高二数学同步练习导数的四则运算法则

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精选修1-23.1.3_parent"导数的四则运算法则一、选择题1．函数f(x)＝eq\f（1,x3＋2x＋1)的导数是（)A.eq\f（1,(x3＋2x＋1)2）B.eq\f(3x2＋2,（x3＋2x＋1)2）C.eq\f（－3x2－2，（x3＋2x＋1）2）D。eq\f(－3x2，(x3＋2x＋1）2)［答案］C[解析]f′(x)＝eq\f(－（x3＋2x＋1）′，（x3＋2x＋1)2)＝eq\f(－3x2－2,（x3＋2x＋1)2).2．函数y＝（x－a）（x－b)在x＝a处的导数为(）A．abB．－a(a－b)C．0D．a－b［答案]D[解析］∵y＝(x－a)(x－b）＝x2－(a＋b）x＋ab∴y′＝2x－（a＋b），y′｜x＝a＝2a－a－b＝a－b3．函数y＝eq\f(cosx，x）的导数是(）A．－eq\f（sinx,x2）B．－sinxC．－eq\f（xsinx＋cosx，x2)D．－eq\f(xcosx＋cosx,x2)［答案]C［解析]y′＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（cosx，x））)′＝eq\f((cosx）′x－cosx·（x)′，x2）＝eq\f（－xsinx－cosx，x2）.4．已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1）＝4，则a的值是(）A.eq\f(19，3)B.eq\f（16,3)C.eq\f(13,3)D。eq\f（10，3)[答案]D［解析]f′（x）＝3ax2＋6x,∵f′(－1）＝3a∴3a－6＝4,∴a＝eq\f(10,3)。5．已知二次函数f（x)的图象如图所示,则其导函数f′（x）的图象大致形状是()［答案]B[解析]设二次函数的方程y＝ax2＋bx＋c由图知，a<0，b＝0，c>0所以其方程可表示为y＝ax2＋c.而y′＝2ax，由于a<0，所以B正确．6．函数y＝（2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3）2D．2（2＋x3)·3x[答案］A[解析］∵y＝（2＋x3）2＝4＋4x3＋x6,∴y′＝6x5＋12x2.7．f(x)＝ax3＋x2＋3，若f′（1）＝5,则a的值为（)A．－1B．2C．－2D．1[答案]D[解析］∵f′（x）＝3ax2＋2x，f′(1）＝3a∴a＝1。8．若物体的运动方程是s（t）＝tsint，则物体在t＝2时的瞬时速度为()A．cos2＋2sin2B．2sin2－cos2C．sin2＋2cos2D．2cos2－sin2［答案]C［解析]∵s′(t）＝t′·sint＋t(sint)′＝sint＋tcost,∴s′（2）＝sin2＋2cos2.9．下列函数在点x＝0处没有切线的是(）A．y＝3x2＋cosxB．y＝xsinxC．y＝eq\f（1，x）＋2xD．y＝eq\f（1,cosx)[答案］C[解析]∵函数y＝eq\f(1,x）＋2x在x＝0处不可导,∴函数y＝eq\f（1，x)＋2x在点x＝0处没有切线．10．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝eq\f（1，\r（x）），则y′＝－eq\f(1,2）eq\r（x)C．若y＝－eq\r(x）,则y′＝－eq\f(1，2\r（x)）D．若y＝3x，则y′|x＝1＝3［答案]B［解析]y＝eq\f（1,\r(x）），y′＝－eq\f（1,2x\r(x)）.二、填空题11．若函数f(x)＝eq\f（1－sinx，x）,则f′(π)________________．[答案］eq\f(π－1，π2)［解析]f′（x）＝eq\f（（1－sinx）′·x－（1－sinx）x′，x2）＝eq\f（sinx－xcosx－1，x2），∴f′(π)＝eq\f(sinπ－πcosπ－1，π2)＝eq\f（π－1,π2）.12．曲线y＝x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．[答案］eq\f（8，3）[解析］∵y′|x＝1＝3x2｜x＝1＝3，∴切线为y＝3x－2，如右图所示．A(eq\f（2,3)，0），B(2,4），∴S△＝eq\f(1,2)（2－eq\f(2,3))×4＝eq\f（8,3）.13．已知P(－1,1),Q(2,4）是曲线f(x）＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．[答案]4x－4y－1＝0[解析]y＝x2的导数为y′＝2x。设切点M（x0，y0)，则y′｜x＝x0＝2x0.∵PQ的斜率k＝eq\f（4－1，2＋1）＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1。∴x0＝eq\f（1，2).∴切点M为(eq\f(1,2）,eq\f（1，4））．∴切线方程为y－eq\f（1，4)＝x－eq\f（1，2)，即4x－4y－1＝0.14．(2009·福建文，15)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．［答案］(－∞，0)[解析]本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识．f′(x)＝2ax＋eq\f(1，x）＝0有解(x>0)，即2ax2＝－1有解，∴a〈0.三、解答题15．已知曲线y＝x3－3x2＋2x－9在x＝x0处的导数为11,求x0的值．［解析]∵y′＝（x3－3x2＋2x－9）′＝3x2－6x＋2，∴y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2，0)－6x0＋2。由题知3xeq\o\al（2,0)－6x0＋2＝11,∴3xeq\o\al（2，0)－6x0－9＝0，xeq\o\al（2,0）－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3。16．求下列函数的导数．(1）y＝tanx；（2)y＝xsinx－eq\f(2,cosx）.[解析］(1)∵y＝tanx＝eq\f（sinx,cosx)，∴y′＝（eq\f（sinx,cosx））′＝eq\f（（sinx)′·cosx－sinx·(cosx)′,cos2x）＝eq\f(cos2x＋sin2x，cos2x)＝eq\f(1,cos2x)。（2)y′＝(xsinx）′－(eq\f（2，cosx))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x)。17．已知曲线y＝eq\f（1,t－x）上两点P（2,－1)、Q（－1，eq\f（1,2))．求：(1)曲线在点P处，点Q处的切线斜率;（2）曲线在点P、Q处的切线方程．［解析］∵－1＝eq\f(1,t－2),∴t＝1，∴y＝eq\f(1,1－x)，∴y′＝eq\f(1,(1－x)2).(1）当P为切点时,k1＝y′｜x＝2＝1，当Q为切点时，k2＝y′｜x＝－1＝eq\f（1，4)。（2）当P为切点时，方程为x－y－3＝0；当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0。18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1，0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2。(1)求直线l2的方程；（2）求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析］（1）y′＝2x＋1，直线l1的方程为y＝3x－3。设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B（b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝（2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－eq\f（1，3），b＝－eq\f(2，3)。所以直线l2的方程为y＝－eq\f(1，3)x－eq\f(22,9）.(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝3x－3，，y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f（