2024届湖南省凤凰县皇仓中学数学高三上期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届湖南省凤凰县皇仓中学数学高三上期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二项式的展开式中，常数项为（）A． B．80 C． D．1602．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为()A． B． C． D．3．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为A． B． C． D．4．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．已知是第二象限的角，，则()A． B． C． D．7．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．8．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为()A．1 B．2 C． D．9．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－210．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个11．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件C．“若，则”是真命题D．存在，使得成立12．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.14．已知，则_____15．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）16．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.（1）设，，请计算，，；（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.18．（12分）已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．19．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.22．（10分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，求函数在上最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式展开式的通式为，令，解得，则常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.2、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.3、C【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C．4、B【解析】

令，则，由图象分析可知在上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令，则，如图与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有六个不相等的实数根，则有两个不同的根，设由根的分布可知，，解得.故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.5、A【解析】

根据题意得到，化简得到，得到答案.【详解】根据题意知：焦点到渐近线的距离为，故，故渐近线为.故选：.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.6、D【解析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.7、A【解析】

求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．8、D【解析】

按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.【详解】，，.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.9、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.10、A【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．考点：集合的运算．11、C【解析】

A：否命题既否条件又否结论，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错.C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【详解】解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故A错.B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.C：“若，则”“若，则”，故C正确.D：由幂函数在递减，故D错.故选：C【点睛】考查判断命题的真假，是基础题.12、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影为.故选：B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.14、【解析】

化简得，利用周期即可求出答案．【详解】解：，∴函数的最小正周期为6，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．15、【解析】

依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为，“任取两个数，和是质数”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3个，所以任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。16、【解析】

先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.【详解】抛物线的准线方程为，由题意得，解得.∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）详见解析（3）29【解析】

（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．（2）可求，，通过反证法证明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【详解】（1）由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，则，，得，故．（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，，．得，，，．所以若，则存在，，使，若，则存在，，，使，因此，对于正整数，考虑集合，，，即，，，，，，．下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，则存在，使，，，即，，，由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，设，则，且，，，，所以，当，时，对于整数，若，则成立．（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．则对于整数，存在，，，，，使成立，整理，得，又因为，，所以且是7的倍数，因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数，若，则，又由第二问，对于整数，则，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因为，，，，所以．【点睛】本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．18、（1）证明见解析；（2）最小值为1【解析】

（1）利用基本不等式可得,再根据0＜xy＜1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由＝,得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥1，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．19、见解析【解析】

已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.【详解】，.由柯西不等式得，...【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.20、(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即21、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析：（I）当时，化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．所以的解集为．（II）由题设可得，所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．由题设得，故．所以a的取值范围为22、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是【解析】

（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；

（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．【详解】函数的定义域

为．

因为，令，可得；

当时，；当时，，综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为当，即时，函