可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.

4

【详解】

“2

设点尸的坐标为（加/）,有二■=1,得b27n2一（J几2=a2b2•

a

双曲线的两条渐近线方程为区-3=0和bx+ay=0,则点2到双曲线C的两条渐近线的距离之积为

\bm-an\\hm+an\^b2m2-^z2n2|4从

后&十y=〃+劣=丁，

2»212

所以£^1=久2,贝!|4/（。2-。2）=，4,即一—2*2=0,故2/=0,即e2=：=2,所以e=&.

c~4v'a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，构造C的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.

9.B

【解析】

TT713万

首先由正弦定理将边化角可得cosA=sin5,即可得到A=B,再求出BE,最后根据

2

7T\7n1\

sinA+sinC=sin^B-—|+sin兀-B--\-B求出sinA+sinC的最大值;

2

【详解】

解：因为acosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因为sinAH0

所以cosA=sinB

兀

•:Bn>—

2

n3万

：.Bes/4

29T…。I一2乌]

71

-B

~2

=-cosB-cos2fi

=-2cos2B-cosB4-1

=-2|cosB+—j+—

I4j8

cosB=—G------,0时(sinA+sinC)=—

4(2J、","axg

故选：B

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

10.A

【解析】

首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有仁=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有(3/7),(7,13),共2种情况，

21

故随机选出两个不同的数，其和等于2()的概率「=而=瓦.

故选：A-

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

11.C

【解析】

列出循环的每一步，可得出输出的〃的值.

【详解】

40

n-\,输入加=4(),"=1+1=2,m=1不成立，切是偶数成立，则根=—=20；

2

20s

〃=2+1=3,m=1不成立,m是偶数成立，则nI根=——=10；

2

加是偶数成立，则根=W=5；

72=3+1=4,根=1不成立,

2

72=4+1=5,加二1不成立,团是偶数不成立，则加=3x5+1=16；

加是偶数成立，则根=£=8；

〃=5+1=6,根=1不成立,

2

8

n=6+1=7,m=1不成立,m是偶数成立，贝!)"z=—=4；

2

〃=7+1=8,加二1不成立,加是偶数成立，则m=—=2；

2

2

〃=8+1=9,加=1不成立,机是偶数成立，则机=7=1；

2

〃=9+1=10,加=1成立，跳出循环，输出"的值为10.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

12.A

【解析】

依题意可得C"EF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFt>2PFi-2a=4b

即可得到2a+4b>2（a+c）,从而求出双曲线的离心率的取值范围；

【详解】

解：依题意可得如下图象，C^EFi=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFX

-PE+PF、+EFt-2a

N2PFr2a=4b

2PFi=2«+4/?>2（a+c）

所以2Z?>c

贝114c2-4a2>c2

所以3c2>4"

M4-

所以e2=—>—

a23

所以e>苧，即ee1言,+oo

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

7

当”=1时，由2sl=5%-7=2%,解得4=§,当心2时，2s“=5a,—7,2S“T=5a.T-7,两式相减可得

2aL5%-5a,“，即5«„_,=3勺，可得数列｛an｝是等比数列再求通项公式.

【详解】

7

当〃=1时，2,=56一7=2囚，即

当”22时，2Sn=5an-7,2S“_|=5a,”|一7,

两式相减可得2a“=5。■-5a,i,

即54T=3%,

7s

故数列｛4｝是以§为首项，1为公比的等比数列，

所以no.

故答案为：1

【点睛】

本题考查数列的前〃项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.

14.-3

【解析】

h+c

根据题意可知办2+云+C=0的两根为-1,2,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解——即可.

a

【详解】

解：因为函数/（尤）=幺3+区2+5=%（依2+法+c）,

・・・关于X的不等式/（x）<o的解集是（F,-1）”0,2）

/.ax2+Zzx+c=0的两根为：T和2；

br

所以有：（T）+2=——且（T）x2二一；

aa

h---（1且c~~-2。；

b+c-a-2a-

-----=----------=-3；

（2Cl

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系，属于基础题.

15.3"T

【解析】

44=44=27,建立生，%方程组，且/</，求出生，的，进而求出｛《,｝的公比，即可求出结论.

【详解】

数列｛4｝递增的等比数列，二%>/，

W氏…+4=必12=27’解得J。2=3

%=9'

所以｛%｝的公比为3,a“

故答案为：3"，

【点睛】

本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.

s27

16.

7

【解析】

EBEC^（EA+AB）EC^ABEC=（AD+DB）EC^CDEC=-EC2,

由余弦定理，得BC=,9+4-2x3x2xcosl20'=M，

「4+19-973J3

得力-二囚再，但彳，S

3G____27

所以CE所以E5・EC=——.

方7

点睛：本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到

EBEC=-EC2>所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I){x|x<0}；(II)[l,+oo)0

【解析】

(I)分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；(II)由条件利用基本不等式求得g(x)mm=2&-1,

/(X)G[-3,1),再由2&—121,求得。的范围.

【详解】

(I)当x>2时，原不等式可化为％-2-》一1>1,此时不成立；

当—l<x<2时，原不等式可化为2-％-工一1>1,解得x<0,即一lWx<0；

当时，原不等式可化为2—x+x+l>l,解得》<一1.

综上，原不等式的解集是{x|x<0}.

(II)因为g(x)=ox+L—122G—l,当且仅当时等号成立，

xa

所以gGJg(用=2G一1.

/、f1-2x,0<X<2/、r\

当x>()时，/(%)=々，所以/(x)W—3,1).

所以26-121,解得421,故实数a的取值范围为[1,+8).

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝

对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三:

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

18.(1)^-oo,-^j|J^1,+oo^；(2)见解析.

【解析】

(1)分xW—2、-2<x<；、xN；三种情况解不等式/(x)>2,综合可得出原不等式的的解集；

(2)利用绝对值三角不等式可求得函数y=/(x)+5|x+2|的最小值为女=9,进而可得出a+M=l,再将代数式

9+,与。+6。相乘，利用基本不等式求得9的最小值，进而可证得结论成立.

abab

【详解】

(1)当xW—2时，由/(x)>2,得1―4x+x+2>2,即l-3x>0,解得x<g,此时xW—2；

133

当—2<x<一时，由/(x)>2,得1-4x-x-2>2,即5x+3<0,解得x<——，此时一2<%<一一；

455

当xN；时，由/(x)>2,得4为一1—》一2>2,即3x—5>0,解得x〉；，此时x〉|.

综上所述，不等式4》)>2的解集为卜0,-|)4，+°0)；

(2)y=/(x)+5|x+2|=|4x-l|+4|A：+2|=|4x-l|+|4x+8|>|4x-l-(4^+8)|=9,

当且仅当(4x—l)(4x+8)W0时取等号，所以女=9,a+6b=l.

所以9+2=j9+口(a+6b)=6+迎+色+6212+2、^^=24,

ab\ab)abNab

当且仅当迎=：,即。=工，时等号成立，所以9+?224.

ab212ab

所以、口+工22&,即怪亘22瓜

NabVab

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考

查运算求解能力，属于中等题.

19.(1)0.657；(2)①详见解析；②应该批发一大箱.

【解析】

(1)酸奶每天销量大于35瓶的概率为0.3,不大于35瓶的概率为0.7,设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸

奶销量大于35瓶”为事件A，则可表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.

(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有2(),30,40,5()四种情况，分别求出相应概率，

列出分布列，求出X的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为6()元，依题意，销量有2(),3()两种情况，分

别求出相应概率，由此求出丫的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，E(X)>E(y),从而早餐应该批发一大

箱.

【详解】

解：(1)根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.02+0.01)x10=0.3,不大于35瓶的概率为0.7.

设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A,则入表示“这三天酸奶的销量都不大于35

瓶”.

所以P（A）=1-P（A）=1-0.73=0.657.

(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有2(),30,4(),5()四种情况.

当销量为2()瓶时,利润为5?2075=25元;

当销量为30瓶时，利润为5?3075=75元;

当销量为40瓶时，利润为5?4075=125元;

当销量为5()瓶时,利润为5?5075=175元.

随机变量X的分布列为

若早餐店批发一小箱，批发成本为6()元，依题意，销量有2(),3()两种情况.

当销量为2()瓶时，利润为5?2060=40元；

当销量为30瓶时，利润为5?3060=90元.

随机变量Y的分布列为

Y4090

P0.30.7

所以E（y）=40?0.390?0.775（元）.

②根据①中的计算结果，E(X)>E(y),

所以早餐店应该批发一大箱.

【点睛】

本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属

于中档题.

20.(1)证明见解析

⑵迎

5

【解析】

(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点M，连接DM，根据条件证明DM//BE,OM//EG,即

BEHFGx

(2)以尸为原点，尸。所在直线为X轴，过尸作平行于C8的直线为y轴，尸4所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系E一孙z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取8c的中点连接DM.

•••BG=3CG,...G为CM的中点.

又F为CD的中低，：.FG//DM.

依题意可知。则四边形为平行四边形，

ABE//DM,从而8E//FG.

又EGu平面43G,BEa平面A^G,

3E//平面A/G.

(2)-：DELAD„DELDC,且

.•.£>E_L平面ADC,4/匚平面4。。,

:.DEVA,F,

•.■A.FLDC,且DEcDC=D,

平面8CDE,

，以尸为原点，FC所在直线为x轴，过户作平行于CB的直线为)'轴，FA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

F-xyz,不妨设8=2,

则E（0,0,0）,A（0,0,6）,B（l,4,0）,£（-1,2,0）,G（l,l,0）,

西=位,0,6）,而=（1,1,0）,“=（-1,2,-百），丽=（2,2,0）.

设平面4EG的法向量为I=（百,％,zJ,

n-FA,=0

则

n-FG=0

令％=1,得〃=（1,—1,0）.

设平面4BE的法向量为而=（X2，%，Z2），

r,m-A,E=0f-x,+2y-,-A/3Z-0

则〈JL，即〈-%2,

m-EB-0[2X2+2y2-0

令％2=1,得/〃=（1,一1,一百）.

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