高二数学数列中裂项求和的几种常见模型知识点分析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握,又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的,主要的求和方法有:公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列是以d为公差的等差数列,且,则例1已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为，数列的前n项和为,点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f（x)＝ax2+bx(a≠0)，则f`(x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2，得a=3，b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5。当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5()（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－).因此，要使（1－）〈（）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10。。例2在xoy平面上有一系列点,…,，…，（n∈N*),点Pn在函数的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切。若。（I）求数列的通项公式；（II）设圆Pn的面积为解：(I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，两边平方并化简得由题意得，圆Pn的半径为首项，以2为公差的等差数列，所以(II)，所以，模型二：分母有理化，如:例3已知,的反函数为，点在曲线上，且（I)证明数列｛｝为等差数列;(Ⅱ）设，记，求解(I）∵点An（）在曲线y=g（x)上（n∈N+），∴点(）在曲线y=f（x）上（n∈N+）,并且an>0

，，∴数列{｝为等差数列(Ⅱ)∵数列{｝为等差数列，并且首项为=1，公差为4,∴=1+4(n—1），∴，∵an〉0，∴，bn＝=，

∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==例4设，则不超过的最大整数为。(2008年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)解： ， ，，,不超过的最大整数为。模型三：eq\f（2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(1，2n－1）－eq\f(1，2n+1－1)例5设数列的前项的和,n=1,2,3,….(Ⅰ）求首项与通项；(Ⅱ)设，n=1，2，3，…,证明：(2006年全国数学高考理科试题).解:（Ⅰ)由Sn=eq\f(4，3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f（2，3),n=1，2，3，…,①得a1=S1=eq\f(4，3）a1－eq\f(1，3）×4+eq\f(2,3)所以a1=2。再由①有Sn－1=eq\f（4,3）an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2，3),n=2,3,4,…将①和②相减得：an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3）（an－an－1)－eq\f（1，3）×（2n+1－2n)，n=2,3，…整理得：an+2n=4（an－1+2n－1）,n=2,3，…,因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列,即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2，3，…，因而an=4n－2n,n=1,2，3,…,(Ⅱ）将an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4，3)×(4n－2n)－eq\f(1,3）×2n+1+eq\f(2，3)=eq\f（1，3)×(2n+1－1）（2n+1－2）=eq\f(2，3)×（2n+1－1）（2n－1)Tn=eq\f（2n,Sn）=eq\f(3，2)×eq\f（2n,(2n+1－1)（2n－1))=eq\f（3,2）×（eq\f(1，2n－1)－eq\f(1,2n+1－1））所以,=eq\f(3，2）eq\f(1，2i－1)－eq\f（1,2i+1－1））=eq\f(3,2)×(eq\f（1，21－1）－eq\f(1，2i+1－1））<eq\f(3,2)模型四:,且，则例6设函数的图象在处的切线平行于直线。记的导函数为。数列满足：，。(Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ)试判断数列的增减性,并给出证明；（Ⅲ）当时，证明:.解：（Ⅰ）∵函数的导函数为，由于在处的切线平行于，∴，∴(Ⅱ)∵，∴,∵,故，所以,所以是单调递增.（Ⅲ）∵，∴=，∴∴，，…令当时,∴例7已知数列满足，满足，证明:。(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)证明：记，则。而。因为，所以.从而有.（1）又因为，所以,即。从而有.（2)由（1）和（2）即得。综合得到