现代光学第1章 现代光学的数学物理基础

第1章现代光学的数学物理根底1.1光波场的复振幅描述1.2二维傅里叶变换与频谱函数的概念1.3卷积与相关1.4现代光学中常用的函数1.5连续函数信号的离散与抽样定理1.6光波场的局部相干理论简介1.1光波场的复振幅描述

从几何光学到波动光学

几何光学是波动光学在波长趋于零的极限情况下的近似。几何光学以费马原理(可导出光的直线传播规律、反射和折射定律)为根底，采用数学中的几何方法，研究成像光学仪器的设计、像差计算与消除和成像质量改善的问题。几何光学在处理成像问题上比较简单、精确,是设计各种光学仪器的根底，因而得到广泛应用。现在我们从几何光学过渡到波动光学。首先由费马原理知道，光从给定点P到Q将沿着两点之间的光程为极值的路线传播，即

(1.1-1)

式中：n(x,y,z)为折射率。费马原理与经典力学中的哈密顿变分原理相似。按照经典力学中的哈密顿原理，质点在时间t1和t2之间的轨迹满足：

(1.1-2)式中:L为拉格朗日函数，它是广义坐标和广义速度的函数，而积分是在时间上进行的。与之相比，费马原理是在空间变量上进行积分的。注意到无限小弧长ds可写为

(1.1-3)

式中:“·〞表示对z的微商。将s换成z，式(1.1-1)可改写为

(1.1-4)由式(1.1-4)与式(1.1-2)，可以给出相应的光学拉格朗日函数定义：

(1.1-5)

此处，z可假定起着与拉格朗日力学中的时间相同的作用。与经典力学中的情况类似，我们同样能够引入哈密顿量。根据经典力学中广义动量p和q的定义:

(1.1-6)将式(1.1-5)中的L值代入得

(1.1-7)这里,p和q称为光线的方向余弦。应用光学拉格朗日函数

L和光线的方向余弦p、q，可以定义光学哈密顿函数H:

(1.1-8)

进一步可以将光学哈密顿函数写为

(1.1-9)例如，经典动量在量子力学中用相应的动量算符代替，对于x分量，动量算符为

(1.1-10)

式中:h是普朗克常数。类似地，在从几何光学过渡到波动光学中，利用式(1.1-7)同样可写出相应的动量算符为

(1.1-11)此外，在量子力学中，能量相当于算符而在波动光学中，它对应为应用光学哈密顿量，可以写出相应的薛定谔方程:

即

(1.1-12)应用式(1.1-11)，式(1.1-12)变为

(1.1-13)

式中:Ψ为波函数。式(1.1-13)与标量波动方程式

比较，能够看出其中λ0是真空中的波长。这样我们就由几何光学过渡到波动

光学。定态光波场可用实值标量函数表示为

(1.1-14)

式中：(x,y,z)为空间一点P的位置坐标；ν为光波的时间频率;u(x,y,z)为光波的振幅;j(x,y,z)为光波在P点的初相。ν为常量的光波称为单色光波。虽然理想的单色光波并不存在，但是研究单色光具有实际意义，它是研究准单色光和复色光波的根底。光波场的复振幅描述

为了数学运算方便，通常把光波场用复指数函数表示为

(1.1-15)

为简单起见，通常又把取其实部的符号Re{}略去，简写为

(1.1-16)对于单色光波，式(1.1-16)中的时间因子不随空间位置变化，在研究光振动的空间分布时，可将其略去。由此可引入光波复振幅的概念，定义光波的复振幅为

(1.1-17)

显然，复振幅是以振幅为模，初相为辐角的复指数函数，用来描述光波的振幅和相位随空间位置坐标的变化关系。光强随空间位置坐标的变化关系可用复振幅表示为

(1.1-18)

式中：U*为U的复共轭。复振幅的引入，大大方便了光学问题的研究。1.平面波

平面波的特点是：在各向同性介质中，光波场相位间隔为2π的等相面是垂直于传播方向的一组等间距平面，场中各点的振幅为一常量。

如图1.1-1所示，设平面光波沿z轴方向传播，观察点P的矢径为r，坐标为(x,y,z)，光波在坐标原点的初相为jO,那么P点的初相为

(1.1-19)式中：λ为光波长；k为波矢的大小。由于坐标原点选择的任意性，总可使jO=0，因此，沿z轴方向传播的平面波的复振幅可表示为

(1.1-20)

可见，相位函数只随z变化，与变量x、y无关。图1.1-1沿z轴传播的平面波当平面波的传播方向不在z轴方向时，用波矢k表示波的传播方向，其方向余弦为cosα、cosβ、cosγ，仍设观察点P的矢径为r，于是平面波的复振幅一般可表示为

(1.1-21)

P点的相位函数j(x,y,z)=k(xcosa+ycosb+zcosg)为坐标变量的线性函数。2.球面波

假设选择直角坐标系的原点与球面波中心重合，xOz面内的波面线如图1.1-2所示。图1.1-2球面波示意图取jO=0，r=1处的振幅为a0，对于发散球面波，k

与r同向，k·r=kr；对于会聚球面波，k与r反向，k·r=－kr。所以球面波的复振幅为

(1.1-22)

3.柱面波

均匀无限长同步辐射的线光源发出的光波为柱面波。柱面波的特征是：相位间隔为2π的等相面是一组等间距同轴柱面，光波场中各点的振幅与该点到轴线的距离的平方根成反比。图1.1-3柱面波示意图如图1.1-3所示，取线光源在一直角坐标轴上，假设r在k方向上的投影的大小为r，那么柱面波的复振幅为

(1.1-23)1.1.3光波场中任意平面上的复振幅及其空间频率的概念

1.平面光波场中任意平面上的复振幅

设观察面为(x,y,z1)平面，由式(1.1-21)得到该平面上的复振幅为

令

(1.1-24)对于给定的观察面，z1为常量，那么U0也是与x、y无关的常量。显然U0不影响该面上复振幅的相对分布。于是该观察面上的复振幅可简写为

(1.1-25)

2.球面光波场中任意平面上的复振幅

这里以发散球面波为例讨论。如图1.1-4所示，点光源Q(x0,y0)在(x0,y0,z0)面内，观察点P(x,y)在(x,y,z1)面内，两平面间距离为d=z1－z0。Q到P的矢径为r，z0到P的矢径为r0，Q到z1的矢径为r1，这些矢径的长度分别为

(1.1-26)图1.1-4离轴发散球面波分析根据式(1.1-22)，点光源Q发出的球面波在(x,y,z1)面上的复振幅为

(1.1-27)

当该光波传播过程满足旁轴条件时，点光源Q到z轴的距离和观察点P到z轴的距离都远小于光波传播距离d，亦即满足

(1.1-28)可将r0、r1和r的表达式作泰勒展开，取旁轴近似为

(1.1-29)由于振幅随r的变化比较缓慢，故振幅因子中的r可作近似：r≈d，于是得到旁轴近似条件下轴外点光源发出的球面波在(x,y,z1)面上的复振幅分布的表达式为

(1.1-30)

如果点光源在z轴上，那么有x0+y0=0，式(1.1-30)简化为

(1.1-31)如果点光源Q满足远场条件，即

(1.1-32)

那么式(1.1-30)中的项可以忽略，得

(1.1-33)如果观察点P的分布范围也都满足远场条件，即

(1.1-34)

那么式(1.1-33)中的k(x2+y2)/(2d)项也可以忽略，于是式(1.1-30)进一步简化为

(1.1-35)

3.复振幅的空间频率描述

1)平面波复振幅的空间频率表示

为了定量描述光波复振幅U(x,y)的空间周期分布，引入了新物理量：空间频率f和空间周期Λ，它们在直角坐标系中对应的分量分别为(ξ,η,ζ)和(Λx，Λy，Λz)，并把平面波在任一平面的复振幅分布表示式(1.1-25)改写为

(1.1-36)与光波复指数表示式中随时间变化的因子ei2πνt比较可见，其空间频率的直角分量分别为

(1.1-37)

空间频率为

(1.1-38)空间频率常用的单位是线每毫米(l/mm)。相应的空间周期分量分别为

(1.1-39)

空间周期为

(1.1-40)因此，观察平面(x,y,z1)上平面波的复振幅可用空间频率表示为

(1.1-41)

由于cosα和cosβ是波矢量k相对于x轴和y轴的方向余弦，因此沿波矢量k方向的空间周期最小，且等于λ。空间频率的示意图如图1.1-5所示。图1.1-5平面波的空间频率示意图(a)k为任意方向；(b)空间频率分量ξ<02)球面波复振幅的空间频率表示

当点光源的位置与观察点的分布范围都满足远场条件时，假设令r1对x(x0)轴和y(y0)轴的方向角分别为α和β，并注意到r1是Q点到z1点的矢径，那么有

(1.1-42)

代入式(1.1-35)得到球面波复振幅的空间频率表示式为

(1.1-43)图1.1-6点光源远处的光波1.2二维傅里叶变换与频谱函数的概念

傅里叶级数与频谱

1．傅里叶级数

一个函数系｛jn(x)｝为j0(x),j1(x),…,jn(x)，…,其中每一个函数都是定义在区间［a,b］上的实函数或实变量的复值函数，如果它们满足：

(1.2-1)如果λm=1，那么函数系｛jn(x)｝称为标准(归一化)正交函数系。

如果在正交函数系｛jn(x)｝之外,不存在函数

使以下等式成立:

那么此函数系称为完备的正交函数系。以l为周期的函数f(x)满足狄里赫利条件，在区间

［－l/2,l/2］或［－l/2+a,l/2+a］(a为任意实常数)上可展开为如下形式的傅里叶级数:

(1.2-2)式中:an、bn为傅里叶系数，分别为

(1.2-3)同样，函数f(x)也可以展开为复指数形式的傅里叶级数

(1.2-4)

式中:cn为复数形式的傅里叶系数，且

(1.2-5)复系数cn与an、bn之间的关系为式中:|cn|和|c-n|为复系数cn和c-n的模，且

Φn和Φ-n为复系数cn和c-n的幅角，且所以有Φn=－Φ-n。2.频谱的概念

设所研究的复杂波函数f(x)的周期为l，在区间

［－l/2,l/2］上绝对可积，那么其傅里叶级数展开式可改写为

(1.2-6)式中：cos2πnξx和sin2πnξx是同频率nξ的谐波分量，它们的和仍为同频率的余弦分量，即

式中:和分别表示频率为nξ的谐波振幅和相位。因此该复杂波函数的傅里叶级数可进一步改写成如下形式:

(1.2-7)为了更深刻地理解不同形式的频谱的概念，我们以实例来进一步说明。图1.2-1所示为一周期为T、幅度为A、脉冲宽度为τ的矩形脉冲，其数学表达式为图1.2-1周期性矩形脉冲由式(1.2-5)，其复数形式的傅里叶系数为

(1.2-8)因此有该周期性矩形脉冲的第n次谐波的振幅为

(1.2-9)

至于相位Φn，可由式(1.2-8)很简单地求出。由于cn是一实数，当πnτ/T在Ⅰ、Ⅱ象限时，cn为正，写成复数形式为即相位Φn=0；当πnτ/T在Ⅲ、Ⅳ象限时，cn为负，写成复数形式为

即相位Φn=π。由以上结果可以作出周期性矩形脉冲的各种频谱图，结果如图1.2-2所示(为作图方便，假设τ/T=5)。图1.2-2周期性矩形脉冲频谱图(a)振幅频谱图；(b)相位频谱图；(c)复系数频谱图傅里叶变换与频谱函数

1.傅里叶变换的定义与性质

类似于周期性函数的正交展开，如果函数f(x)在整个x轴上绝对可积，即

那么该函数可展开为频率连续的无限谐波分量之和

(1.2-10)式中:ξ为频率;F(ξ)为f(x)的频谱函数。F(ξ)由下式决定:

(1.2-11)

f(x)那么叫做F(ξ)的原函数。式(1.2-10)称为F(ξ)的傅里叶逆变换，式(1.2-11)那么称为f(x)的傅里叶变换。F(ξ)的傅里叶逆变换和f(x)的傅里叶变换可用符号简记为

f(x)=FT-1｛F(ξ)｝,F(ξ)=FT｛f(x)｝

或f(x)←F(ξ),f(x)→F(ξ)如果f(x)的傅里叶变换为F(ξ)，而F(ξ)的傅里叶逆变换正好是f(x)，我们说f(x)和F(ξ)构成一个傅里叶变换对，并简记为1)线性性质

假设c1和c2为任意复常数，那么2)平移特性

(1)位移和时移。假设x0为任意实数，那么有

(2)频移。假设ξ0为任意实数，那么有3)相似性定理

相似性定理也称为尺度变换定理。假设

a，b为任意实常数，那么有

和4)翻转性质

如果那么有

5)对称性质

如果那么有6)共轭性质

如果f*(x)和F*(－ξ)分别为f(x)和

F(－ξ)的复共轭，那么有7)面积性质

假设那么有

和由该性质不难得到8)微分性质

假设那么有

以及9)积分性质

设如果F(0)=0，那么有

如果F(0)≠0，那么有当f(0)=0时，有

由此性质可见，函数的积分运算可通过傅里叶变换简化为除法运算。10)乘积定理

假设那么有

11)卷积定理

假设那么有12)能量积分

假设那么有2.二维傅里叶变换

(1)直角坐标系中可别离变量函数的二维傅里叶变换。如果函数f(x,y)满足狄里赫利条件，那么它的傅里叶变换存在，其变换式和逆变换式分别定义为

(1.2-12)

和

(1.2-13)假设二维函数在直角坐标系中可以写成两个一元函数的乘积，即

f(x,y)=fX(x)fY(y)

那么有

(1.2-14)(2)极坐标系中可别离变量函数的二维傅里叶变换。

极坐标系中可别离变量的二维函数可表示为

它的最简单的一类形式是圆对称函数即它仅仅是半径r的函数，与极角θ无关。为了得到这类函数的傅里叶变换式，对空域和频域平面分别作坐标变换：

(1.2-15)

(1.2-16)假设设函数f(r,θ)的傅里叶变换为F(ρ,j)，圆对称函数fR(r)的傅里叶变换为F0(ρ,j)，把式(1.2-15)和式(1.2-16)代入式(1.2-12)，得到

(1.2-17)利用零阶第一类贝塞尔函数的积分表达式

式(1.2-17)简化为频域半径ρ的一维函数

(1.2-18)傅里叶-贝塞尔变换除了具有傅里叶变换的所有性质之外，还有如下性质:

以及1.3卷积与相关

卷积的定义、性质和计算

1．卷积的定义和性质

设f(x)和h(x)是两个实函数，其卷积定义为

(1.3-1)1)卷积的代数律

卷积满足交换律，即

卷积满足分配律，即假设a、b为两实常数，那么有

卷积满足结合律，即

2)位移不变性

假设g(x)=f(x)*h(x)，x0为任意实常数，那么3)比例变换特性

假设g(x)=f(x)*h(x)，b为任意实常数，那么4)卷积的平滑性和扩散性

所谓卷积的平滑特性，是指两个函数卷积的结果将比任一个函数都要光滑，函数的精细结构都被平滑掉。这一点不难理解，如果把其中一个函数看做权函数，卷积计算就是求另一个函数的加权平均值。5)卷积的面积

假设g(x)=f(x)*h(x)，那么

6)卷积定理

如果那么

2.卷积的计算方法

1)图解法

为了详细说明图解法的过程，我们选两个函数f(x)和h(x)实际计算其卷积g(x)。设f(x)和h(x)为实函数，如图1.3-1所示，其具体数学表达式分别为图1.3-1要作卷积的函数图形图解法求卷积g(x)有如下四个步骤:

(1)折叠。由于卷积满足交换律，根据卷积的定义

(2)位移。

(3)相乘。

(4)积分。图1.3-2图解法计算卷积图1.3-3图解法计算卷积的结果2)解析法

解析法就是直接积分求出g(x)

的值。

由图解法求出的卷积结果可见，一般卷积的结果是分段函数，所以积分一般也要分段积分。由于积分式中含有参变量x，求积分的关键是确定积分的上下限，一般要与图解法结合起来进行。以下仍以函数f(x)和h(x)为例说明解析法计算卷积的过程。根据图解法的结果，卷积可分如下四段来积分：

(1)x≤－1。这时不管x为何值，f(ξ)与h(x－ξ)均无重叠局部，乘积f(ξ)·h(x－ξ)=0，其积分也等于零。

(2)－1＜x≤2。f(ξ)的非零值区间为［0，3］，由于h(ξ)的非零值区间是［-1，2］，h(－ξ)的非零值区间是［－2,1］，因此h(x－ξ)的非零值区间是［－2+x，1+x］。当ξ∈(－2+x,0)时，f(ξ)=0，f(ξ)·h(x－ξ)=0；当ξ∈(x+1,3)时，h(x－ξ)=0，f(ξ)·h(x－ξ)=0。因此f(ξ)·h(x－ξ)的非零区间为［0，x+1］，卷积结果为(3)2＜x≤5。由f(ξ)的非零值区间为［0，3］和

h(x－ξ)的非零值区间为［－2+x，1+x］，根据上述选择卷积积分上下限的原那么，卷积结果为(4)x>5。这时f(ξ)·h(x－ξ)=0，所以g(x)=0。

综合以上过程，用解析法计算卷积的结果为相关的定义、性质和计算

1.定义和性质

假设f(x)和h(x)是两个实变量的复值函数，那么它们之间的互相关记作f(x)h(x)或rfh(x)，并定义为

(1.3-2)

式中:h*(x)为h(x)的复共轭函数。假设令ξ－x=η，那么有

(1.3-3)当f(x)和h(x)是实函数时，它们的互相关为

(1.3-4)假设f(x)是实变量的复值函数，那么它的自相关定义为

(1.3-5)

当f(x)是实函数时，它的自相关为

(1.3-6)在实际应用中，通常用rf(0)把自相关函数归一化，记作

(1.3-7)

显然，g(0)=1。相关有下述性质：

1)自相关性质

(1)复函数f(x)的自相关函数rf(x)是厄米函数，即rf(x)=r*f(－x)。由于

因此有rf(x)=r*f(－x)。当f(x)为实函数时，其自相关函数rf(x)也是实函数，而且是x的偶函数，即rf(x)=rf(－x)。(2)当x=0时，自相关函数的模到达最大值，即|rf(x)|≤|rf(0)|。

(3)复函数的自相关函数rf(x)可以是实函数，也可以是复函数，但不可能是虚函数。

(4)当|x|→∞时，2)互相关性质

(1)互相关不满足交换律，即rfh(x)≠rhf(x)。假设函数f(x)、h(x)的相关次序交换，那么有rfh(x)=r*hf(－x)。

(2)互相关函数满足不等式

(3)当|x|→∞时，3)相关定理(维纳—辛钦定理)

(1)自相关定理。假设那么

利用卷积定理和傅里叶变换的共轭特性，求|F(ξ)|2的傅里叶逆变换，有(2)互相关定理。假设那么

应用互相关的定义和傅里叶变换的性质，有

2.相关的计算

相关的计算方法和卷积的计算方法一样，有图解法和解析法两种，计算步骤也大致相同。由自相关的定义可知，图解法中位移的函数不需要折叠，因此只有位移、相乘和积分三个步骤。1.4现代光学中常用的函数

1.δ函数

1)δ函数的定义及表示方法

在20世纪20年代，狄拉克在研究处理一些包含某种无穷大量时，为了得到一个精确的符号，引入了δ函数，并将其定义为

(1.4-1)

及

(1.4-2)根据δ函数的定义，可以看出δ函数具有以下特征：

(1)δ(x)的定义只是说明，在一个很小的范围内它的值不为零，而它在这个范围内的形状却没有规定。也就是说，允许δ函数有各种形状，甚至可以有轻微振荡。

(2)根据积分性质，式(1.4-1)和式(1.4-2)中的积分上下限范围不一定为－∞～+∞，只要把δ(x)不为零的那一局部包括在积分区间即可。

(3)δ(x)是奇异函数，本身没有确定值，但它作为被积函数中的一个乘积因子，其积分结果却有确定值。(4)δ函数是一个广义函数，它可以看成是函数序列的极限，常用的δ函数序列有在现代光学中，δ函数一般表示成高度为1的箭头，如图1.4-1所示。数值1不是表示δ函数的数值，而是表示δ函数与整个x轴围成的面积。图1.4-1δ函数的示意图2)δ函数的性质

根据δ函数的定义和广义函数的运算规那么，不难证明δ函数有如下性质:

(1)筛选特性。对任一个连续函数j(x)，有(2)尺度变换特性。假设a为任意实数，那么

如果a=－1，那么上式变为δ(－x)=δ(x)，这说明δ函数是偶函数。同理，假设b和x0为任意实数，那么有(3)乘积特性。设j(x)是在x0点连续的根本函数，有

当x0=0时，得当j(x)=x时，有

假设x0=0，那么

(4)卷积特性。设j(x)是任一连续函数，那么

这是因为(5)积分特性。由δ函数的定义可知，δ(x)在区间

(－∞，+∞)上的积分为1，即

假设A是任意实常数，那么(6)δ函数的傅里叶变换。δ函数的傅里叶变换为1，即

其逆变换为3)二维δ函数

在直角坐标系中，二维δ函数定义为

即二维δ函数可以表示为两个一维δ函数的乘积。

2.偶脉冲对与奇脉冲对

偶脉冲对与奇脉冲对分别用符号dd(x)和d

d(x)表示，如图1.4-2所示，并定义为

(1.4-3)图1.4-2偶脉冲对与奇脉冲对偶、奇脉冲对可以沿x轴平移，也可以改变比例，如图1.4-3所示，这时它们的表达式分别为

(1.4-4)图1.4-3偶、奇脉冲对的位移和比例改变偶、奇脉冲对可以用来表示天空中的双星，以及两个分开一定距离的点光源。偶、奇脉冲对是由两个δ函数的和、差构成的，由δ函数的定义不难得到偶、奇脉冲对的筛选特性、乘积特性和复制特性。此外，由图1.4-2可见，偶脉冲对是偶函数，奇脉冲对是奇函数，即

偶、奇脉冲分别与余弦、正弦函数构成傅里叶变换对，即

3.阶跃函数

阶跃函数(刀口函数)用step(x)表示，且定义为

(1.4-5)

如图1.4-4所示，在x=0处为不连续点，其跃度为1，所以称为单位阶跃函数。图1.4-4阶跃函数阶跃函数可以平移和改变方向，如

表示不连续点移至x0处，而常数b(=±1)的正负决定阶跃函数的射向，如图1.4-5所示。图1.4-5阶跃函数位移和反转阶跃函数可以用来表示快门的开启，在研究直边衍射和像质评定时，用来描述衍射屏和成像物体。阶跃函数表示光强时，很像刀口检查仪的刀口，所以也称为刀口函数。它的作用也像开关，用来在某点翻开另一个函数，例如斜坡函数定义为

(1.4-6)

其中,step(x)的作用就是截取第Ⅰ象限内过原点的45°斜线，如图1.4-6所示。图1.4-6斜坡函数阶跃函数的导数为δ函数，即

因此，δ函数的积分为阶跃函数阶跃函数的积分为斜坡函数

阶跃函数与任一函数f(x)的卷积为

或由于阶跃函数不满足狄里赫利充分条件，因此不能直接得到其傅里叶变换式。但阶跃函数可看成是指数衰减函数当τ→∞时的极限，即

而指数衰减函数的傅里叶变换为所以

因此有

4.符号函数

符号函数用sgn(x)表示，且定义为

(1.4-7)

根据x的正负，符号函数的值分别取+1或－1，原点x=0处为不连续点，其跃度为2，如图1.4-7所示。图1.4-7符号函数符号函数也可以移位和反向，例如:

(1.4-8)

表示不连续点在x=x0处，而常数b(=±１)的正负决定符号函数在x=x0处上跃或下跃，如图1.4-8所示。图1.4-8符号函数的移位和反向符号函数可以用来改变一个变量或函数在某些点的正负，因此，在一个函数中引入符号函数，根据给定条件的不同相当于引入正号或负号。但符号函数与“+〞、“－〞号不同，它可以参加运算。

符号函数与1/(iπξ)构成傅里叶变换对，即

5.矩形函数

高度和长度均为1，面积也为1的矩形函数如图1.4-9所示，并定义为(1.4-9)矩形函数可以平移和改变比例，例如：

表示高为h，宽为b，面积等于hb，中心位于x0处的矩形函数，如图1.4-10所示。图1.4-9矩形函数图1.4-10矩形函数的平移和改变比例矩形函数是一个十分有用的函数，它可以用来以任意幅度h和任意宽度b截取某个函数的任一段，因此矩形函数也称为门函数或矩形窗函数。例如rect(x－1/2)sinπx,

如图1.4-11所示。图1.4-11矩形函数的截断作用它也提供了只在一个区段定义的函数的简洁记法，

例如f(x)=rect(x)cosπx就是下面函数的简洁表达式，即矩形函数的傅里叶变换可按定义直接求出

由傅里叶变换的性质不难得到

6.三角形函数

三角形函数用符号Λ(x)表示，其定义为

(1.4-10)式(1.4-10)表示高度为1，底边长为2，面积为1的三角形，如图1.4-12所示。平移和展宽后的三角形函数如图1.4-13所示，它的表达式为图1.4-12三角形函数图1.4-13三角形函数的平移和展宽该式表示高度为1，底边长为2|b|，面积为|b|，中心移到x=x0处的三角形。b的正负不影响三角形函数的图形形状。三角形函数可以用矩形函数的自卷积求得，即

根据傅里叶变换的定义直接积分可得

7.sinc函数和sinc2函数

sinc函数定义为

(1.4-11)

sinc函数如图1.4-14所示。图1.4-14sinc函数sinc函数同样可以平移和扩展，如

表示中心移至x=x0处，最大值仍为1，但第一级两个零点之间的宽度等于2|b|，曲线包围的总面积为|b|的sinc函数。在一定条件下，sinc函数有类似于δ函数的性质，如

又如，一个频谱仅在有限区域内不为零的带限函数f(x)，假设它的全带宽为w(即当|ξ|≥w/2时，F(ξ)≡0)，且w≤1/|b|，那么有sinc2函数定义为

(1.4-12)

该函数的图形如图1.4-15所示。图1.4-15sinc2函数与sinc函数一样，sinc2函数也可以平移和扩展。sinc函数可用来表示单缝夫琅和费衍射的振幅分布，sinc2函数

可用来表示单缝夫琅和费衍射的光强分布。

sinc函数和sinc2函数的傅里叶变换为

8.高斯函数

高斯函数定义为

(1.4-13)

其图形如图1.4-16所示。这种函数的最大值为1，面积也为1。平移和扩展后的高斯函数形式为图1.4-16高斯函数高斯函数也称为正态分布函数。高斯函数非常“光滑〞，可以无穷次求导，属于“性质特别好〞的一类函数。高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数，即

9.圆域函数

圆域函数是一个二元函数，在光学中用来表示圆形光瞳的透过率。圆域函数在直角坐标系中的定义为

(1.4-14)在极坐标系中圆域函数有简单的形式

(1.4-15)

以上两式表示的圆域函数在半径为1、面积为π的区域内的值等于1。显然，圆域函数只是半径r的函数，与极角无关，是圆对称的，即f(r,θ)=fR(r)，如图1.4-17所示。图1.4-17圆域函数因此圆域函数的傅里叶-贝塞尔变换为

令r′=2πrρ，并利用恒等式

那么有

10.抽样函数

抽样函数(comb函数)用符号comb(x)表示，定义为

(1.4-16)

式中：n为整数。该函数是一距离间隔为1的δ函数序列，如图1.4-18所示。图1.4-18梳状函数comb函数可以平移和改变比例，如

表示间隔为|b|，面积也为|b|，位置移到x0±nb(n=0,1,2,…)处的δ函数序列，如图1.4-19所示。图1.4-19梳状函数的平移和改变比例由于抽样函数是一列δ函数的和式，因此由δ函数的性质可以得到comb函数有以下性质。

(1)比例变换特性:

(2)奇偶性:comb(x)是偶函数，即comb(x)=comb(－x)。

(3)周期性:comb(x+n)=comb(x)，n为整数，即comb(x)是周期为1的周期函数。(4)抽样特性(乘积特性):comb函数与任一函数f(x)相乘可以对该函数进行周期抽样，而抽样值只存在δ函数所在的整数点处，如图1.4-20所示，即

假设抽样点为非整数点，且抽样周期不等于1，那么有图1.4-20comb函数的抽样特性(5)复制特性(卷积特性)：comb函数与任一函数f(x)的卷积的结果使f(x)在x的整数点上重复出现，见图1.4-21，即图1.4-21comb函数的复制特性comb函数的傅里叶变换是不同间隔的另一个comb函数，即1.5连续函数信号的离散与抽样定理

1.离散信号的表示

给定一个连续函数y=f(x)，对其进行等间隔抽样使之离散化，假设抽样间隔为Δ，那么在各抽样点x=nΔ(n=0,±1,

±2,…)所得到的离散函数记为yn=f(nΔ)。可见，离散信号的表示方法，就是用自变量的离散值nΔ替代连续变量x。例如，一个连续函数为

假设抽样间隔为Δ，那么其离散函数为

显然，离散函数和连续函数是局部与整体的关系，而抽样得到的这个局部必须能全面反映整体。2.正弦函数的抽样定理

一正弦信号

(1.5-1)

式中:A、ξ和j分别为振幅、频率和初相，它们是确定该正弦信号的三个特征量。假设以抽样间隔Δ对其进行抽样，得到离散的正弦信号为

(1.5-2)

它是如图1.5-1所示的离散点列。图1.5-1离散的正弦信号例如，取n=0，±1三点上的离散值s(0)(≠0)、s(－Δ)和s(Δ)，且0<2πξΔ<π。由式(1.5-2)可得

(1.5-3)

当n=0时，有

(1.5-4)将式(1.5-4)代入式(1.5-3)得

(1.5-5)

将n=±1代入式(1.5-5)，有

并可求得

(1.5-6)

(1.5-7)

3.任意连续函数的抽样定理

对连续函数f(x)以抽样间隔Δ抽样得到离散函数f(nΔ)，能否惟一地恢复f(x)呢？由傅里叶分析可知，任一连续函数可以表示为频率连续的无穷多个谐波分量的叠加，其中每一个谐波分量的振幅A和初相j由f(x)的频谱函数F(ξ)确定。如果f(x)的每一个谐波分量都能惟一地恢

复出来，那么这些谐波分量的线性组合必然是原函数f(x)。对于频率为ξ的谐波，只要F(ξ)≠0，根据正弦信号的抽样定理，抽样间隔必须满足Δ<1/2ξ。

4.奈奎斯特(Nyguist)频率

由以上分析可见，无论是对正弦信号抽样，还是对连续函数抽样，离散信号能够正确恢复原函数的关键是抽样间隔，且Δ≤1/(2ξc)，其中ξc是被抽样正弦函数的频率或频谱函数F(ξ)的截止频率。由此抽样间隔所决定的抽样频率1/Δ称为奈奎斯特频率，用ξN表示。图1.5-2谱瓣重叠现象

5.函数的抽样与恢复

具体步骤如下：

(1)抽样。设有一个连续函数f(x)，以满足抽样定理的抽样间隔Δ对其进行抽样。由comb函数的性质可知，comb(x/Δ)与函数f(x)相乘就把x=nΔ各点处的函数值抽取出来，得到一个离散函数

(1.5-8)

显然，离散函数fΔ(x)比f(nΔ)扩大了Δ倍，如图1.5-3所示。但这对原函数的恢复并不产生影响。图1.5-3离散函数fΔ(x)(2)求离散频谱。对离散函数fΔ(x)进行傅里叶变换得到离散频谱FΔ(ξ)，即

(1.5-9)

可见，离散频谱FΔ(ξ)是频谱函数F(ξ)的周期性延拓，包含了频谱函数F(ξ)，如图1.5-4所示。图1.5-4离散函数的频谱FΔ(ξ)(3)原函数的恢复。为了恢复原函数f(x)，必须使离散频谱FΔ(ξ)无失真地通过一理想低通滤波器，通过该滤波器后得到原函数f(x)的频谱F(ξ)，显然该滤波器的传递函数是一个矩形函数

(1.5-10)

通过滤波器后的输出频谱为

(1.5-11)(4)在空(时)域恢复原函数。在空间域可以由离散函数fΔ(x)直接恢复原函数f(x)。对式(1.5-11)进行傅里叶逆变换得

(1.5-12)

式中:h(x)为低通滤波器的脉冲响应函数，它是H(ξ)的傅里叶逆变换，且由式(1.5-8)、式(1.5-12)和上式得到

(1.5-13)1.6光波场的局部相干理论简介

互相干函数和互相干度

利用光波场如下两个性质来研究光波场的相干性：

(1)由数学的观点来看，光波场是平稳随机场，即U(r,t)的时间平均值。

(2)探测器的分辨时间远大于光扰动的周期，记录的只是一段时间间隔内的平均效果。所以，光强和描述光场其他特性的量采用时间平均值的概念。一般用互相干函数来度量两束光的关联程度，如图1.6-1所示。Q点处的光场可以由两小孔P1和P2处的次级波源产生的光扰动叠加而成，Q点t时刻的光扰动可表示为

(1.6-1)图1.6-1扩展光源的多色光干预由于光辐射的随机性，光波场中Q点的光强为时间的平均值，表示为

(1.6-2)把式(1.6-1)代入，整理后得

(1.6-3)令τ=t2－t1，考虑到平稳场的时间平均值与时间原点的选取无关，移动时间原点得

(1.6-4)当P1、P2点重合时，得到

或

(1.6-5)Γ11(τ)、Γ22(τ)称为自相干函数，它表示光场中同一点、不同时刻的光扰动之间的相干性。显然，当τ=0时，有

为了比较不同条件下的互相干函数，对Γ12(τ)进行归一化，定义复相干度

(1.6-6)这样，式(1.6-4)可改写为

(1.6-7)

这就是平稳光场局部相干理论的一般公式。式(1.6-7)说明要确定两束局部相干光干预的光强，必须知道每束光的强度和复相干度。准单色光的干预和互强度

虽然理想的单色辐射光源不存在，但是像激光等光源的辐射场可以看做准单色光，下面研究这一类光场的相干性质。

1.准单色光的互强度

前面定义的复相干度为一复函数，可以写成

(1.6-8)在准单色光情况下，式(1.6-8)中的相位因子可表示为

其中α12(τ)为P1和P2点处的光扰动相位的表观相对延迟，反映这两个扰动相干时干预条纹的位置；为中心频率。假设令

根据式(1.6-7)，Q点的光强可写成

(1.6-9)由于

因此当Q点相对于P1和P2点移动时，δ的变化比τ的变化大得多。那么式(1.6-9)中的相位

因子α12(τ)和振幅|γ12(τ)|由于Q点位置改变所引起的变化比cosδ和sinδ缓慢得多，可视为常量。因此Q点光强的极大值、极小值分别为

(1.6-10)干预条纹的比照度为

(1.6-11)图1.6-2两束等光强相干的三