【江苏专用】2021年人教A版高二数学必修三

6.3二项式定理（精练）

【题组一二项式定理展开式】

1.（2021•贵州黔东南苗族侗族自治州）计算2"一匕+2"-2£；+2"-3端+~+禺等于（）

A.3"B.2x3"C.3"—1D.3"-2"

【答案】D

【解析】原式可变为（2"C：+2nTC；+2n-2c；+2"Tc：+・..+C：）-2"。,；=（2+1）"-2"=3"-2"选项1）.

2.（2021•江苏无锡市））设nGN*，化简l+C：・10+C>102+C"03+―+C；40"=.

【答案】11"

【解析】容易知1+C：•1（）+IO?+C；♦IO,+…+C：•10"=（1+⑼”=11".故答案为：11":.

3.（2021•上海市）已知〃eN*，若C：+2C；++…+2”-2£7+2”1=40,则"=_.

【答案】4

【解析】C：+2C；+2?C；+…+2'-2CT+2"T=；（端+2C：+2?C；+…+2"C：-1）

=；[（1+2）"-1]=；（3"—1）=40.♦.〃=4故答案为：4

4.（2018•江苏无锡市）求值22"T—C；,i2i+c；,i"心+……+（一1产-2c2+（—I）2"T=

【答案】1

【解析】通项展开式中C；"_「22"-3的b=-i,a=2,故

22"-,-C^,-22n-2+C^_,-22n-3+……+（-1广2c丈12+（—1）21=（2—1严=1

【题组二二项式指定项的系数与二项式系数】

C1~3Y

1.（2020•湖北高二）——一六展开式中含涓的项是（）

I3X

A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项

【答案】C

任」、1、2(_1YI-

【解析】展开式的通项公式为:4s=C；.-XI.=(—lyji.C；•/二

、3G,(3JI)

73

令——r=——nr=5；故展开式中含的项是第6项.故选：C.

22x

2.（2020•安徽合肥市）二项式（1-力2（）2°展开式中的第2020项是（）

A.1B.2O2O%2019C.-2020y9D.x2020

【答案】C

【解析】由二项展开式（1—x）2°2°,可得展开式的通项为7；+1=Go2o（-xy，

所以展开式中第2020项为Go=G胱（-6如9=一2020铲19.故选：C.

3.（2020•常州市新桥高级中学高二期中）二项式（血]+!）的展开式中，常数项为,

【答案】40>/2

【解析】（0X+L）的展开式的通项公式为=。>（、旧广'-6-2',

令6—2厂=0,可得r=3,所以展开式的常数项为C。卜后丫=40底，故答案为：400.

4（2020•全国高二）已知，五一岛=）在的展开式中，第6项为常数项.

（1）求“；

（2）求含/的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项.

6345

【答案】(1)〃=10；(2)—；(3)—X2,

44~8，256/

n-rIY」(1A--

【解析】⑴卜五3

的展开式的通项为Tr+]=C：x丁XX3,因为第6

项为常数项，所以r=5时，有------=0,解得〃=10.

3

（2）令与女=2,得r=；（“—6）=gx（10—6）=2,所以含产的项的系数为量卜=?

9红eZ

(3)根据通项公式与题意得，令一^^=A(AeZ),则10—2厂=3左，即厂=5-/k.reZ，

；.女应为偶数.又OWrWIO,二女可取2,0,-2,即，可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有

45

2567

【题组三多项式指定项系数或二项式系数】

1.(2021•郑县)在(1+2—])的展开式中，/项的系数为()

A.-50B.-30C.30D.50

【答案】B

【解析】(1+2—%)表示5个因式(1+|-的乘枳，在这5个因式中,

有2个因式都选一x,其余的3个因式都选1,相乘可得含炉的项；

或者有3个因式选一X,有1个因式选1个因式选1,相乘可得含炉的项，

X

故V项的系数为C；+(—(?；•《•2)=—30,故选B.

2.(2021•全国)(/+3x+2)6展开式中x的系数为()

A.92B.576C.192D.384

【答案】B

【解析】卜2+3》+2)6展开式中含”的项为煤(3力屐-25=6X3》*32=576%，即x的系数为576；故

选B.

3.(2020•河南鹤壁市)(x—y)(x+2y+z)6的展开式中，的系数为()

A.-30B.120C.240D.420

【答案】B

【解析】[(x+2y)+z]2展开式中含z2项为Cl(%+2>-)4z2,(x+2y『展开式中孙?项的系数为

C：X23,*2y2项的系数为c：x22,.・.(x—y)(x+2y+z)6展开式中/y3z2的系数为

C：C：X23_C；C：X22=480-360=120,故选B.

,1«

4.（2020•新疆高二期末）代数式（/+2）（--1）5的展开式的常数项是（用数字作答）

x

【答案】3

【解析】已一”的通项公式为&|=。6尸（一1）「=（一1）匕”.

令2r—10=—2,得厂=4；令2r—10=0,得r=5.

4

常数项为（-1）C：+2（7）5C；=5-2=3故答案为3

5.（2020•民勤县第一中学高二期末）（/-1）（五+彳）6的展开式中的常数项为.（用数字作答）

【答案】180

【解析】（4+2）的展开式中的通项公式£+1=以（4广|2）=以.2-/考，

而（V一+=%3（«+2）_（«+2））分别令3—与=一3,3—当=0,解得攵=4,或左=2.

••.（d-l）［五+2）的展开式中的常数项24。：—22。：=18（）.故答案为：180.

6.（2020•全国高二课时练习）求（l+x）6（2y+l）5的展开式中公＞2的系数

【答案】600

【解析】因为（l+x）6（2y+l）5的展开式中含x、2的项为c：%4c；（2y）2,所以其系数为2?=600.故

答案为：600

7.（2020•江苏省太湖高级中学高二期中）（f+3x+2）5的展开式中V的项的系数是.

【答案】1560

【解析】由题意，（f+3x+2）5=（l+x）5（2+x）5,

因为（1+X）5的展开式的通项公式为=qx1-,（2+4的展开式的通项公式为a=C；25Yf,

所以（/+3X+2）5的展开式中X3的项的系数是C；C；25+C；C；24+C；C；23+

320+800+400+40=1560.故答案为：1560.

6

己知（2/+。）卜―

8.（2020•全国高二课时练习）的展开式中V的系数是-10,求实数a的值

【答案】2

【解析】由（x—的展开式的通项公式为（+1=C；x6-（一=（—iyc；x6-2,（r=o,],2,...,6），

令6—2厂=0,可得r=3，令6—2厂=2,可得r=2，

所以（2尤2+力卜」）的展开式中/的系数为2x（-1）3XC：+“X（—1）2XC；=T0,

解得a=2.故答案为：2.

【题组四二项式定理的性质】

1.（2020•安徽省六安中学高二期中）的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开

式中%5的系数为（）

【答案】D

【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以”=8所以

(1(1\r8+r8+广

式的通项(+i=C；(«)81—--x〒，r=0,l,2,…,8令丁=5,得r=2

\2/\2/2

所以展开式中d的系数为=7故选：D

（1V

2.（2020•利川市第五中学高二期末）若上的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中

kx）

含f项的系数是（）

A.132B.-132C.-66D.66

【答案】D

【解析】因为（x—'

展开式中只有第7项的二项式系数最大,

所以〃为偶数，展开式有13项，〃=12,

所以二项式展开式的通项为（+1=G2M2-rj—=C；2（—

由12—2r=8得r=2,所以展开式中含f项的系数为=66.故选：D

3.（2020•银川市•宁夏大学附属中学高二期中）（五一展开式中只有第六项的二项式系数最大，则

展开式中的常数项是（）

A.180B.90C.-180D.-90

【答案】A

【解析】马］展开式中只有第六项的二项式系数最大，.♦.〃=io,

故（4一4）展开式的通项公式为C；o（△>'1_=/（-2）";母，令5-全=0,解得

r=2,所以展开式中的常数项为Gjx2?=18（）.故选：A

4.（多选）（2020•江苏泰州市•高二期末）在的展开式中，下列说法正确的有（）

1X）

A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0

C.常数项为20D.二项式系数最大的项为第4项

【答案】ABD

【解析】的展开式中所有二项式系数和为26=64,A正确；

IX）

令x=l可得（x—L）的展开式中所有项的系数和为（1—1）6=0,B正确：

通项为（；（一1）'产2，，令6-2r=0nr=3,所以「一口的展开式中常数项为《（—=—20,C错误；

IX）

（尤-工）的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.故选：ABD

5.（多选）（2020•苏州市第四中学校高二期中）已知（«+也）"（其中〃<15）的展开式中第9项，第

10项，第11项的二项式系数成等差数列.则下列结论正确的是（）

A.〃的值为14B.展开式中常数项为第8项

C.展开式中有理项有3项D.二项式系数最大的项是第7项

【答案】AC

【解析】由题意2C：=C：+C；°,化简得（〃-14）（〃一23）=0,."=14.A正确;

42-r

展开式通项为Tr+l=（6）g（孤）=C：x〒（0<r<14,re^）,

显然其中无常数项，B错误；

42—r

当厂=0,6,12时，-----=7,6,5为整数，因此展开式中有3项为有理项，C正确；

6

展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D错误.故选：AC.

6.（2020•山东潍坊市•寿光现代中学高二期中）关于的说法，正确的是（）

A.展开式中的二项式系数之和为2048

B.展开式中只有第6项的二项式系数最大

C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最大

【答案】AC

【解析】的展开式中的二项式系数之和为2"=2048,所以A正确；

因为〃=11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以5

不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以0不正确.故选：AC

/2丫

7.（2020•河北石家庄市•石家庄二中高二期中）（多选题）已知一+3/展开式中，各项系数的和比

I7

它的二项式系数的和大992,则下列结论正确的为（）

A.展开式中偶数项的二项式系数之和为B.展开式中二项式系数最大的项只有第三项

C.展开式中系数最大的项只有第五项D.展开式中有理项为第三项、第六项

【答案】CD

【解析】令x=l,可得展开式中各项系数的和为4"，又二项式系数的和2"，

因为各项系数的和比它的二项式系数的和大992,所以4"-2"=992,解得〃=5,

对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，

25

所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为二=2",故A错误；

2

对B：因为〃=5,所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；

210+4r

对C：j1=Cj')5-r-(3x2)r=C5-3r-x3，设展开式中系数最大的项是第r+1项，

c-y>c'~'-3r-179

则｛rLi川，解得一WrW-，又rwN，所以r=4，

C；-3r>C；+1-3r+122

所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；

10+4〃

对D：若Zs是有理项，则当且二一为整数，又0KrW5,reN,

所以r=2,5,所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD

【题组五二项式系数或系数和】

1.(2020•浙江台州市•高二期中)若(l+x)3(l-2x)4=%+++…+%/,则/+。2+%+。6=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】令x=l可得：%+4+%+…+%=(1+1)3(1-2)4=8,

令尤=—1可得:<20—<21+<224----%=(1—1)3(1+2)4=0,两式相加可得:2(q)+。2+4+。6)=8,

所以4+4+4+46=4，故选：B

2.(2020徐曼旗实验中学高二期中)已知(1+x)"=%+4%+4乂2+…+a,X',4+4+4+…+%=16,

则自然数〃等于()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】由题意，令x=l,则(1+1)"=4+4+%■1--->■—2,!)

因为4+弓+%-1---=16,所以2"=16，解得〃=4.故选：C.

3.(2020•河北石家庄市•石家庄二中高二期中)若

20M2019aJl822020

a0x+a1x(l-x)+a2x(l-x)+...+a2020(l-x)=l,则,+4+…+嗫。=()

A.1B.0C.22020D.22021

【答案】C

2<，2(，202020192OI822020

【解析】Q[x+(1-x)]=aox+a,x(l-x)+«2X(1-x)+L+«2020(l-x)=1,

当0WZW2020且&eN时，ak=C*020,

因此，“o+q+a2H-----“202。=。力。+Go2o+C；o2o+L+C；：；；=2"~°.故选：C.

4.（2020•古丈县第一中学高二月考）已知多项式

（2x—l）、5（2x—l）4+10（2x—l）3—10（2x—I）?+5（2x—l）—1可以写成

234

a0+a.x+a2x+a3x+a4x+,则4+02+%=（）

A.0B.-1024C.-512D.-256

【答案】C

【解析】由题意，多项式（2x—l）s—5（2x—l）4+10（2x—l）3—10（2x—1F+5（2X—1）—1

=[（2X-1）-1]5=（2X-2）5,

2345

即（2x-2y'=%+qx+a2x+a3x+a4x+a5x,

令X=l,可得/+4+/+/+%+。5=0，

令x=_1,口J"得a。—q+a,-a?+4一出=（一4），———1024,

两式相加，可得2（4+/+%）=-1°24,可得/+%+。4=-512.

故选：C.

%21）

5.（2020请海高二期末）已知万一弁的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）

11

A-环B.---7TC.210D.-210

210

【答案】A

（2、"-8/、8

【解析】y1--y=J=28-，，Cy-2°,所以2〃—20=0,则〃=1（）,

什1=4r＞所以展开式中的各项系数之和为』.故选：A.

令X=l,可得

21。21。

6.（2020•宁夏吴忠市•吴忠中学）设复数尤=」（i是虚数单位），则

1-z

2

Cj0|9X+C；O|9X+C短%3+…+砥：＞；；/19=（）

A.iB.-iC.-1+zD.-1-z

【答案】D

2i2z(l+f)

【解析】》=口==-1+i,

(1-D(1+O

C；019%++6019%3+…+=C；Z9+G019X++。之次丁+…+'—1

=(l+x)2019-l=i20l9-l=i3-l=-i-l,故选D.

7.（2020•宜昌天问教育集团高二期末）已知（1+/U）"展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系

ax

数相等，（1+Ax'）"=a（}+a}x+a2x~H---F„",若—4=242,则%—%+4----+（—1）”凡的

值为（）

A.1B.-1C.81D.-81

【答案】B

【解析】因为（1+/U）"展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

故可得〃=5,令x=0,故可得1=。。，

又因为4+。2^---Fq；=242,令x=l,则（1+4）5=%+4+4,_）---p=243»

解得2=2令x=—l，则（1—2）5=4—4+4—…+（T）%5=T-故选：B.

a

8.（2020•全国高二课时练习（理））已知（x+1）‘°=囱+32矛+金埼3---\-aux.若数列a”a2,a”…，a*（l

WAW11,衣e"）是一个单调递增数列，则〃的最大值是（）

A.5B.6

C.7D.8

【答案】B

【解析】由二项式定理知&=G'；「（〃=1,2,3,11）.又（x+l）i°展开式中二项式系数具有对称性，

且最大的项是第6项，且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小,

二）的最大值为6.故选:B.

【题组六二项式定理的运用】

1.（2020•全国高二课时练习）1-90。：0+9。2（4—9。3。力+…+9。|℃；除以88的余数是（）

A.2B.1C.86D.87

【答案】B

【解析】因为1一90co+9024-903C^+...+90'°C；°=(1-90)'°=(l+88)'°

23

=1+88C'O+88C,；+88C,o+•••+88'°C'o

=1+88(C；0+88Gz+88?%+…+889%,

2

所以1一9OC；o+90C-o一9()3G；+…+90'°端：除以88的余数是1.故选：B.

2.(2020•全国高二课时练习)设aeZ,且OWaW13,若5尸帽能被13整除，则。=()

A.0B.1C.11D.12

【答案】D

【解析】由题意，因为51=52—1,

所以5俨°|2=(52-1产2=或12522°|2_4I2522°"+…-C器521+1,

又因为52能被13整除，所以只需1+。能被13整除，

因为aeZ,0<a<13.所以a=12.

故选：D.

3.(2020•江苏省如东高级中学高二期中)已知相>0,且恰能被14整除，则〃？的取值可以是

()

A.-1B.1C.7D.13

【答案】D

0220202019

【解析】因为152必XM+iy。=C^2014+C^2()14+...+C瓢14+1

tH

其中或201429+...+C嬲14能被［4整除，所以加的取值可以是13.故选：D.

4.(2020•全国高二单元测试)设aGZ,且0Wa<13,若5/侬+@能被13整除，则a=()

A.0B.1C.11D.12

【答案】D

【解析】512020=(52-1)的=(1-52)2020

2

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