北大 《固定收益证券》课后习题详解

固定收益证券第一章作业

1解：

年复利：/?=1000/(1+10%)3=751.31

半年复利：/?=1000/(1+5%)6=74622

季复利：“=1000/(1+2.5%产=743.65

月复利:/?=1000/(1+10%/12)36=741.74

天复利：p=1000/(1+10%/365)1095=74(185

连续复利:p=1000/(1+10%/n)3'1=1000/e03=74082

2解：

年复利400Q1+ri=2000nr=0.0905

半年复利JOOfll+r/2)16=2000nr=0.0885

季复利：Q+r/4)32=2=>r=0.0876

月利率:Q+r/12)96=2=>r=0.0870

天利率：Q+r/365)2920=2=>r=0.0867

连续利率(1+r/〃产=2nr=0.0866

3解：

复利4%,年计息：

1+4%=err=In1.04=0.0392

复利20%,年计息：

l+20%=er=>r=lnl.2=0.1823

复利20%,季计息：

(1+20%/4尸=e'r=lnl.O54=0.1952

复利20%,月计息:

(1+20%/12)12=nr=ln(l+20%/12)i2=0.1984

4解：

净价=101+23/32=101.71875

应计利息=100x0.09125^2x79/184

人/人10(X1+0.09125^2)

金=-----------------

,।105

1+r年x

2184

全价=净价+应计利息

解得:x=0.029911851故买入收益率为0.029911851

同理卖出收益率为0.027782327

5解：

答：(1)设逆浮动利率债券的利率公式为X

5000*9%=3000*(LIBOR+3%)+2000X

解得X=18%T.5LIB0R

逆浮动利率债券的利率确定公式为18%-1.5monthLIBOR

(2)因为0<LIB0R〈=12%

浮动利率债券的利率=lmonthLIBOR+3%,故顶为15%,底为3%

逆浮动利率债券的利率=18%T.5monthLIB0R,故顶为18%,底

为0

6解：

5000/100*98.25=4912.5元

所以投资者购买该债券需支付的金额4912.5元

7解:

浮动利率=LIBOR+1.25%=6.5%+l.25%=7.725%

半年支付的利率水平=7.725%/2=3.875%

第二章作业

1.设债券的面值是P,到期收益率为5%时的债券价格为3到

期收益率为6%时的债券价格为之则

c6%尸6%P60/0P+P

'(1+5%)(1+5%)2(1+5%)3

c6%P6%尸6%尸+尸

2(1+6%)(1+6%)2(1+6%)3

^—^■=0.027

P

即价格下降2.72%

2.

FV=100x3%x(l+3%)5+100x3%x(1+3%)4+100x3%x(1+3%)3

+100X3%X(1+3%)2+100X3%X(1+3%)+100X3%+100

=119.4

3、假定某债券面值为100元，期限为3年，票面利率为年6%,一年

支付2次利息，投资者购买价格为103元，请计算在再投资收益率为

年4%的情况下投资者的年收益率。

解:

(1

100+3x[±^zl

2%

=(1+;72)6

103

l+r/2=1.024

年实际收益率为(l+r/2)2-1=4.91%

4、一个投资者按85元的价格购买了面值为100元的2年期零息债券。

投资者预计这两年的通货膨胀将分别为4%和5%o请计算该投资者

购买这张债券的真实到期收益率。

解：85(1+4%X1+5%)(1+y)2=100

y=3.8%

5、到期收益率:

10100x2.5%100

105功

(l+r/2)z(l+r/2)10

/=1解得:

r=3.88%

年有效收益率：

由于半年计息一次，所以年有效收益率为：

喏效=(l+r/2)2-1=3.92%

6、此债券的到期收益率即当将债券持有至到期的收益率，根据:

弋100x3%100

-^(l+r/2),+(l+r/2)40解得：r=52%

至第一回购日的收益率根据现在价格和回购日的回购价格:

4100x3%100

=/1+后购/2),+(1+眉购/，解得……98%

7、设债券的到期收益率为y,则

QO/

1000*(")

161000

E2+=1100

t—1(i+|y(1+^)16

2

y=6.38%

总利息为

(1+6.38%/2严—1

=818.47

W%

利息:

1000*8%*8=640

利息的利息:

(1+6.38%/2)16-1

40x-640=178.47

3.19%

资本利得：

1000-1100=-100

收益：

640+178.47-100=718.47

利息所占的比例为

-^-=89.08%

718.47

利息的利息的比例为

资本利得为-13.92%

8、(1)

100=T

(1+M)

%=135%

p二-550=454.54

(1+10%)

225

100=--

1+劣

%=125%

225

=204.545

21+10%

450

100=

1+%

为=350%

450

二409

1+10%

债券A最为被低估，债券C的到期收益率最高

2。壁+忌

y=213%

i+y

y=237.5%

所以A和C组合的到期收益率为213%,B和C组合的到期收益

率为237.5%

(3)净现值A和C为836.64-200=636.64

B和C为613.64-200=413.64

比较两个组合，A、C组合的净现值大于B、C组合，但是

到期收益率比B、C组合小，所以到期收益率不是一个可靠的投

资决策指标。

A、C组合的收益率为213%,而A和C的收益率之加权

平均为(135%+350%)/2=242.5%

组合的到期收益率并不等于其各个成分的到期收益率的简

单加权平均。

9.设债券在零期的价格为P

债券以3年期的平价收益率的复利计算所得的终值应该等

于每一期现金流按照相应年限对应的平价收益率所得终值之和。

即：

P(1+20%)3=10x(1+15%)2+10x(1+10%)+110

求得P=77.84元

10.根据P120的公式

1

一(1+y7yl百.

yr-H=—YH-]

本题中注意牙=90天=；年；H=30天年

(1+4.25%)%(年

故((1+4%)%—"%

固定收益证券第三章作业

pD=(y--C--1---F--

、(1)o占(1+%>(1+%0产

C=1000*8%F=1000

%=86285

二—C____F

-Z(i+y"6+(i+M9.5)

45=903.92

qCF

「白(1+y)+(1+卅)19

P1=866.66

⑵%=1%

同理P。=944.76

PO.5=985.42

Pi=974.53

⑶为=y+i%

1^=791.61

P0.5=832.90

PI=796.05

2、

A:1000di=905di=0.905

B:1000d2=800d2=0.8

C:P=100d1+1100d2=970.5

证券价值高于证券价格说明证券价值被低估了因此存在套利机会

应该买入债券C卖空债券A和B

3、

由题意A、B、C的价格与现金流量情况如下表:

012

A11001001100

B96100

C93100

由B、C求折现因子：

96=100**得d[=0.96

93=100*d2得d2=0.93

由此给A定价：

100*d1+1100*d2=100*0.96+l100*0.93=1119

因此A被低估了，存在套利机会。

套利的办法就是购买A,卖空B、C的某种组合:

100NB=100

100Nc=1100

得NB=1

Nc=ll

一个可行的套利组合是购买1个A,卖空1个B,卖空11个C。

4、

A、B、C的价格与现金流量情况如下表:

012345

A1006666106

B943333103

c995555105

dt为债券第t年的折现因子

债券A理=]6dt+100d5=100

债券BX13dt+100d5=94

债券CSU5dt+100d5=99

令2Ldt=A100d5=B则上面三式可简化成

6A+B=100(1)

3A+B=94(2)

5A+B=99(3)

解方程可知三个等式互相矛盾，即债券定价有不合理。以AB两债

券为准，得债券C定价应为98

5、

由A、B、C的价格及现金流量求折现因子：

93=1OOdj

92.85=5d1+105d£

100.2=10d1+10d2+110d3

得：山=0.93

d2=0.84

d3=0.75

由此给D定价：

20d1+20d2+120d3=125.4

因此D被低估了，存在套利机会。

10NA+100NB+5NC=20

10NA+105NC=20

110NA=120

得：NA=12/11

NB=20/231

Nc=20/231

可行的套利策略为：

买入231个D,卖空252个A,卖空20个B,卖空20个C。

6、

⑴若购买零息债券.则需购买

1面值270万元一年期的零息债券，成本为245.457万元;

2面值470万元的两年期零息债券，成本为376万元；

3面值548万元的三年期零息债券，成本为391.4364万元，

4面值612万元的四年期零息债券，成本为382.5万元.

总成本约为1395.4万元.

⑵设ABCD四种债券各自购买的数量为NANBNCND

则：

11NA+12NB+8NC+36ND=270.......................①

111NA+12NB+8NC+36ND=470.......................②

112NB+8NC+36ND=548.......................③

108NC+36ND=612.......................④

解得：NA=2NB=3NC=4ND=5

故购买的总成本为2*98.7+3*103.5+4*87.9+5*110.7=1413万

元.

7、

设投资者买入ABCDE的数量分别为卖出A

BCDE的数量分别为NAbNBbNcbNDbNEbn

MinZ=

93.32NAa+90.41NBa+86.65NCa+108.02NDa+112.7NEa-

91.81NAb-88.97NBb-84.14NCb-105.07NDb-110.9NEb

约束条件：

100NAa+8NDa+12NEa-100NAb-8NDb-12NEb>50

100NBa+8NDa+112NEa-100NBb-8NDb-112NEb>200

100NCa+108NDa-100NCb-108NDb>160

NA@、Npa、Nca、ND@、Ngg'.NAI,、NRI,、NQ,、NDB、>0

用excel求解线性规划问题，得到Z=366.5529.

此时NAa=0.2857,NCa=1.6,NEa=1.7857其它均为0.

第四章持续期与凸性

1、有效持续期为

^effective-H_/p」05.5-100/]02,5=5.37%

1

所以有效持续期为5.37%o

2、根据1的结果，D=5.37%

△P=D*1%=5.37%

P,=102.5*(l+5.37%)=1086

债券价格为108元

3、(不会)参考答案：因为是浮动利率债券，所以比率持续期接近

0.5o

4、5.49%*98.63*2=10.79

债券价格的变化为10.79

5、设N3为持有3年期零息债券的数目，Wo为持有20年期债券数目

投资者权益在初始状态下的金额持续期为3*200-185*9=1065

为了让资产组合与负债在持续期上匹配，并且要保证权益价值，因此

建立下面的策略

1OON3+1OON2O=2OOOO

3N3+20N20-185*9=0

N3=137.35,N20=62.65

即投资者应当持有3年期零息债券数量为137.35个单位，价值13735,

持有20年期零息债券数量为62.65个单位，价值为6265o

6.已知，一年期零息债券的到期收益率为5.02%时，价值为51.60,到

期收益率为4.98%时，价值为51.98。

Q=△金额/PDc=(P-P'\y+—y.)/P

在到期收益率为5%时，。=De,(5%为中点)

.*.△金额=P-P'\y+-y-

代入，得A金额=(51.98-51.6)/(5.02%-4.98%)=950

；・A金额=950*1%=9.5

7已知，一年期零息债券的到期收益率为5.02%时，价值为51.60,到

期收益率为5.06%时，价值为51.40。

同理，得△金额=51.60-51.4/5.06%-5.02%=500

，△金额=500*1%=5

8.当到期收益率为5.02时

r=Dl-D2/A=9.5-5/0.04%=112.5%

9、D=15.4210x1000+25.7615x250-39.9846x1300=-30118.605

3D=9O355.8

又=770.05X1000+645.04x250-573.21x1300=186137

V=186137-90355.8=95781.2

所以解得1|0/

V17%=186137+90355.8=267192.8

资产负债表资产净值与利率的关系图如下：

r=0.41X1000+1.04X250-2.90X1300=-3100

A=-x9F=-3100x9=13950

22

V14%=770.05x1000+645.04x250-573.21x1300=186137

%%'=95781.2-13950=81831.2

V17%'=267192.8—13950=253242.8

资产负债表资产净值与利率的关系图如下：

20001000

10、1)i.i3+TF-=2015.79

2）设两年期零息债券投资x,十年期投资y比例，则有:

X2000/I.I3cccoc

—=-------=2.9282

y1000/1.17

所以根据x+y=l,得到x=74.4%；y=25.6%

3）利率突然上升，组合亏损

100।

11、（1）、一年期的即期收益率为4==一1=6%

两年期的即期收益率G

109.59.5

=105.403

(1+幻21+4

解得弓=7%

三年期的即期收益率为

100

1=7.5%

(M

(2)、01■仕*。21版)x+)2

解得。九二8.01%

100x(l+6%)(l+0九)(l+o%3)=100x(l+7.5%y

解得。力,3=&51%

(3)、99.56

sc9%FV9%FV9%FV+FV

(4)、100=---------+------------+-----------------r

1+6%(1+7%)-(1+7.5%)-

解得FV=90.35

nFVx9%Wx9%+fV

=93.69

(1+7%)2

nFVx9%FVx9%+FV

r=----------=93.69

1+r(l+r[

解得r«7%

770770_______

(5)、1钱+(1%)法(+3)1-(+y)+(+y)

107

-+2x--------+3x

1+y(1+犷7

xl%=2.61

i+y

(6)2.61%

(7)因为凸性的存在，在市场利率下降时，债券价格会上升，但上

升的幅度比单单通过持续期估计的价格上升幅度来得大；而如果市场

利率上升，债券价格下降的幅度，要小于单单通过持续期估计的价格

下降的幅度。

弟八早

1.由于期货合约的价格为95.25美元,因此,暗含的单利利率为(100-95.25)%=4.75%。在

到期日，利率变成了5.25%,期货合约的价格为94.75美元。

融资者出售期货合约，因此可以赚取1250美元，即

(95.25-94.75)*2500=1250美元

或者(525-475)*25=1250美元

投资者在期货合约到期日可以获得这笔钱。

在2005年12月，融资者可以按照当期利率5.25%,借入100万美元，期限为90天。90天

之后他支付本息1013125美元,即

1000000(1+0.0525(90)/360)=1013125

而在2005年12月融资者收到的资金为1001000美元，其中1000美元是卖出欧洲美元期货

合约获得的收入，叩

1000000+1000=1001000美元

有效利率(基于360天)为4.744%,即

1001000(l+r(90)/360)=1013125

r=4.744%

2.

假定在0时点，2.5年期国债的到期收益率为5%,6个月回购协议的利率为4%(基于360

的计息规则)。债券价格为883854.29美元。

1000000/(1.025)(1.025)(1.025)(1.025)(1.025)=883854.29

在0时点：订立6个月的回购协议，借入资金883854.29美元，以100万美元面值的债券为

抵押品。同时，在市场上购买面值100万美元的债权，价格为883854.29美元，并以此作为

抵押品。净现金流量为0。

6个月之后：偿还回购协议的借款，并支付利息：-883854.29(1+4%*180/360)=-901531.376

美元；同时得到面值为100万美元的债券，期限为2年.

(1+y)(1+y)=1000000\901531.376

y=5.32%

3、方案一：T=0,买入期货合约，价格为X；

卖标的债券得95元，并把所得的钱借出;

T=0.5,买标的债券支付X+100*7%/2

收回借出的钱，得本息95+95*5%/2

如果不存在套利机会，则

X+100*7%/2=95+95*5%/2

X=93.875

方案二：T=0,卖出期货合约，价格为Y；

借钱95元，期限为6个月；

T=0.5,买入债券支付Y+100*3.5%

偿还本息95+95*4.5%

如果不存在套利机会，则

Y+100*3.5%=95+95*4.5%

Y=95.775

所以，期货交易的合理区间为93.875—95.775

如果该债券的期货价格为97元，超过合理定价区间，则存在套利机会,

T=0,卖出期货合约，价格为97元；

借入资金95元购买债券；

T=0.5卖出债券得97+100*3.5%=100.5

偿还本息95+95*5%/2=99.275

净收益为100.5-99.275=1.225

4、(1)净利率变动1个百分点，则债券组合价值波动3.2个百分点

(2)互换现金流(持续四年)

4.25%

你自己＜2公司B

LIBOR+0.2%

互换之所以降低了风险价值。是因为它降低了组合的持续期。你己经把期限较长，持续修正

期为3.2年的资产组合，转换成了偿还期只有6个月的资产。实际上，你的违约风险也降低

了。

第六章5

18年期票面利率6%的债权的转化系数为1.0

16年期票面利率5.4%的债券的转换系数为0.949,即

Py=6%12.75100

=0.949

100100(1+3%)'(1+3%)32

支付18年期债券的损失为3,即102-105=3

支付16年期债权的收益为0.751,即102x0.949-96.05=0.751

所以，应该交付期限为16年、票面利率为5.5%的债权。

第七章

1、根据l(X)=96x(l+Rj

求得一年期零息债券的到期收益率R=4.17%

两年期零息债券一年后的期望价值设为P

根据无套利定理有

90x(l+R,)=93P+97(l-P)

解得PT

16

期权价格C=[(97-93)(1-P)+0XPL

0.54

1+R|

2、

Ho-Lee模型

dr=九柏dt+(jdo)

_____4+(4+4)dt+2o\ldt

)0+(4+几2)力

-%+(4+%)龙一2(Xyldt

两年期的零息债券价格变化的二项树图

100

1+6%+%+0.5%

88.75100

1+6%+%-0.5%

解下面方程:

(110011001

・1.06=88.75

[21+6%+4+0.5%21+6%+^-0.5%)

解得：4=0.3%

------6%+(4+%2)+2c

6.8%

6%+(X]+石)

5.8%~~~+(办+AQ)-2cr

3年期零息债券的市场价格是83.34元，那么三年期的二项式树

图节点为

100

1+7.3%+22

100

Pud

1+6.3%+%2

100

1+5.3%+/^2

0.5%+0.5蜀

Pd

1+6.8%

p=。.5吃+0.5以

“1+5.8%

解得4=0.2%

三年期的利率树图为

7.5%

6.8%

6%6.5%

5.8%5.5%

第八章

rt

(1)C=SN(dx)-Ke-N(d2)

d2=dj—aVT

S=7K=6.5『5%o=20%T=l/6

代入得C-2.01

故公司选择权的价值为2.01元，100股的期权价值为201元。

(2)P{S(t)>K}=P[Z>aVt-dj=N(di-o5/t)=N(d2)

P{S(t)>K]=0.835

(3)根据B-S公式的推论，避险组合的权重即为△值。

de,、

△=—=N(di)=0.8554

ds

习题8.2

8%

解：在时点2,市场利率分别是8%,6%,4%o

如果是8%,固定利率支付方最后支付额的现值=(100000+600)/

1.08=9814.81;而浮动利率最后支付额的现值=10800/1.08=10000o期

权价值为0o

如果是10%,固定利率支付方最后支付额的现值=(100000+600)/

1.06=10000;而浮动利率最后支付额的现值=10600/1.06=10000o期

权价值为0.

如果是4%,固定利率支付方最后支付额的现值=(100000+600)/

1.04=10192.3;而浮动利率最后支付额的现值=10400/1.04=10000o

期权价值为192.3o

在时点1,市场利率分别是7%,5%.

如果是7%,剩下的固定利率支付方支付额的现值=600/

1.07+0.5(10600/1.08+10600/1.06)/1.07=9820;浮动利率支付的现

值=10000.故不执行.

等待的价值为0.5*0+0.5*0=0o故期权价值为Oo

如果是5%,剩下的固定利率支付方支付额的现值=600/

1.05+0.5(10600/1.06+10600/1.04)/1.05=10186.81;浮动利率支付的

现值=10000.故执行价值为186.81.

等待的价值为0.5*0+0.5*192.3=96.15。故期权价值为186.81。

在时点0,利率为6%,剩下的固定利率支付额的现值=10000.839,执

行价值0.839

等待价值=(。5*0+。5*186.81)/1.06=88.11

故期权的价值为88.11

习题8.3

(1)

Time0Time1Time2

⑵在时刻贷款的价值嚅+聋赢)*

1vt=0.5

在时刻。贷款的价值V。=息=99.956万

(3)由题可知，若贷款不含箍，则其现金流应该是按照市场利率贴现。则很明显，贷款的

现值应为100万，现在含箍的贷款现值为99.956万。所以箍的价值应为不含箍的贷款现值

减去含箍的贷款现值，即100万-99.956万=0.044万。即应付给银行440元就与不含箍的贷

款一样了。

4、作为不可回购债权时，价格为:

V=98.779

C=0

r0=10%

所含期权价值C为

第九章资产证券化

1.证券化的基本结构：

(1)确定资产证券化目标，组成资产池

发起人首先分析自身的资产证券化要求，衡量借款人信用、评估抵押担保物的价值、预测资

产现金流，并根据证券化目标确定资产池规模，将资产进行组合构成资产池。

(2)资产转让

发起人与特殊目的实体签订买卖合同，发起人将资产池中的资产转让给特殊目的实体。

(3)信用增级

内部：由SPV用基础资产中所产生的部分现金流来提供；

外部：由外部第三方提供的信用增级工具。

(4)信用评级

信用评级由专门评级机构应资产证券发起人或承销商的请求进行。

(5)证券发行和资产转让支付

确定信用评级结果后，承销商以包销或代销方式向投资者发行证券筹集资金。

(6)资产售后管理和服务

发起人指定一家资产管理公司管理资产池，负责收取、记录由资产池产生的现金收入，并将

现金收入存入受托管理人的收款专户。

2.SPV在资产证券化中扮演着非常重要的作用：

(1)从经济学原理上看，由特殊目的载体发行资产支持证券有优势

它使得贷款的发起者、证券的发行者、承销者、担保者、评级者等进行了专业的分工。

(2)在法律上，由特殊目的载体发行MBS更为方便

特殊目的载体从银行那里购买到信贷资产后，可以比较容易实现破产隔离。

3.传统的固定利率贷款、可调整利率抵押贷款、渐进偿还抵押贷款、反向年金抵押贷款、价

格水平调整抵押贷款、分享增值抵押贷款、质押存款账户抵押贷款等。

4.固定利率抵押贷款对于借款人来说，有两个好处：一是借款人可以预先知道借款的成本和

每月偿还的数额，二是借款人可以在对他有利的情况下提前清偿贷款余额。

但是在利率较高和较低的时候，发放固定利率抵押贷款对于商业银行的收益会产生非常大的

差别。例如，在利率较低的时候发放不动产抵押贷款，由于这种贷款的期限很长，在利率上

升时，商业银行的资金成本势必增大，从而商业银行一定会遭受损失；而在高利率时发放住

房抵押贷款，在利率下降后，借款人将发生非常大的损失。尽管一般说来借款人可以提前偿

还贷款，但偿还贷款需要再融资的能力，并不是每个借款人都具有再融资能力的，因此，在

市场利率下降时借款人发生损失是不可避免的。

可调整利率抵押贷款分为无限制的和有限制的两类。无限制可调整利率贷款，利率风险完全

由银行转移到借款人身上，因为这时银行的存贷利率都随着市场利率而变动