5.1.2瞬时变化率导数校本讲义高二上学期数学选择性

编号：032课题:§5.1.2瞬时变化率——导数教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．2、理解导数的概念，导数的几何意义．3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．本节重点难点重点：导数的概念，导数的几何意义；难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．教学过程赏析基础知识积累1.曲线上某点处的割线与切线名称割线切线定义设点Q为曲线C上不同于P的一点，则_______称为曲线的割线当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处_________的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线斜率设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为_____________当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，____________________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．2．瞬时速度和瞬时加速度(1)瞬时速度如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)无限趋近于_______，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．3．导数某点处的导数定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当_______________时，比值eq\f(Δy,Δx)＝___________无限趋近于一个_______，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_______．可用符号“→”表示“__________”几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点___________处的__________【友情提醒注意】(1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).4．导函数(1)导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是__________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作______．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．(2)f′(x0)的意义f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的________．【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．【课前预习思考】(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)?【课前小题演练】题1.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车,其位移h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为h(t)=t32t+,则h'(1)的实际意义是 ()A.汽车刹车后1s内的位移B.汽车刹车后1s内的平均速度C.汽车刹车后1s时的瞬时速度D.汽车刹车后1s时的瞬时加速度题f(x)是可导函数,且=2,则f'(1)= ()A.2 B. C.1 D.2题y=f(x)在x=x0处的导数可表示为y',即 ()A.f'(x0)=f(x0+Δx)f(x0)B.f'(x0)=[f(x0+Δx)f(x0)]C.f'(x0)=D.f'(x0)=题4.一物体做竖直上抛运动,它距地面的高度h(m)与时间t(s)间的函数关系式为h(tt2+10t,则t=1的瞬时速度(m/s)为 ()A.0.98 B.0.2 C.0.2 D题5（多选题）．下列说法错误的是()A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．题6．函数y=x2+1在x=2处的导数为.题7.已知球的体积V是关于半径r的函数,V(r)=,则r=2时,球的体积的瞬时变化率为.题8.已知点P(2,8)是曲线y=2x2上一点,则P处的瞬时变化率为.题9.已知函数f(x)在x=x0处的导数为11,则当Δx→0时,→.题10.求函数y=f(x)=x2+x在x=1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.题11.函数在x=1处的导数________.题12.已知抛物线y=ax2+bx7过点(1,1),且在点(1,1)处的抛物线的切线方程为y=4x3,求a,b的值.题13.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.【课堂题组训练】y＝－eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°题15(多选题).某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m;时间单位:s),若=,当Δt→0时,=18m/s.则下列说法中错误的是 ()A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为________．题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．题18.已知抛物线y=2x2,则抛物线在x=1处的切线方程为.题19．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－eq\f(2,3)x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.题20．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→________．题21．已知曲线y=x21在x=x0处的切线与曲线y=1x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．(1)平行于直线y＝4x－5.(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．【课堂检测达标】题24.已知y=f(x)的图象如图,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 ()A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定题25.下列说法中正确的个数是 ()①f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同;②求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0);③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点;④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.A.1 B.2 C.3 D.4题26.在曲线y=x2上切线的倾斜角为的点是 ()A.(0,0) B.(2,4) C.(,) D.(,)题27.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3xy2=0,则 ()A.a=1,b=1 B.a=1,b=1C.a=2,b=1 D.a=2,b=1题28.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为1,则= ()A.0 B. C.1 D.2题29.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)f(1)= ()A.0 B.1 C.1 D.题30(多选题).下列命题正确的是 ()A.若f'(x0)=0,则函数f(x)在x0处无切线B.函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2xy=0,则当Δx→0时,=1D.若函数f(x)的导数f'(x)=x22,且f(1)=2,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y3=0题31.抛物线y=x2+4在点(1,5)处的切线的斜率为.题32.已知f'(x0)=2,则=.题33.已知函数f(x)=3x2+5.(1)求f(x)从0.1到0.2的平均变化率;(2)求f(x)在0.2处的瞬时变化率.题34.已知f(x)=x2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.编号：032课题:§5.1.2瞬时变化率——导数教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．2、理解导数的概念，导数的几何意义．3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．本节重点难点重点：导数的概念，导数的几何意义；难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．教学过程赏析基础知识积累1.曲线上某点处的割线与切线名称割线切线定义设点Q为曲线C上不同于P的一点，则直线PQ称为曲线的割线当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线斜率设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．2．瞬时速度和瞬时加速度(1)瞬时速度如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．3．导数某点处的导数定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率【友情提醒注意】(1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).4．导函数(1)导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．(2)f′(x0)的意义f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．【课前预习思考】(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？提示：不是．如y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线有2个公共点．(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？提示：①求Δy；②求eq\f(Δy,Δx)；③当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→A(常数)，则常数A即为f(x)在x＝x0处的导数．(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)?提示：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是函数f′(x)在x＝x0处的函数值，而不是f(x0)的导数．【课前小题演练】题1.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车,其位移h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为h(t)=t32t+,则h'(1)的实际意义是 ()A.汽车刹车后1s内的位移B.汽车刹车后1s内的平均速度C.汽车刹车后1s时的瞬时速度D.汽车刹车后1s时的瞬时加速度【解析】选C.由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.题f(x)是可导函数,且=2,则f'(1)= ()A.2 B. C.1 D.2【解析】选B.由题设,f'(1)==.题y=f(x)在x=x0处的导数可表示为y',即 ()A.f'(x0)=f(x0+Δx)f(x0)B.f'(x0)=[f(x0+Δx)f(x0)]C.f'(x0)=D.f'(x0)=【解析】选C.y'是f'(x0)的另一种记法,根据导数的定义可知C正确.题4.一物体做竖直上抛运动,它距地面的高度h(m)与时间t(s)间的函数关系式为h(tt2+10t,则t=1的瞬时速度(m/s)为 ()A.0.98 B.0.2 C.0.2 D【解析】选B.因为h(tt2+10t,所以t=1的瞬时速度(m/s)为h'(1)==0.2.题5（多选题）．下列说法错误的是()A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．【答案】ABD【解析】A.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．B.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．C.√.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．D.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．题6．函数y=x2+1在x=2处的导数为.【解析】===Δx+4,当Δx→0时,Δx+4→4,所以y=x2+1在x=2处的导数为4.答案:4题7.已知球的体积V是关于半径r的函数,V(r)=,则r=2时,球的体积的瞬时变化率为.【解析】ΔV=V(2+Δr)V(2)==,所以=[12+6Δr+(Δr)2],当Δr趋于0时趋于16π.答案:16π.题8.已知点P(2,8)是曲线y=2x2上一点,则P处的瞬时变化率为.【思路导引】瞬时变化率⇒,Δx→0⇒Δy,Δx.【解析】Δy=2(2+Δx)22×22=8Δx+2(Δx)2,==8+2Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于常数8.答案:8题9.已知函数f(x)在x=x0处的导数为11,则当Δx→0时,→.【思路导引】f(x)在x=x0处的导数为11⇒f'(x0)=11.【解析】当Δx→0时,=·(2)→2·f'(x0),又f'(x0)=11,所以→22.答案:22题10.求函数y=f(x)=x2+x在x=1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.【思路导引】导数⇒,Δx→0⇒Δx,Δy.【解析】==3Δx,当Δx→0时,→3.题11.函数在x=1处的导数________.【解析】因为Δy=f(1+Δx)f(1)=3(1+Δx)1=2+3Δx=3Δx+,所以==3+,当Δx→0时,→5,所以f'(1)=5.题12.已知抛物线y=ax2+bx7过点(1,1),且在点(1,1)处的抛物线的切线方程为y=4x3,求a,b的值.【思路导引】切线方程⇒切点的坐标,斜率⇒横坐标为1的点处的导数⇒,Δx→0.【解析】===2ax+b+a·Δx,当Δx→0时,→2ax+b,所以f'(x)=2ax+b,所以f'(1)=2a+b,依据题意可得解得a=4,b=12.题13.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.【思路导引】先求函数值的增量Δy,再求,当Δx→0时,得f'(x).【解析】因为Δy=f(1+Δx)f(1)=2Δx+(Δx)2,所以=2+Δx,当Δx→0时,f'(1)=2.所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为y2=2(x1),即2xy=0.【课堂题组训练】题14.已知曲线y＝－eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°【解析】选C.因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))在曲线y＝f(x)＝－eq\f(1,2)x2－2上，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（1＋Δx）2－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)×12－2)),Δx)＝－eq\f(1,2)Δx－1，当Δx→0时，－eq\f(1,2)Δx－1→P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，所以在点P处的切线的倾斜角为135°.题15(多选题).某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m;时间单位:s),若=,当Δt→0时,=18m/s.则下列说法中错误的是 ()A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度【解析】选ABD.由瞬时变化率的概念可得,当Δt→0时,=18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度,即C正确,A,B,D都错.f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－2＋Δx）－f（－2）,Δx)＝eq\f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(1,－2＋Δx)，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(1,2).所以切线方程为y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.答案：x＋2y＋4＝0题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．【解析】因为Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝6x0＋3Δx＋6，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→6x0＋6，故6x0＋6＝0，所以x0＝－1，y0＝－2.答案：(－1，－2)题18.已知抛物线y=2x2,则抛物线在x=1处的切线方程为.【解析】因为===4+2Δx,当Δx→0时,4+2Δx→4,所以f'(1)=4.因为x=1,所以f(1)=2,切点为(1,2),所以切线方程为y2=4(x1),即4xy2=0.答案:4xy2=0题19．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－eq\f(2,3)x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.【解题指南】f′(6)即在点P处切线的斜率，f(6)可利用直线方程求值．【解析】f(6)＋f′(6)＝－eq\f(2,3)×6＋7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)题20．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→________．【思路导引】(x)在x＝x0处的导数为11⇒f′(x0)＝11.【解析】当Δx→0时，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,－2Δx)·(－2)→－2·f′(x0)，又f′(x0)＝11，所以eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→－22.答案：－22题21．已知曲线y=x21在x=x0处的切线与曲线y=1x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.【思路导引】切线互相平行⇒斜率相等⇒在x0处的导数相等⇒,Δx→0⇒检验.【解析】对于曲线y=x21在x=x0处,===2x0+Δx,当Δx→0时,→2x0.即y=x21在x=x0处的导数y'=2x0.对于曲线y=1x3在x=x0处,===33x0·Δx(Δx)2,当Δx→0时,→3,即y=1x3在x=x0处的导数y'=3,又y=1x3与y=x21在x=x0处的切线互相平行,所以2x0=3,解得x0=0或x0=.当x0=0时,两条切线的斜率k=0,当x0=时,两条切线的斜率k=,均符合题意,所以x0=0或.题22.已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．【思路导引】切线互相平行⇒斜率相等⇒在x0处的导数相等⇒eq\f(Δy,Δx)，Δx→0⇒检验．【解析】对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([（x0＋Δx）2－1]－（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1）,Δx)＝eq\f(2x0·Δx＋（Δx）2,Δx)＝2x0＋Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2x0.即y＝x2－1在x＝x0处的导数y′＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([1－（x0＋Δx）3]－（1－xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))）,Δx)＝eq\f(－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3,Δx)＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))－3x0·Δx－(Δx)2，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，即y＝1－x3在x＝x0处的导数y′＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，解得x0＝0或x0＝－eq\f(2,3).当x0＝0时，两条切线的斜率k＝0，当x0＝－eq\f(2,3)时，两条切线的斜率k＝－eq\f(4,3)，均符合题意，所以x0＝0或－eq\f(2,3).题23.已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．(1)平行于直线y＝4x－5.(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．【解析】设P(x0，y0)是满足条件的点．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),Δx)＝2x0＋Δx，当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0.(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2，4).(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4))).(3)因为切线与x轴正半轴成135°的倾斜角，所以k＝－1，则2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).【课堂检测达标】题24.已知y=f(x)的图象如图,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 ()A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定【解析】选B.由题图可知,曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f'(xA)<f'(xB).题25.下列说法中正确的个数是 ()①f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同;②求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0);③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点;④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.①f'(x0)表示f(x)在x0处的导数值,而[f(x0)]'是对常数f(x0)求导,结果为0,两者意义不相同,①错误;②求f'(x0),应先求导数f'(x),再代入x=x0求值,②错误;③曲线的切线在切点处的一个小范围内与曲线只有一个公共点,在其他地方可能与曲线还有公共点,③正确;④直线x=2与曲线y=x2只有一个公共点,但直线x=2不是曲线y=x2的切线,④错误.说法正确的个数为1.题26.在曲线y=x2上切线的倾斜角为的点是 ()A.(0,0) B.(2,4) C.(,) D.(,)【解析】选D.依题意y'=2x=tan=1,x=