必修一函数单调性及值域求法

函数的单调性●基础知识一、单调性定义1．单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 ∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于

∈D，当x1<x2时，都有f(x1)

f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．说明：①单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．②单调性是函数在某一区间的“整体”性质．因此，定义中的x1、x2具有任意性．任意的x1、x2任意的x1、x2>2．证明单调性的步骤：(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①

取值

；②

作差

；③

变形

．4

定号

．5

下结论

．任取x1、x2∈D，且x1<

x2作差f(x1)－f(x2)，并适当变形同增异减因式分解、通分、分子分母有理化等与0比较大小二、单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)

函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为

函数．3．若f(x)为增(减)函数，k>0,kf(x)为增（减）函数.4.若f(x)为增(减)函数，为减（增）函数5．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为

；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为

．同增异减仍为增(减)减(增)增函数减函数三、函数单调性的应用有：(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．

函数单调性的证明(1)f(x)＝，x∈(－1，＋∞)；(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)；(3)f(x)＝，x∈[－1，＋∞)．命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明．(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形．解析：(1)函数f(x)＝在(－1，＋∞)上为减函数．利用定义证明如下：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1<x1<x2，则有x1－x2<0，(2)函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x2>x1≥1，∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，x2＋x1>2，x2＋x1－2>0，∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，即有f(x1)>f(x2)．故函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数．(3)函数f(x)＝在[－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈[－1，＋∞)且－1≤x1<x2，则有x1－x2<0，总结评述：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可以利用导数解之.1、图像法：

利用图像判断函数单调性是常用的方法，

且该法能直接准确地求出单调区间.P38例1单调区间的求法2、常见函数（1）一次函数，y=kx+b,

k>0,y是R上的增函数；k<0,y是R上的减函数.

(3)反比例函数

(2)二次函数，y=ax2+bx+c,a>0当x<时，y是减函数；当x>时，y是增函数.当k>0时，y在当k<0时，y在1．单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间．2．单调性的定义中x1，x2要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性．例如：对函数f(x)＝－，由于f(－1)＞f(2)，所以函数是单调递减函数．这是错误的说法．其实函数f(x)＝－在(－∞，0)上是单调递增，在(0，＋∞)上是单调递增．3．单调区间不能用并集表示．因为两个区间的并集，并不一定是一个区间．4．重要性质：(1)注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)的相关性．(2)注意函数y＝f(x)与y＝的单调性间的关系．●回归教材1．下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是(

)A．y＝－x＋1

B．y＝C．y＝x2－4x＋5 D．y＝2．(教材P1601题改编)函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 (

)A．k＞ B．k＜C．k＞－ D．k＜－3．(教材P602题改编)反比例函数y＝.若k＞0，则函数的递减区间是________．若k＜0，则函数的递增区间是________．4．(华东师大附中)若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．●基础知识一、函数的值域的定义在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的

．函数值

值域函数的值域与最值求法函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在

∈A

满足条件对于任意x∈A，都有f(x)≤

；对于任意x∈A，都有f(x)≥

；f(x0)为y=f(x)的最大值f(x0)为y=f(x)的最小值结论二、基本初等函数的值域1．y＝kx＋b(k≠0)的值域为

.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.3．y＝(k≠0且x≠0)的值域是．R{y|y∈R且y≠0}三、确定函数的值域的原则1．当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．2．当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．4．当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：1．直接法（图像法、列表法）——从自变量x的范围出发，推出y＝f(x)的取值范围，如y＝x-1(x≥3)的值域为

．例P39，例32．配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝ax2＋bx＋c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y＝x2-2x的值域为

．[2，＋∞)(-1，＋∞)3.单调性法——通过判断函数在给定区间的单调性，若为单调函数，则区间端点的函数取值即为函数的最值，且最值的范围即函数的值域.例P39，例4P40，例54．反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法.此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，5．判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝

(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．如y＝的值域为

．[－2,1]6．换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解，如y＝x＋的值域为

．[1，＋∞)【例1】求下列函数的值域．(1)y＝4－