生物统计课件-绪论

生物统计学

统计学，Statistics(统计学、统计工作、统计数字)，生物统计学(Biostatistics,Biometry)1绪论生物统计学的定义定义：用数理统计学的原理和方法整理和分析生物学研究工作中的数量资料的学科，称之为生物统计学。2绪论数理统计数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。数理统计也常被称为概率统计，这是因为，数理统计的理论根底是概率论，即数理统计是由概率论和数理统计两局部内容组成的。3绪论生物统计学的特点特点：生物统计学的最大特点就是，它是以随机现象为研究对象的数学学科，而我们以前所学的其它数学学科都是以确定性现象(必然现象)为研究对象的。4绪论随机现象日常生活中存在一类现象，就是许多事情的结果是事先不能确定的。如：取100粒种子做萌发实验，在实验结果出来之前，我们无法确定萌发种子数；等等。这类在一定条件下具有多种可能结果，而最终究竟出现哪一种结果事先不可预言的现象，我们称之为随机现象，或不确定性现象。5绪论随机现象的统计规律性长期的实践和研究说明，随机现象虽然就每次实验或观察结果来说具有不确定性，但在大量重复实验或观察下，它的结果却具有某种规律性。我们把随机现象在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律称之为随机现象的统计规律。6绪论生命现象的复杂性和随机性我们知道，生物体是复杂的有机体，它和环境有密切的关系，同一试验，往往因时间、地点、温度、湿度、海拔、光照、试验者，材料的年龄、性别、生理状态、个体差异等多种因素的不同而结果不同，所得数据往往整齐性较差，所以在下结论时存在很大的不确定性，其隐蔽在背后的统计规律性一般较难发现。7绪论生物统计学开展简史概率论十四世纪中叶，殖民主义向外扩张，随着船运业的开展，船运保险业也开展了起来，这时经验概率就已经开始得到应用。十七世纪中叶，Pascal和Fermat首创概率论。8绪论生物统计学开展简史Gauss1733年DeMoivre推导出了在数理统计开展中具有重要意义的正态曲线方程，但当时他不可能想到要把他的结果用在处理实验观察数据上，他的论文淹没无闻，直到1924年才被人发现。不过同样的结果后来曾有两个数学天文学家Laplace(1749-1827)和Gauss(1777-1855)各自独立地推导出。9绪论生物统计学开展简史孟德尔到了十九世纪，概率论的方法已越来越多地得到应用，并在这些应用中已逐渐开展出数理统计的雏形。例如：地质学家Lyell和贝类学家Deshayes在一起，通过分析各地层中化石种类的多少，以及其中迄今在海洋中还活着的种的百分比来判断地层的年龄，并加以命名。达尔文的工作从本质上讲是数理统计的。孟德尔在1866年发表的关于碗豆杂交的研究方法，也是数理统计的问题。10绪论生物统计学开展简史Galton十九世纪末叶，英国人哥尔顿〔Galton(1822-1911)〕应用统计方法研究人种特异性与遗传，首次对所使用的统计方法进行了描述，并于1889年在《自然界的遗传》杂志上发表了生物统计的第一篇论文。此人对统计学的另一重要奉献是在1895年与皮尔逊共同努力成立了伦敦大学生物统计实验室，这就是统计学上著名的哥尔顿实验室。11绪论生物统计学开展简史PearsonKarlPearson(1857-1936)于1906年继哥尔顿之后主持哥尔顿实验室的工作。1901年，他创办了Biometrika这个生物统计权威杂志。此外，他还创办了一所数理统计学校，使数理统计的研究得以长足开展。12绪论生物统计学开展简史GossetW.S.Gosset(1876-1937)在工作中发现，他的老师所建立的大样本方法，在一些只能用小样本的实验中使用时，被证实是不妥当的。后来他求助于从弄乱的卡片中抽样、计算，并积累经验的频率分布。所得结果发表在1908年的Biometrika上，署名为“Student〞。今天，“Studentt〞已成为数理统计学家及实验室工作人员的一种根本工具。13绪论生物统计学开展简史FisherR.A.Fisher(1890-1962)，受到了Gosset和Pearson的影响，在数理统计学上做出了大量而重要的奉献。他继皮尔逊之后主持哥尔顿实验室的工作。他在1925年出版的《研究工作者用数理统计方法》的问世，被公认为是数理统计这门学科的正式诞生。14绪论生物统计学开展简史NeymanJ.Neyman以及E.S.Pesrson在1936年和1938年提出了检验统计假设的理论，这个理论推动了很多研究工作，为生物统计的另一重要内容——统计假设的检验奠定了根底。这局部内容将是我们这门课程的重头戏。15绪论学习生物统计学的意义(1)数理统计虽然起源、开展于生物学，然而今天，它已影响到近代人们生活的每一个方面。如今，它在工业、农业、商业、一切自然学科、技术学科以及社会学科的各个领域都得到了广泛的应用。近年新兴的许多应用数学，如信息论，对策论，控制论，经济计量学，运筹学，系统工程学，几乎都离不开概率论与数理统计方法。它已是一切自然科学工作者、社会科学工作者、工程技术人员、企业管理人员及经济工作者的必备知识。作为末来的生命科学研究工作者，我们就更应该学好数理统计学，为将来正确分析和处理科研数据打下坚实的根底。16绪论学习生物统计学的意义(2)

数理统计已是各行各业人材所必须具备的根底知识，因此不管我们将来从事何种工作，它都是我们必不可少的。由于生物研究的对象生命体的复杂性和多变性，所得资料多为随机资料，对这些资料的处理和分析只有用数理统计的原理和方法才能揭示其内在的规律。当我们要发表文章时，只要有数据，就必须经过统计处理，数据没有经过统计处理的文章，出版社是不会接受的。17绪论随机试验

我们把在一定条件下对自然现象或社会现象进行一次科学实验或观察称为一次试验。随机试验是指具有以下特征的试验：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果不止一个；每次试验的具体结果事先不能确定。通常，我们用E表示随机试验。18第二章第一节概率的根本概念随机事件在随机试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，简称事件。如：19第二章第一节概率的根本概念根本领件和复合事件不能再分解的事件称为根本领件。根本领件的一个重要性质是，在一次试验中只能发生一个根本领件。由假设干根本领件组合而成的事件称为复合事件。当组成复合事件的根本领件有一个发生时复合事件的发生。20第二章第一节概率的根本概念必然事件和不可能事件在随机试验中，必然发生的事情称为必然事件，用W表示；不可能发生的事情称为不可能事件，用V表示。W和V都不是随机事件，为方便讨论，把它们作为特殊的随机事件。根本领件，复合事件，必然事件，不可能事件都是相对于一定的试验条件而言的，如果条件变了，事件的性质也会改变。21第二章第一节概率的根本概念样本空间将某一随机试验的所有根本领件所组成的集合叫做这一随机试验的样本空间〔也叫做根本领件空间〕，记为W。W中的元素就是随机试验的根本领件。对于一个试验，首先应该弄清与它对应的样本空间是什么，也就是应该弄清所有可能的实验结果是什么？即所有根本领件是哪些？这是我们研究这一随机试验的根底。22第二章第一节概率的根本概念必然事件与不可能事件样本空间W作为一个事件，因为在每次试验中必有W中的一个根本领件发生，所以W在每次试验中必发生，即W是必然事件。空集V作为一个事件，因为它不包含任何根本领件，所以它在每次试验中都不可能发生，所以V是不可能事件。23第二章第一节概率的根本概念样本空间及随机事件的表示W1={H,T}(H表示正面，T表示反面〕W2={1,2,3,4,5,6}W3={0,1,2,3}用大写字母表示随机事件。用字母=“文字〞来说明事件。如让A=“有一粒种子发芽〞，B=“有两粒以上种子发芽〞，那么A、B分别为A={1}，B={2,3}，可见，A是根本领件，B是复合事件。24第二章第一节概率的根本概念事件的Venn图表示WBA25第二章第一节概率的根本概念包含假设事件A的发生必然导致事件B的发生，那么称事件B包含事件A，此时称事件A为事件B的子事件，记作BA或AB。例如：WBA26第二章第一节概率的根本概念相等WBA假设事件A与B有，AB且BA，那么称事件A和事件B是相等事件，记作A=B例如：A=“出现的点数能被3整除〞，B=“出现的点数是3或6〞，那么A=B。27第二章第一节概率的根本概念和或并〔1〕“事件A与B中至少有一个事件发生〞这一事件叫做A与B的和，记为A＋B例如，甲乙两人向同一靶射击，设A=“甲击中〞，B=“乙击中〞，C=“有人击中〞，那么C=A＋BWBA28第二章第一节概率的根本概念和或并〔2〕和事件可以推广到多个事件的情形，“n个事件中至少有一个发生〞这一事件称为这n个事件的和，记为：A1+A2++An简记为29第二章第一节概率的根本概念积或交〔1〕“事件A与B同时发生〞这一事件称为事件A与B的积，记作AB例如：A=“直径合格〞，B=“长度合格〞，C=“产品合格〞，那么C=AB。WBAAB30第二章第一节概率的根本概念积或交〔2〕事件的积可以推广到多个事件的情形：“n个事件同时发生〞，这一事件称为这n个的积事件。记作

简记为：

例如：E2中，A1=“出现的点数大于2〞，A2=“出现的点数小于6〞，A3=“出现的点数小于4〞，那么=“出现的点数等于3〞31第二章第一节概率的根本概念互斥假设事件A与事件B不能同时发生，即AB=V，那么称事件A与事件B是互斥的，或互不相容的。根本领件都是互斥的。WBA32第二章第一节概率的根本概念互逆“A不发生〞也是一个事件，称作事件A的逆事件，或对立事件，记作

由定义可见A与是互斥的，即A=V且A＋=W例如：“质量合格〞与“质量不合格〞是互逆事件，对于一件产品，两者必居其一。WAA互逆与互斥两个不同概念的区别是，假设A与B互逆，那么A与B必互斥，反之，假设A与B互斥，那么A与B并不一定互逆。33第二章第一节概率的根本概念差“事件A发生而事件B不发生〞这一事件称为事件A与事件B的差，记为A－B如甲乙两人向同一靶射击一例中，A－B表示甲击中而乙没有击中。显然A－B=WBA34第二章第一节概率的根本概念事件的运算规那么交换率：A＋B=B＋A AB=BA结合率(A＋B)＋C=A＋(B＋C) (AB)C=A(BC)分配率(A＋B)C=AC＋BC (第一分配率)AB＋C=(A＋C)(B＋C) (第二分配率)对偶率35第二章第一节概率的根本概念第二分配率的证明AB＋C=(A＋C)(B＋C) (第二分配率)36第二章第一节概率的根本概念事件的运算规那么特例

A+W=W A+V=A AW=A AV=VAA=A A+A=A 假设BA那么A＋B=B AB=A37第二章第一节概率的根本概念例问表示的是什么事件？解：

38第二章第一节概率的根本概念事件的符号表示要对试验和事件进行概率分析，首先应把具体事件用符号及运算关系表示出来。下面举例说明如何将具体事件用符号及运算关系表示出来。39第二章第一节概率的根本概念例某工人生产了3个零件，用Ai表示“第i个零件是正品〞(i=1,2,3)，试用Ai表示以下事件全是正品只有第一个零件是次品有一个零件是次品至少有一个零件是次品三个零件不都是正品有正品40第二章第一节概率的根本概念例解(1)全是正品只有第一个零件是次品有一个零件是次品41第二章第一节概率的根本概念例解(2)至少有一个零件是次品。三个零件不都是正品。有正品。42第二章第一节概率的根本概念频率我们把刻划事件发生可能性大小的数量指标，称之为事件发生的概率。在一组固定试验条件下，事件A在n次重复试验中发生了m次，称比值

为事件A的频率。43第二章第一节概率的根本概念频率的稳定性经验说明，当把试验重复进行屡次时，随机事件A的频率具有一定的稳定性，即常在一个确定的数值附近摆动。做投掷一枚硬币的试验，在一定条件下，事件A(“正面朝上〞)是否发生是不确定的。然而当在此条件下大量重复试验时，A发生的频率却表现出一定的规律性，当试验次数逐渐增多时，出现正面的频率总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5。44第二章第一节概率的根本概念频率的稳定性45第二章第一节概率的根本概念概率的统计定义在一定条件下重复进行n次试验，如事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，且一般说来，n越大摆动的幅度越小，那么称常数p为事件A的概率，记作P(A)=p46第二章第一节概率的根本概念概率的统计定义用频率来刻划事件发生的可能性大小是直观的，但是有缺点，因为它是一个试验值，具有波动性。常数p是客观存在的，这是我们定义事件概率的客观根底，“频率稳定性〞的性质不断地为人类实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。47第二章第一节概率的根本概念新生婴儿的性别比依遗传学原理，新生儿性别比应为1:1，历史上有人对此进行过实际调查，结果发现生男孩的概率不是0.5，而是22/43。这是历史上对伦敦、彼得堡、柏林及全法兰西的资料进行统计后得出的共同结论。有人根据巴黎40年间〔1745-1784〕的资料作了研究，得出另一比值25/49，比22/43偏小，后来研究了弃婴的情况，修正数字的结果仍然接近22/43这个比值。以后又有人进行统计研究，仍然得到22/43这个结论。实验结果说明，男孩出生的频率稳定在0.51上，而不是0.5上。48第二章第一节概率的根本概念古典概型概率的古典定义是建立在古典概型的根底之上的。如果随机试验具有：试验的样本空间中的元素只有有限个；试验中每一个根本领件发生的概率都一样，那么称这种随机试验为古典试验，也叫古典概型或等可能概型。49第二章第一节概率的根本概念概率的古典定义古典概型中，任一事件A发生的概率等于这一事件所包含的根本领件数m与根本领件总数n的比值。记为：

50第二章第一节概率的根本概念概率的根本性质由古典定义可见，概率具有以下性质：对任一事件A有： 0≤P(A)≤1P(W)=1 P(V)=0假设AB=V,那么有 P(A+B)=P(A)+P(B)证推论： P(A)=1-P()证51第二章第一节概率的根本概念例做试验E:“将一枚硬币抛三次〞观察正面出现的情况。(1).写出E的样本空间;(2).设A1=“恰有一次出现正面〞，求P(A1)?(3).设A2=“至少有一次出现正面〞，求P(A2)?52第二章第一节概率的根本概念例解解：E的样本空间是:W={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}而A1={(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)}A2={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)}可见 n=8, m1=3, m2=7由此 P(A1)=m1/n=3/8 P(A2)=7/853第二章第一节概率的根本概念例做试验E:“将一枚硬币抛三十次〞观察正面出现的情况。(1).写出E的样本空间大小;(2).设A1=“恰有一次出现正面〞，求P(A1)?(3).设A2=“至少有一次出现正面〞，求P(A2)?54第二章第一节概率的根本概念例解此时E的样本空间根本领件总数是:n=Nr=230A1=“恰有一次出现正面〞 m1=30C1×11×129A2=“至少有一次出现正面〞 m2=230-130P(A1)＝30C1×130／230≈2.794×10-8P(A2)＝(230-130)／230≈155第二章第一节概率的根本概念例50个小鼠中有白鼠30个，灰鼠20个。从中有放回地任意抽取5个，求以下事件的概率：A=“取到5个白鼠〞；B=“取到2个白鼠3个灰鼠〞；假设抽取是不放回的，上述事件的概率如何？56第二章第一节概率的根本概念例解有放回抽取根本领件总数n=5055个都是白鼠的所有可能取法为 mA=305取到2个白鼠3个灰鼠的根本领件数 mB=C52×302×203于是P(A)=mA/n=305/505≈0.07776P(B)=mB/n=C52×302×203/505≈0.230457第二章第一节概率的根本概念例解不放回抽取排列法n=50×49×48×47×46=A505mA=

A305mB=

C52×A302×A203于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340558第二章第一节概率的根本概念例解不放回抽取组合法n=50C5mA=30C5mB=30C2×20C3于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340559第二章第一节概率的根本概念应用古典概型的本卷须知判明是否属于古典概型，即样本是否空间有限，根本领件发生的概率是否相等。有放回抽样和不放回抽样是不同的。当被抽取的对象数目较大时，可以用不放回抽样代替放回抽样。不放回抽样的两种计算方法中样本空间的大小是不一样的。这是因为一个考虑了出现的顺序，而另一个那么是把每一个可能的组合作为根本领件，计算时要注意配套使用。60第二章第一节概率的根本概念事件计数应用古典概型解题，准确计数根本领件是先决条件。下面介绍几种根本的计数方法。61绪论根本计数方法一〔模型1〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r次抽得的数码记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后放回，不同的结果是指不同的排列。计算公式Nr62绪论根本计数方法二〔模型1〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒子容码不限量，不同的结果是指占位排列不同。计算公式Nr63绪论模型1例题14种核苷酸〔A、G、C、T)共可以编码多少个由3个核苷酸编码的氨基酸？解：N=4 r=3Nr=43=6464绪论模型1例题2一星期中某地发生交通事故10起，问共有多少种事故发生的分布情况？答案是：107，对不对？解：这里的问题就是要正确区分N和r，此题中N=7 r=10所以可能的事故发生情况总共有 Nr=710=282475249种65绪论模型1例题34个人洗碗，打破了4个碗。假设每个人打破碗的概率是相同的。问：第4个人恰好打破3个碗的概率是多少？解：N=4 r=4n=44令A=“第4个人恰好打破3个碗〞那么kA=13×3×C43=12 所求概率为：66绪论根本计数方法一〔模型2〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r个取得数码的记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后不放回，不同的结果是指不同的排列。计算公式NAr

67绪论根本计数方法二〔模型2〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒中只能容一码，不同的结果指占位排列不同。计算公式NAr

68绪论模型2例题1从1至9中任意取出3个数字，问可以组成多少个无重复数字的三位数？解：N=9 r=3A93=9×8×7=504个69绪论模型2例题2任意将10本书放在书架上，其中有三册书成套。问这三册书放在一起的概率为多少？解：N=10 r=10 n=10! 令A=“三册成套书放在一起〞那么kA=8!3!orkA=C817!3!所求概率为：70绪论根本计数方法一〔模型3〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r个取得数码的记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后不放回，不同的结果是指不同的组合。计算公式NCr71绪论根本计数方法二〔模型3〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒中只能容一码，不同的结果指占位组合不同。计算公式NCr72绪论模型3例题1从一付52张的扑克牌中，任意抽取13张，问有多少种这样的牌？解：N=52 r=135分钟一把，24小时不休息，604万年73绪论模型3例题2从10双鞋中随机抽取6只，问抽到恰有一双配对鞋的概率为多少？解：令A=“恰有一双配对鞋“，依题意有：74绪论根本计数方法一〔模型4〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r个取得数码的记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后放回，不同的结果是指不同的组合。计算公式N-1+rCr75绪论根本计数方法二〔模型4〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒中容码不限量，不同的结果指占位组合不同。计算公式N-1+rCr76绪论模型4例题1问(a+b+c)6展开式合并后共有多少项？解：N=3 r=677绪论根本计数方法特例J个有序盒子一字排开，N个球依次投入其中，要求第一个盒落N1个，第J个盒落NJ个，N1+N2+N3++NJ=N，盒论序，盒内论组不管序。问共有多少种落入法？计算公式为：78绪论特例例题1问(a+b+c+d)20展开式中a5b10c3d2项的系数为多少？解：所求为：79绪论特例例题236个篮球运发动分成12个人一队，组成三个球队，其中高大中锋三人，假设将高大中锋平均分配给三个队，问共有多少种分法？解：为达此目的先将三个高大中锋分入三组，每组一人，共有3!种分法。其他33个运发动分成三组，共有

种分法所以共有种分法80绪论例1.4〔1〕做试验E:“将一枚硬币抛三十次〞观察正面出现的情况。(1).写出E的样本空间大小;(2).设A1=“恰有一次出现正面〞，求P(A1)?(3).设A2=“至少有一次出现正面〞，求P(A2)?81绪论例解此时E的样本空间根本领件总数是:n=Nr=230A1=“恰有一次出现正面〞 m1=30C1×11×129A2=“至少有一次出现正面〞 m2=230-130P(A1)＝30C1×130／230≈2.794×10-8P(A2)＝(230-130)／230≈182第二章第一节概率的根本概念例50个小鼠中有白鼠30个，灰鼠20个。从中有放回地任意抽取5个，求以下事件的概率：A=“取到5个白鼠〞；B=“取到2个白鼠3个灰鼠〞；假设抽取是不放回的，上述事件的概率如何？83第二章第一节概率的根本概念例解有放回抽取根本领件总数n=5055个都是白鼠的所有可能取法为 mA=305取到2个白鼠3个灰鼠的根本领件数 mB=C52×302×203于是P(A)=mA/n=305/505≈0.07776P(B)=mB/n=C52×302×203/505≈0.230484第二章第一节概率的根本概念例解不放回抽取排列法n=50×49×48×47×46=A505mA=

A305mB=

C52×A302×A203于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340585第二章第一节概率的根本概念例解不放回抽取组合法n=50C5mA=30C5mB=30C2×20C3于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340586第二章第一节概率的根本概念应用古典概型的本卷须知判明是否属于古典概型，即样本是否空间有限，根本领件发生的概率是否相等。有放回抽样和不放回抽样是不同的。当被抽取的对象数目较大时，可以用不放回抽样代替放回抽样。不放回抽样的两种计算方法中样本空间的大小是不一样的。这是因为一个考虑了出现的顺序，而另一个那么是把每一个可能的组合作为根本领件，计算时要注意配套使用。87第二章第一节概率的根本概念事件计数应用古典概型解题，准确计数根本领件是先决条件。下面介绍几种根本的计数方法。88绪论根本计数方法一〔模型1〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r次抽得的数码记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后放回，不同的结果是指不同的排列。计算公式Nr89绪论根本计数方法二〔模型1〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒子容码不限量，不同的结果是指占位排列不同。计算公式Nr90绪论模型1例题14种核苷酸〔A、G、C、T)共可以编码多少个由3个核苷酸编码的氨基酸？解：N=4 r=3Nr=43=6491绪论模型1例题2一星期中某地发生交通事故10起，问共有多少种事故发生的分布情况？答案是：107，对不对？解：这里的问题就是要正确区分N和r，此题中N=7 r=10所以可能的事故发生情况总共有 Nr=710=282475249种92绪论模型1例题34个人洗碗，打破了4个碗。假设每个人打破碗的概率是相同的。问：第4个人恰好打破3个碗的概率是多少？解：N=4 r=4n=44令A=“第4个人恰好打破3个碗〞那么kA=13×31×C43=12 所求概率为：93绪论根本计数方法一〔模型2〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r个取得数码的记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后不放回，不同的结果是指不同的排列。计算公式NAr

94绪论根本计数方法二〔模型2〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒中只能容一码，不同的结果指占位排列不同。计算公式NAr

95绪论模型2例题1从1至9中任意取出3个数字，问可以组成多少个无重复数字的三位数？解：N=9 r=3A93=9×8×7=504个96绪论模型2例题2任意将10本书放在书架上，其中有三册书成套。问这三册书放在一起的概率为多少？解：N=10 r=10 n=10! 令A=“三册成套书放在一起〞那么kA=8!3!orkA=C817!3!所求概率为：97绪论根本计数方法一〔模型3〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r个取得数码的记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后不放回，不同的结果是指不同的组合。计算公式NCr98绪论根本计数方法二〔模型3〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒中只能容一码，不同的结果指占位组合不同。计算公式NCr99绪论模型3例题1从一付52张的扑克牌中，任意抽取13张，问有多少种这样的牌？解：N=52 r=135分钟一把，24小时不休息，604万年100绪论模型3例题2从10双鞋中随机抽取6只，问抽到恰有一双配对鞋的概率为多少？解：令A=“恰有一双配对鞋“，依题意有：101绪论根本计数方法一〔模型4〕根本情况盒中有N个数字筹码，分别编号1-N，每次从中抽取一码，共抽取r次，得到r个取得数码的记录，称为一个抽样结果。抽得的数码读后放回，不同的结果是指不同的组合。计算公式N-1+rCr102绪论根本计数方法二〔模型4〕根本情况将r个筹码，依次投入到分别编号1-N的N个盒子中，依次记录r次投入盒子的序号，得到一个占位结果。盒中容码不限量，不同的结果指占位组合不同。计算公式N-1+rCr103绪论模型4例题1问(a+b+c)6展开式合并后共有多少项？解：N=3 r=6104绪论根本计数方法特例J个有序盒子一字排开，N个球依次投入其中，要求第一个盒落N1个，第J个盒落NJ个，N1+N2+N3++NJ=N，盒论序，盒内论组不管序。问共有多少种落入法？计算公式为：105绪论特例例题1问(a+b+c+d)20展开式中a5b10c3d2项的系数为多少？解：所求为：106绪论特例例题236个篮球运发动分成12个人一队，组成三个球队，其中高大中锋三人，假设将高大中锋平均分配给三个队，问共有多少种分法？解：为达此目的先将三个高大中锋分入三组，每组一人，共有3!种分法。其他33个运发动分成三组，共有

种分法所以共有种分法107绪论概率的加法定理1关于求几个事件之和的概率的定理称为概率的加法定理。两个事件和的概率加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)证1这个公式也可描述为：“事件A与B的和的概率等于事件A的概率与事件B的概率的和与事件A与事件B的积的概率的差〞。108绪论概率的加法定理2由上式，用递推法可以得到三事件和的概率加法公式：P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)109绪论概率的加法定理3以此为根底，用数学归纳法可以证明：110绪论概率加法定理的推论1推论1：如果A1－An这n个事件中，任何两个事件都不能同时发生，即它们两两互斥，那么：111绪论概率加法定理的推论2推论2：事件的概率与该事件之对立事件的概率之和等于1，即112绪论概率加法定理的推论3推论3：假设事件A1A2A3......An两两互斥，且在试验结果中必定出现其中之一，那么：证2我们把两两互斥且每次试验中必定出现其中之一的n个事件称为互斥事件完备群，或互斥事件完备组，或完备事件组。113绪论概率加法定理的应用例从一个有红黄白色球各一个的袋子中，有放回地抽取三次，求“取到的三个球中没有红球或没有黄球〞的概率。解:设A=“没有红球〞，B=“没有黄球〞那么所求为P(A+B)因为n=33 mA=23 mB=23 mAB=13所求P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=8/27+8/27-1/27=5/9114绪论概率加法定理的应用例豌豆红花基因R对白花基因r显性，隐性纯合体rr为白花。问从F1自交〔Rr×Rr〕后代种子中任取一粒种子，它是红花种子的概率为多少？解：杂交Rr×Rr后代中有三种互斥的基因型，它们出现的概率分别为1/4，2/4，1/4。设A=“是红花种子〞，那么：P(A)=P(RR+Rr)=P(RR)+P(Rr)=1/4+2/4=3/4即F1自交后代种子中任取一粒是红花种子的概率为3/4。115绪论条件概率在许多概率计算问题中，往往会遇到在事件B已发生的条件下，求事件A发生的概率。由于此时新增了事件B已经发生这个条件，所以它与事件A的概率的意义不同，把这种概率叫做事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(A|B)116绪论条件概率例在有两个小孩的家庭中，按年龄大小写出他(她)们的性别，那么这样家庭的孩子共有几种情况(设生男生女概率相同)？令A=“两个都是男孩〞，求P(A)？令B=“有男孩〞，求P(B)？如果这样的家庭有男孩，再求P(A)又如何？解：该题的样本空间为W={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}生男育女概率相同，古典概型问题。得：P(A)=1/4 P(B)=3/4117绪论条件概率例解当我们事先知道这样的家庭中有男孩，即事件B已发生，那么此时的根本领件总数为三个，记此时的样本空间为WB，那么WB={(男,男)，(男,女)，(女,男)}称WB为缩减的样本空间。由于这三个事件仍然是等可能的，所以此时事件A发生的条件概率为P(A|B)=1/3118绪论条件概率的计算公式由上可见：附加条件的增加对原事件A发生的可能性产生了影响，即事件A的条件概率与无条件概率是不相等的；条件概率可用缩减样本空间的方法来计算。由P(A|B)=1/3=(1/4)/(3/4)=P(AB)/P(B)得到119绪论条件概率例2.2(p28)施用两种不同药物杀灭螟虫，结果见下表：从200只中任取一只，计算以下事件的概率：是死虫的概率；是甲药处理的概率；是甲药处理且死亡的概率；死亡虫中是甲药处理的概率；120绪论条件概率例解从200只中任取一只：是死虫的概率；P(A)=160/200是甲药处理的概率；P(B)=120/200是甲药处理并死亡的概率；P(BA)=96/200死亡虫中是甲药处理的概率P(B|A)=96/160121绪论条件概率例解是死虫的概率；P(A)=160/200=0.8是甲药处理的概率；P(B)=120/200=0.6是甲药处理且死亡的概率；P(BA)=96/200=0.48死亡虫中是甲药处理的概率； P(B|A)=96/160=0.6122绪论条件概率例甲乙两城市都位于长江下游，根据一百余年的气象记录，两市一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，求：乙市为雨天时甲市也为雨天的概率；甲市为雨天时乙市也为雨天的概率。解：设A=“甲市是雨天〞，B=“乙市是雨天〞，那么根据题意有P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，由此得：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18=0.67P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.20=0.60123绪论概率的乘法定理由条件概率的计算公式，推出两事件积的乘法公式如下：P(AB)=P(B)P(A|B) P(B)>0P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)>0概率的乘法定理的意义是：两事件积的概率等于其中某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生条件下的条件概率。124绪论概率的乘法定理乘法定理可推广到任意n个事件之积的情形设A1,A2,…,An(n>2)为n个事件且P(A1A2…An-1)>0，那么有P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)125绪论例一批小白鼠的合格率为80％，而合格鼠中的一级品率为50％，从中随机抽取一只，求其是一级品的概率？解：设A=“是一级品〞B=“是合格品〞因为B包含A，所以 AB=A由题意知：P(B)=0.8P(A|B)=0.5P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)=0.8×0.5=0.4126绪论事件的独立性两个事件的独立如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，即P(B)=P(B|A)，那么称事件A与事件B相互独立。例127绪论独立事件的乘法公式相互独立的事件A与B，有：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)即：独立事件的积的概率等于其各自概率的积。128绪论多个事件的独立对于n个事件A1,A2,…,An(n>2)，假设对于所有可能的以下组合〔1≤i<j<k<…≤n〕满足等式P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)……P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)那么称事件A1，A2，…，An相互独立。由此可见，不能由n个事件两两相互独立而得出这n个事件相互独立的结论。129绪论关于事件的独立性实际问题中，两事件是否相互独立常常根据实际情况判断。生物实验结果一般多为相互独立的。如从甲地抽取一样本与乙地抽取的样本进行比较实验；对某样品的某种物质的含量分析等。抽样类实验，有放回抽样，事件之间是相互独立的；不放回抽样，事件之间不独立。独立与互斥是两个不同的概念，不可比，但有如下关系：互斥必不独立，独立必不互斥。130绪论例某地区的中学生中，患近视眼的占5％，女生占40％，从该地区的中学生中任意抽取一人，问她既是女生又是近视眼患者的概率为多少？解：一般来说，女生〔事件A〕与患近视眼〔事件B〕之间是相互独立的。： P(A)=0.40 P(B)=0.05故所求为：P(AB)=P(A)P(B)=0.40×0.05=0.02131绪论例抓阄问题五人排队抓阄，决定谁取得一物。问第i人取到有物之阄的概率是多少？〔i=1,2,3,4,5)解：设Ai=“第i人抓到有物之阄〞，那么有P(A1)=1/5P(A2)=P(A2)=P()P(A2|)=4/5×1/4=1/5132绪论例抓阄问题同理可求得P(A4)=1/5 P(A5)=1/5133绪论全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式全概率公式是概率论中用来把一个复杂事件分解为假设干个互斥的简单事件，然后利用概率的加法公式和乘法定理得到最终结果的公式。而贝叶斯公式那么是全概率公式的逆运算。134绪论全概率公式设试验E的样本空间为W，B为E的事件，A1,A2,A3,…An为W的一个完备事件组，且P(Ai)>0(i=1,2,3,…n)，那么对于B有：证3135绪论全概率公式例1甲乙两组同学做果蝇性别判断实验，甲组可判断全部果蝇的60％，乙组判断40％，又知甲组在判断时，是雄蝇仍被判定为雄蝇的概率为0.8，乙组的同样概率为0.9。试求一雄蝇被鉴定为雄蝇的概率？解：设B=“是雄蝇被判定为雄蝇〞Ai=“第i组判定〞(i=甲、乙)。依题意A甲、A乙组成完备事件组，且P(B|A甲)=0.8P(B|A乙)=0.9于是依全概率公式所求概率为：P(B)=P(A甲)P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)=0.6×0.8+0.4×0.9=0.84136绪论全概率公式例2甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4、0.5、0.7，又设，假设只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，假设两人击中，飞机坠落的概率为0.6，假设三人击中飞机必坠落，求三人射击一次飞机坠落的概率？解：设B=“飞机坠落〞Ai=“恰有i人击中〞(i=0,1,2,3)Cj=“第j人击中〞(j=1,2,3)显然A0,A1,A2,A3组成一个完备事件组，按概率的加法公式和乘法公式有：137绪论全概率公式例2P(A0)=P()=0.6×0.5×0.3=0.09P(A1)=P()=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36P(A2)=P()=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41P(A3)=P()=0.4×0.5×0.7=0.14138绪论全概率公式例2由题意知：P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1于是由全概率公式得：

139绪论贝叶斯公式〔逆概公式〕设试验E的样本空间为W，B为E的事件，A1,A2,A3,…An为W的一个完备事件组，且P(Ai)>0(i=1,2,3,…n)，那么对于任一事件B〔P(B)>0〕有：

证4140绪论贝叶斯公式的用途贝叶斯公式主要用于事件B〔结果〕已发生情况下，推断是由诸原因A1,A2,A3,…An中，哪一个原因引起的可能性最大？或者说，求在B已发生的条件下，诸原因Ai分别发生的概率P(Ai|B)(i=1,2,3,…,n)是多大？这种“由果溯因〞的推断问题，可用贝叶斯公式来解决。先验概率，后验概率。141绪论贝叶斯公式应用例2.3〔p25〕中年男性人群中，20％超重，50％正常，30％体重偏低，他们患动脉硬化的概率分别为0.3，0.1，0.01，从中随机抽取一人，恰为动脉硬化患者，求他可能来自不同人群的概率？解：用A1,A2,A3，分别表示超重，正常，偏低B表示动脉硬化。那么依题意有：P(A1)=0.20 P(A2)=0.50 P(A3)=0.30P(B|A1)=0.30 P(B|A2)=0.10 P(B|A3)=0.01142绪论贝叶斯公式应用例2.3解将上述数据代入贝叶斯公式分别求得：P(A1|B)=0.06／0.113≈0.531P(A2|B)=0.05／0.113≈0.442P(A3|B)=0.003／0.113≈0.027可见该患者最有可能来自超重组。143绪论贝叶斯公式应用例今有一台仪器，当其调整适当时，测得的数据有96％是准确的，当调整不当时，测得的数据只有50％是准确的。使用记录说明，调整适当的概率为80％。如果在一次调整后，用标准样测得的头三个数据都是准确的，问该仪器被调整适当的概率是多少？144绪论贝叶斯公式应用例解解：设B=“测得的头三个数据都是准确值〞，A=“仪器调整适当〞，=“仪器调整不适当〞显然A，组成完备事件组，由题意知P(A)=0.8 P()=0.2P(B|A)=0.963 P(B|)=0.503我们所求的概率是P(A|B)145绪论贝叶斯公式应用例解由贝叶斯公式有：146绪论贝叶斯公式的应用从这个例子中可以看出，在没有调试之前，我们只知道仪器调整适当的先验概率为0.8，如果有了头三个数据都是正确值这个事实，仪器被调整适当的概率提高到了0.966。这个后验概率的得到，使我们对调整仪器的情况有了更进一步的了解。147绪论贝叶斯公式应用例根据以往的临床记录，某种诊断癌症的方法具有以下效果：假设A＝“试验反响为阳性〞，C＝“被诊断者患有癌症〞，那么有：P(A|C)＝0.95 现在对自然人群进行普查，设被普查的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005试求“试验反响为阳性的情况下被普查者确实患有癌症〞的概率？解：依题意，所求概率为P(C|A)148绪论贝叶斯公式应用例解：P(C)=0.005 P()=0.995P(A|C)=0.95 P(A|)=0.05依逆概公式有：即：“试验反响为阳性的情况下被普查者确实患有癌症〞的概率为8.7%149绪论贝叶斯公式应用例解同时也可求出“试验反响为阳性的情况下被普查者没患癌症〞的概率P(|A)：即：“试验反响为阳性的情况下被普查者没患癌症〞的概率为91.3%150绪论概率的加法定理及其推论完备事件组条件概率与概率的乘法公式事件的独立性全概率公式及其应用逆概公式及其应用151绪论152绪论随机实验结果的数字表示许多随机试验的结果与数值直接有关，如测量动植物的高度和重量；又如，调查100名病人服用某种药物后的痊愈情况等。有时，随机试验的结果本身不是数量，但可以表示为数量，例如，观察1只新生动物的性别。数量的具体值是由随机试验的结果所确定的。153绪论随机变量由此可见，随机实验的结果可以用一个变量X来表示，这个变量随着实验结果的不同而取不同的值，由于在实验之前只能预测X的取值范围而不能预测其具体取值，即实验结果具有随机性，所以这个变量的取值也具有随机性，它是个随机变量。把随机实验的结果用一个变量来表示，这个变量随实验结果的不同取不同的值，称为随机变量。154绪论随机变量的定义设E是一个随机试验，它的样本空间W={x}，如果对于每一个x∈W都有一个实数X(x)和它对应，那么称定义在W上的实值单值函数X(x)为随机变量。X(x)简写为X。155绪论随机变量的特点由随机变量的定义可以看出，随机变量与普通变量有三点不同。随机变量的取值具有随机性；随机变量取一定的值具有一定的概率；随机变量的定义域为样本空间。156绪论随机变量的表示通常我们用大写英文字母来表示随机变量。在上面100人痊愈情况的例子中，如果我们用X表示痊愈的人数，那么X是个取值为0到100的随机变量。我们用小写字母表示随机变量在某次实验中所取得的具体值，称为随机变量的观察值。157绪论例1100粒种子中有5粒不能发芽，从中随机抽取20粒进行发芽试验，试通过随机变量的不同取值来表示以下事件：“20粒种子都发芽〞；“恰有一粒种子不发芽〞；“至少有2粒种子不发芽〞；“不发芽粒种数不多于1〞；“不发芽粒种数在2-4之间〞。158绪论例1解解：设X为取出的20粒种子中不能发芽的种子数，那么X是一个取值为0，1，2，3，4，5的随机变量。上述不同事件可以用X取以下值来表示：“20粒种子都发芽〞 {X=0}“恰有一粒种子不发芽〞 {X=1}“至少有2粒种子不发芽〞 {X≥2}“不发芽粒种数不多于1〞 {X≤1}“不发芽粒种数在2-4之间〞 {2≤X≤4}159绪论例2取一粒种子做发芽观察，将试验的结果用随机变量表示出来。解：用X表示这个观察的结果，那么X有两种取值。我们用{X=1}表示事件“种子发芽〞{X=0}表示事件“种子不发芽〞那么该试验的结果得以用随机变量X表示出来。160绪论引入随机变量的意义在前一章中，我们只是孤立地研究随机试验的一个或几个事件，引入随机变量后，我们就可通过随机变量将各个事件联系起来，而去研究随机试验的全部结果。随机变量的引入，使我们有可能利用数学分析的方法来研究随机试验。161绪论离散型随机变量根据随机变量的取值情况把它们分成两大类：如果随机变量的取值是有限个或是可数无限个，可以将它们按一定次序一一列举出来，那么称这种随机变量为离散型随机变量。例如：某动物一窝的产仔数，某样方中的某种乔木数量，一立方米空气中的细菌数，等等。162绪论连续型随机变量如果随机变量可取某一区间〔有限或无限〕内的任何数值，那么称其为连续型随机变量。如作物的亩产量，它可以是区间[a,b]中的任何值。又如，初生牛犊的体重也是连续型随机变量。163绪论离散型随机变量概率分布的概念将随机变量X的一切可能取值x1,x2,x3……xn…,以及取得这些可能值的概率px1,px2,px3……pxn…,排列起来，就构成了随机变量的概率分布。164绪论离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X所有可能的取值为xk(k=1,2,3,……)，事件{X=xk}的概率为pk那么X取所有可能值的概率可用下式表示：

P(X=xk)=pk k=1,2,3……我们称上式为离散型随机变量X的概率函数，或叫X的分布率，X的概率函数反映了X取所有可能值的概率分布。165绪论离散型随机变量的概率分布表离散型随机变量的概率分布也可用表格的形式表示：这个表称为随机变量X的概率分布表，也称作X的分布列。166绪论离散型随机变量的概率分布图167绪论概率分布的根本性质离散型随机变量的概率分布〔简称分布〕有两个根本性质：pk＞0(k=1,2,3,……)

168绪论例3(1)写出例1中随机变量X的概率函数并分别用表格和图形的方式把它表示出来。解：设X=20粒种子中的不发芽种子数，那么有：k=0,1,2,3,4,5此即所求X的概率函数。169绪论例3(2)X的概率分布表170绪论例3(3)X的概率分布图171绪论例4掷一颗骰子，用X表示出现的点数。写出X的概率分布。解：X的可能取值有：1，2，3，4，5，6共6个值。由于每个点数出现的时机是等同的，所以有：P(X=k)=1/6(k=1,2,3,4,5,6)或：xk 123456pk 1/61/61/61/61/61/6172绪论分布函数的定义设X是一个随机变量(离散型或连续型)，那么称函数为X的分布函数，或累积分布函数。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示点X落在区间(-∞,x]上的概率。173§2.3随机变量的分布函数分布函数的特点分布函数是一个普通函数对事件的概率计算有了统一、简化的方法对于任意实数x1,x2(x1<x2)有：P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)证1即由此可见，只要知道了X的分布函数。那么X落在任一区间(x1,x2]上的概率就等于X的分布函数F(x)在该区间的增量。174§2.3随机变量的分布函数分布函数的根本性质分布函数有以下根本性质：F(x)是一个不减函数：即对于任意x1<x2都有F(x2)≥F(x1)

0≤F(x)≤1F(﹣∞)=0F(＋∞)=1175§2.3随机变量的分布函数连续型随机变量概率密度的定义对于随机变量X，如果存在非负的可积函数f(x)(-∞<x<+∞)，使对任意a，b(a<b)都有：那么称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度，或密度。概率密度的图形y=f(x)叫做分布曲线。176绪论概率密度的性质f(x)≥0由定义的非负性而来。几何解释是分布曲线y=f(x)位于x轴的上方。

由定义知：

几何解释是：介于分布曲线y=f(x)与x轴之间的平面图的面积等于1。177绪论概率密度的性质

因此，对于连续型随机变量X而言 P(a<X<b)=P(a≤X<b) =P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)即在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间，还是半开区间。178绪论概率密度的性质

求X落在某区间的概率可通过下公式简便求出,179绪论180§3.1随机变量的数学期望随机变量的数字特征描述随机变量特征的数字，叫做随机变量的数字特征。181§2.3总体特征数数学期望数学期望〔均值〕测定某种灯管的使用寿命，用X表示这种灯管的使用小时数，那么X为一随机变量。取100个这种灯管作测试，测试结果如下：182§2.3总体特征数数学期望随机变量均值计算由此可以算出这种灯管的平均使用寿命：上式也可写为如下形式：183§2.3总体特征数数学期望随机变量均值计算可见，拿每一个可能的使用时数，乘以这个时数的灯管的频率，积加起来就是这种灯管的平均使用寿命。X的准确平均值可由下式求出：184§2.3总体特征数数学期望离散型随机变量数学期望的定义设离散型随机变量X的概率分布是：P(X=xk)=pkk=1,2,3,……假设级数

绝对收敛，那么称该级数为X的数学期望(或期望)，记为E(X)假设不绝对收敛，那么称X的数学期望不存在。185§2.3总体特征数数学期望数学期望不是加权平均数当X的概率分布为时，E(X)可由上式算出。随机变量的数学期望形式上是X的可能值的加权平均，实质上它表达了随机变量X取值的真正平均，因此我们也称它为X的均值，或分布的均值，有时也叫理论平均数。186§2.3总体特征数数学期望例4设X是抛一粒六面体骰子时上面出现的点数，求其数学期望。解：X的概率函数为P(X=k)=1/6(k=1,2,3,4,5,6)187§2.3总体特征数数学期望连续型随机变量数学期望的定义对于连续型随机变量，假设它的概率密度为f(x)，注意到f(x)dx的作用与离散型随机变量中的pk相类似，于是我们自然有以下定义。设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，假设积分绝对收敛，那么称该积分为X的数学期望，记为188§2.3总体特征数数学期望数学期望的简单性质设c、b是常数，X、Y是相互独立的随机变量，可以证明，随机变量函数的数学期望可按以下公式求出。 E(c)=c E(cX)=cE(X) E(X+c)=E(X)+c E(cX+b)=cE(X)+b E(X±Y)=E(X)±E(Y)189§2.3总体特征数数学期望数学期望的简单性质证：E(c)=c×1=cE(cX)=cE(X)以连续型X为例190§2.3总体特征数数学期望数学期望的简单性质E(X+c)=E(X)+c仍以连续型X为例191§2.3总体特征数数学期望数学期望的简单性质同理可证E(cX+b)=cE(X)+bE(X±Y)=E(X)±E(Y)192§2.3总体特征数数学期望随机变量取值的变化情况我们先来看一个例子:甲乙两种棉花，其棉纤长度尺寸测量值的概率分布如下：193§2.3总体特征数方差均值相同的随机变量取值变化不同用X表示棉纤尺寸，容易算得：在均值相同的情况下，为了评定哪种棉花好，就要看哪种棉纤的长度整齐，即需要考查棉纤长度与均值的偏离程度，偏离程度越小，说明越整齐。可见了解随机变量取值的离散情况是十分必要的。194§2.3总体特征数方差随机变量的离均差常识告诉我们，数据越整齐就越密集于平均数周围，否那么就越远离平均数。因此，我们自然想到了用每个数据偏离平均数的量来描述数据的分散情况，即用

来描述，统计学上称之为随机变量的离均差，也称作离差，或偏差。195§2.3总体特征数方差离差描述数据变化的缺乏离差是个随机变量，而且它的数学期望等于零：虽然用离差绝对值的数学期望来描述数据的离散是可行的，但该式需要对绝对值值号进行处理，计算麻烦。为了克服这一缺点，统计学上引入了方差的概念。196§2.3总体特征数方差随机变量方差的定义设X是一随机变量，假设E([X-E(X)]2)存在，那么称E([X-E(X)]2)为X的方差，记为D(X)，即：

可见方差的实质是离差平方的平均值。197§2.3总体特征数方差随机变量标准差的定义统计学上把方差的算术平方根，称为X的标准差。记为

可见：随机变量方差的量纲是随机变量量纲的平方，而随机变量的标准差那么与随机变量有相同的量纲。198§2.3总体特征数方差离散型随机变量方差的计算由方差的定义我们有：假设X是离散型随机变量，那么

其中pk=P(X=xk)，k=1,2,3,……199§2.3总体特征数方差连续型随机变量方差的计算假设X是连续型随机变量，那么

其中f(x)是X的概率密度。200§2.3总体特征数方差随机变量方差的计算公式关于随机变量方差的计算有以下重要公式：

证2201§2.3总体特征数方差例抛掷一颗骰子，设X=“出现的点数〞，试求X的方差D(X)？解：E(X)=3.5=(1-3.5)2×1/6+(2-3.5)2×1/6 +(3-3.5)2×1/6+(4-3.5)2×1/6 +(5-3.5)2×1/6+(6-3.5)2×1/6 ≈2.9202§2.3总体特征数方差例解

用

计算如下：D(X)=E(X2)-E2(X)=-3.52 =(12+22+32+42+52+62)×1/6-3.52 ≈2.9203§2.3总体特征数方差方差的简单性质设c、b是常数，X、Y是相互独立的随机变量，可以证明，随机变量函数的方差可按以下公式求出。D(c)=0D(cX)=c2D(X)D(X+b)=D(X)D(cX+b)=c2D(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)204§2.3总体特征数方差方差的简单性质D(c)=0 D(c)=E([c-E(c)]2)=E([c-c]2)=E(0)=0D(cX)=c2D(X) D(cX)=E([cX-E(cX)]2) =E([cX-cE(X)]2) =E([c(X-E(X))]2) =E(c2[X-E(X)]2) =c2E([X-E(X)]2) =c2D(X)205§2.3总体特征数方差方差的简单性质D(X+b)=D(X)

D(X+b)=E([(X+b)-E(X+b)]2) =E([X+b-E(X)-b]2) =E([X-E(X)]2) =D(X)206§2.3总体特征数方差方差的简单性质D(cX+b)=c2D(X) D(cX+b)=E([(cX+b)-E(cX+b)]2) =E([cX+b-E(cX)-b]2) =E([cX-E(cX)]2) =E([c(X-E(X))]2) =E(c2[X-E(X)]2) =c2E([X-E(X)]2) =c2D(X)207§2.3总体特征数方差方差的简单性质D(X±Y)=D(X)+D(Y)208§2.3总体特征数方差随机变量的数字特征描述随机变量特征的数字，叫做随机变量的数字特征。209§2.3总体特征数数学期望数学期望〔均值〕测定某种灯管的使用寿命